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    直線的一般式方程的歸納與應(yīng)用

    2019-07-15 14:14:39王念念
    關(guān)鍵詞:歸納應(yīng)用

    王念念

    [摘? ?要] 直線的一般式方程是求解直線問題的核心知識點(diǎn),明確其幾何意義及其性質(zhì),掌握其與特殊直線方程之間的互化,是解決直線方程問題的關(guān)鍵.

    [關(guān)鍵詞]直線方程;一般式方程;歸納;應(yīng)用

    [中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058(2019)17-0032-02

    在平面直角坐標(biāo)系中,任何一個關(guān)于x、y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0)叫作直線的一般式方程,簡稱為“一般式”.

    一、直線的一般式方程的歸納

    1.直線的一般式方程的幾何意義

    (1)當(dāng)B≠0時,[-AB=k](斜率),[-CB=b](y軸上的截距);

    (2)當(dāng)A≠0時,[-CA=a](x軸上的截距);

    (3)在一般式方程Ax+By+C=0中,①若A≠0,B=0,則[x=-CA],它表示一條與y軸平行或重合的直線;②若A=0,B≠0,則[y=-CB],它表示一條與x軸平行或重合的直線;③若A=B=0,則有C=0,不表示任何直線.

    2.直線方程的一般式、斜截式與截距式的互化

    [一般式 斜截式 截距式 Ax+By+C=0(A,B不同時為0) [y=-ABx-CB](B≠0) [xCA+yCB=1](A、B、C≠0) ]

    3.兩個重要結(jié)論

    結(jié)論1:在平面直角坐標(biāo)系中任何一條直線都可以用關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)來表示.

    結(jié)論2:任何關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)都可以表示平面直角坐標(biāo)系中的一條直線.

    解題時,若無特殊說明,則應(yīng)把求得的直線方程化為一般式.

    4.直線的性質(zhì)

    當(dāng)直線方程Ax+By+C=0的系數(shù)A、B、C滿足如下關(guān)系時,這條直線有以下性質(zhì).

    (1)當(dāng)A≠0,B≠0時,直線與兩坐標(biāo)軸都相交;

    (2)當(dāng)A≠0,B=0,C≠0時,直線只與x軸相交,即直線與y軸平行,與x軸垂直;

    (3)當(dāng)A=0,B≠0,C≠0時,直線只與y軸相交,即直線與x軸平行,與y軸垂直;

    (4)當(dāng)A=0,B≠0,C=0時,直線與x軸重合;

    (5)當(dāng)A≠0,B=0,C=0時,直線與y軸重合.

    二、直線的一般式方程的應(yīng)用

    1.直線方程的互化

    [例1]設(shè)直線l的方程為[(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)] .

    (1)若直線l在兩坐標(biāo)軸的截距相等,求直線l的方程;

    (2)若直線l不經(jīng)過第二象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    解析:(1)當(dāng)a=-1時,顯然不滿足題意,故a≠-1.

    將直線化為截距式后,可得直線l在x軸上的截距是[a-2a+1],在y軸上的截距是a-2,∴[a-2a+1=a-2],解得a=2或a=0,∴直線l的方程為[3x+y=0]或[x+y+2=0].

    (2)直線l可化為[y=-(a+1)x+a-2],

    由已知得[-(a+1)>0,a-2≤0,]或[-(a-1)=0,a-2≤0,]

    ∴[a≤-1].

    點(diǎn)評:根據(jù)解題要求,有時要靈活地將直線的一般式方程轉(zhuǎn)化為斜截式、截距式等特殊方程,并注意特殊情況.直線方程作為結(jié)論要化為一般式,其化法是對方程移項(xiàng)、化簡,并整理為二元一次方程Ax+By+C=0的形式.

    2.直線的一般式方程中系數(shù)的幾何意義的應(yīng)用

    [例2]設(shè)直線l的方程為[(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6],根據(jù)下列條件分別確定m的值.

    (1)直線l在x軸上的截距是-3;

    (2)直線l的斜率是-1.

    解析:(1)由題意,得[m2-2m-3≠0,①2m-6m2-2m-3=-3,②]

    由①得m≠-1,且m≠-3;

    由②得m=3或[m=-53],所以[m=-53 ].

    (2)由題意,得[2m2+m-1≠0,③m2-2m-32m2+m-1=-1,④]

    由③得m≠-1,且[m≠12];

    由④得m=-1或m=-2,所以m=-2.

    點(diǎn)評:關(guān)于直線的一般式方程中系數(shù)的幾何意義是直線方程問題的重點(diǎn),解題時首先要確定使問題成立的各系數(shù)的正確條件,如A≠0、B≠0、A=0、B=0等關(guān)系,然后根據(jù)題目已知條件列式求解.

    3.求直線的一般式方程

    [例3]已知直線l的方程為[3x+4y-12=0],求直線l[′]的方程,使l[′]滿足:

    (1)過點(diǎn)(-1,3),且與l平行;

    (2)過點(diǎn)(-1,3),且與l垂直;

    (3)l[′]與l垂直,且l[′]與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4.

    解析:(1)由l[′]與l平行,可設(shè)直線l[′]的方程為[3x+4y+m=0](m≠-12),將點(diǎn)(-1,3)代入得m =-9.得所求直線方程為[3x+4y-9=0].

    (2)由l[′]與l垂直,可設(shè)直線l[′]的方程為[3x+4y+n=0],將點(diǎn)(-1,3)代入得n =13.得所求直線方程為[3x+4y+13=0].

    (3)由l[′]與l垂直,可設(shè)直線l[′]的方程為[3x+4y+p=0],則直線l[′]在x軸上的截距為[-p4],在y軸上的截距為[p3],由題意可知,圍成的三角形面積[S=12p3?-p4=4],解得[p=±46],∴l(xiāng)[′]的方程為[3x+4y+46=0]或[3x+4y-46=0].

    點(diǎn)評:利用平行與垂直巧設(shè)直線的一般式方程是解決此類問題的常用方法.即與直線Ax+By+C=0平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+C1=0(C≠C1),再由其他條件列方程求C1;與直線Ax+By+C=0垂直的直線方程可設(shè)為Bx+Ay+C2=0,再由其他條件列方程求C2 .

    4.兩直線的垂直與平行

    [例4]已知直線l1:[ax-by+4=0]和直線l2:

    [(a-1)x+y+2=0],分別求滿足下列條件的a、b值.

    (1)直線l1過點(diǎn)(-3,-1),并且直線l1和直線l2垂直;

    (2)直線l1和l2平行,且直線l1在y軸上的截距為-3.

    解析:(1)由已知得[a(a-1)-b=0,(-3)a-(-1)b+4=0,]

    解得a=2,b=2.

    (2)由已知得[a+b(a-1)=0,4b=-3,]

    解得a=4,[b=-43].

    點(diǎn)評:關(guān)于兩直線垂直的解法可歸納為:(1)斜率存在時,兩直線垂直的條件為[k1?k2=-1];(2)一般式方程下,兩直線垂直的條件為[A1?A2+B1?B2=0];(3)在斜截式方程中,在能判斷斜率存在的情況下,用條件(1);在一般式方程,特別是含有字母系數(shù)且斜率可能不存在的情況下,用條件(2).關(guān)于兩直線平行的解法可歸納為①[l1:y=k1x+b1],[l2:y=k2x+b2],[l1∥l2?k1=k2],且b1≠b2;②[l1:? A1x+B1y+C2=0],[l2:? ? A2x+B2y+C2=0],[l1∥l2?A1B1-A2B2=0],且[A1?C2-A2C1≠0](或[B1?C2-B2C1≠0]).

    (責(zé)任編輯? ?黃桂堅(jiān))

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