直線的一般式方程的歸納與應(yīng)用

王念念

[摘? ?要] 直線的一般式方程是求解直線問題的核心知識點(diǎn)，明確其幾何意義及其性質(zhì)，掌握其與特殊直線方程之間的互化，是解決直線方程問題的關(guān)鍵.

[關(guān)鍵詞]直線方程;一般式方程;歸納;應(yīng)用

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）17-0032-02

在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個關(guān)于x、y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A，B不同時為0）叫作直線的一般式方程，簡稱為“一般式”.

一、直線的一般式方程的歸納

1.直線的一般式方程的幾何意義

（1）當(dāng)B≠0時，[-AB=k]（斜率），[-CB=b]（y軸上的截距）;

（2）當(dāng)A≠0時，[-CA=a]（x軸上的截距）;

（3）在一般式方程Ax+By+C=0中，①若A≠0，B=0，則[x=-CA]，它表示一條與y軸平行或重合的直線;②若A=0，B≠0，則[y=-CB]，它表示一條與x軸平行或重合的直線;③若A=B=0，則有C=0，不表示任何直線.

2.直線方程的一般式、斜截式與截距式的互化

[一般式 斜截式 截距式 Ax+By+C=0（A，B不同時為0） [y=-ABx-CB]（B≠0） [xCA+yCB=1]（A、B、C≠0） ]

3.兩個重要結(jié)論

結(jié)論1：在平面直角坐標(biāo)系中任何一條直線都可以用關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同時為0）來表示.

結(jié)論2：任何關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同時為0）都可以表示平面直角坐標(biāo)系中的一條直線.

解題時，若無特殊說明，則應(yīng)把求得的直線方程化為一般式.

4.直線的性質(zhì)

當(dāng)直線方程Ax+By+C=0的系數(shù)A、B、C滿足如下關(guān)系時，這條直線有以下性質(zhì).

（1）當(dāng)A≠0，B≠0時，直線與兩坐標(biāo)軸都相交;

（2）當(dāng)A≠0，B=0，C≠0時，直線只與x軸相交，即直線與y軸平行，與x軸垂直;

（3）當(dāng)A=0，B≠0，C≠0時，直線只與y軸相交，即直線與x軸平行，與y軸垂直;

（4）當(dāng)A=0，B≠0，C=0時，直線與x軸重合;

（5）當(dāng)A≠0，B=0，C=0時，直線與y軸重合.

二、直線的一般式方程的應(yīng)用

1.直線方程的互化

[例1]設(shè)直線l的方程為[（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）] .

（1）若直線l在兩坐標(biāo)軸的截距相等，求直線l的方程;

（2）若直線l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：（1）當(dāng)a=-1時，顯然不滿足題意，故a≠-1.

將直線化為截距式后，可得直線l在x軸上的截距是[a-2a+1]，在y軸上的截距是a-2，∴[a-2a+1=a-2]，解得a=2或a=0，∴直線l的方程為[3x+y=0]或[x+y+2=0].

（2）直線l可化為[y=-（a+1）x+a-2]，

由已知得[-（a+1）>0，a-2≤0，]或[-（a-1）=0，a-2≤0，]

∴[a≤-1].

點(diǎn)評：根據(jù)解題要求，有時要靈活地將直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式、截距式等特殊方程，并注意特殊情況.直線方程作為結(jié)論要化為一般式，其化法是對方程移項(xiàng)、化簡，并整理為二元一次方程Ax+By+C=0的形式.

2.直線的一般式方程中系數(shù)的幾何意義的應(yīng)用

[例2]設(shè)直線l的方程為[（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6]，根據(jù)下列條件分別確定m的值.

（1）直線l在x軸上的截距是-3;

（2）直線l的斜率是-1.

解析：（1）由題意，得[m2-2m-3≠0，①2m-6m2-2m-3=-3，②]

由①得m≠-1，且m≠-3;

由②得m=3或[m=-53]，所以[m=-53 ].

（2）由題意，得[2m2+m-1≠0，③m2-2m-32m2+m-1=-1，④]

由③得m≠-1，且[m≠12];

由④得m=-1或m=-2，所以m=-2.

點(diǎn)評：關(guān)于直線的一般式方程中系數(shù)的幾何意義是直線方程問題的重點(diǎn)，解題時首先要確定使問題成立的各系數(shù)的正確條件，如A≠0、B≠0、A=0、B=0等關(guān)系，然后根據(jù)題目已知條件列式求解.

3.求直線的一般式方程

[例3]已知直線l的方程為[3x+4y-12=0]，求直線l[′]的方程，使l[′]滿足：

（1）過點(diǎn)（-1，3），且與l平行;

（2）過點(diǎn)（-1，3），且與l垂直;

（3）l[′]與l垂直，且l[′]與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4.

解析：（1）由l[′]與l平行，可設(shè)直線l[′]的方程為[3x+4y+m=0]（m≠-12），將點(diǎn)（-1，3）代入得m =-9.得所求直線方程為[3x+4y-9=0].

（2）由l[′]與l垂直，可設(shè)直線l[′]的方程為[3x+4y+n=0]，將點(diǎn)（-1，3）代入得n =13.得所求直線方程為[3x+4y+13=0].

（3）由l[′]與l垂直，可設(shè)直線l[′]的方程為[3x+4y+p=0]，則直線l[′]在x軸上的截距為[-p4]，在y軸上的截距為[p3]，由題意可知，圍成的三角形面積[S=12p3?-p4=4]，解得[p=±46]，∴l(xiāng)[′]的方程為[3x+4y+46=0]或[3x+4y-46=0].

點(diǎn)評：利用平行與垂直巧設(shè)直線的一般式方程是解決此類問題的常用方法.即與直線Ax+By+C=0平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+C1=0（C≠C1），再由其他條件列方程求C1;與直線Ax+By+C=0垂直的直線方程可設(shè)為Bx+Ay+C2=0，再由其他條件列方程求C2 .

4.兩直線的垂直與平行

[例4]已知直線l1：[ax-by+4=0]和直線l2：

[（a-1）x+y+2=0]，分別求滿足下列條件的a、b值.

（1）直線l1過點(diǎn)（-3，-1），并且直線l1和直線l2垂直;

（2）直線l1和l2平行，且直線l1在y軸上的截距為-3.

解析：（1）由已知得[a（a-1）-b=0，（-3）a-（-1）b+4=0，]

解得a=2，b=2.

（2）由已知得[a+b（a-1）=0，4b=-3，]

解得a=4，[b=-43].

點(diǎn)評：關(guān)于兩直線垂直的解法可歸納為：（1）斜率存在時，兩直線垂直的條件為[k1?k2=-1];（2）一般式方程下，兩直線垂直的條件為[A1?A2+B1?B2=0];（3）在斜截式方程中，在能判斷斜率存在的情況下，用條件（1）;在一般式方程，特別是含有字母系數(shù)且斜率可能不存在的情況下，用條件（2）.關(guān)于兩直線平行的解法可歸納為①[l1：y=k1x+b1]，[l2：y=k2x+b2]，[l1∥l2?k1=k2]，且b1≠b2;②[l1：? A1x+B1y+C2=0]，[l2：? ? A2x+B2y+C2=0]，[l1∥l2?A1B1-A2B2=0]，且[A1?C2-A2C1≠0]（或[B1?C2-B2C1≠0]）.

（責(zé)任編輯? ?黃桂堅(jiān)）