運用變式讓學生經(jīng)歷知識生長過程

陳于青

學習的實質(zhì)是學生從原有認知結(jié)構(gòu)走向目標認知結(jié)構(gòu)的過程，其間一定伴隨著知識的生長，具體到數(shù)學學科，“知識”應(yīng)包含“數(shù)學學科性知識”和“特定的經(jīng)驗系統(tǒng)”。變式教學作為我國數(shù)學基礎(chǔ)教育的一條重要經(jīng)驗，顧泠沅教授做了系統(tǒng)而深入的研究，提出了概念性變式和過程性變式兩大基本策略，對加深知識數(shù)學化過程體驗、促進知識生長有極大的作用。本文結(jié)合北師大版四年級下冊“等量關(guān)系”的教學實踐，闡述變式教學的具體實施策略。

一、把握內(nèi)涵本質(zhì)，找準生長靶點

唯有立足更高的視角，把握數(shù)學知識、思想方法的內(nèi)涵本質(zhì)，才能把握教學的主線，有的放矢，避免教學時“劍走偏鋒”“舍本逐末”“事倍功半”。

1.厘清知識結(jié)構(gòu)，明確目標

等量關(guān)系是方程的核心，史寧中教授認為，方程的本質(zhì)是“在講兩個故事，這兩個故事在數(shù)量上相等”。北師大版教材為等量關(guān)系安排了獨立的課時進行學習，突出體現(xiàn)了等量關(guān)系作為核心知識的作用與價值。因此本節(jié)課的主要目標應(yīng)該是認識“什么是等量關(guān)系”“如何找到并表達等量關(guān)系”。

教材中問題三：“他們還找到了這樣的等量關(guān)系，你能看懂嗎？”引導學生嘗試用不同的式子表示相同的等量關(guān)系，例如，a+b=c，也可以寫成c-b=a、c-a=b等形式。這個問題的設(shè)計筆者是存疑的，引導學生用不同的等式表示相同的等量關(guān)系，進行的是數(shù)量關(guān)系式之間的轉(zhuǎn)化，是算術(shù)思維，凸顯的是從已知量推導出未知量的思維方式。而本單元的學習內(nèi)容是方程，方程思想的本質(zhì)是建立等量關(guān)系，將未知量和已知量置于同等地位參與運算，用運算來解決數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化的思維難點，是方程思想和代數(shù)方法的最大價值所在，這也正是學生理解方程思想的關(guān)鍵所在。因此，筆者認為至少在本節(jié)課上不宜過多地讓學生進行等量關(guān)系式之間的轉(zhuǎn)化。

2.剖析學習經(jīng)驗，明確路徑

學生對等量關(guān)系的無意識體驗是豐富的，從一年級的加減算式到簡單問題的解決，無一不在使用等量關(guān)系，只不過不知道“1+2=3”就是等量關(guān)系而已，因此等量關(guān)系的外顯形式對學生來說只是老朋友換一個名稱而已。然而對等量關(guān)系本質(zhì)內(nèi)涵理解多數(shù)是不到位的（等量關(guān)系是數(shù)量之間一種相等平衡的狀態(tài)和關(guān)系，實質(zhì)是方程思想）。筆者也對五年級學生做過問卷調(diào)查：多數(shù)學生可以寫出簡單的等量關(guān)系，但是幾乎很少有學生能說明等量關(guān)系是怎么寫出來的。學生從數(shù)量關(guān)系的語言描述轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系式缺少具體的方法。

因此，教學應(yīng)直擊等量關(guān)系的本質(zhì)內(nèi)涵和學生學習的“痛點”，圍繞“什么是等量關(guān)系”和“如何找到并表示等量關(guān)系”兩個問題展開。認識等量關(guān)系首先應(yīng)讓學生明白“=”是表示兩邊相等狀態(tài)的符號，打破原來認為“=”是“算式和答案”“已知數(shù)和未知數(shù)”的連接符的錯誤認知。筆者認為天平模型是破解“理解、找到、表示等量關(guān)系”難題的關(guān)鍵，而教材中只用了天平模型解決“什么是等量關(guān)系”的問題，在“如何表示等量關(guān)系”環(huán)節(jié)讓學生從數(shù)量關(guān)系語言描述直接到高度抽象的關(guān)系式表達，對很多學生來說是一道無法輕易跨越的鴻溝，而天平模型就是一座很好的橋梁。

二、概念性變式，理解生長要點

運用概念性變式，從多角度理解概念，可以加深對概念的理解。因此，在本節(jié)課的概念要點“什么是等量關(guān)系”，可以運用概念性變式促進理解。

1.直觀的變式，降低難度

等量關(guān)系的概念具有抽象性，理解有一定的難度，但學生有充分的“蹺蹺板”“天平”等感性經(jīng)驗，建立蹺蹺板（感性經(jīng)驗）和等量關(guān)系（抽象概念）、蹺蹺板平衡狀態(tài)（感性經(jīng)驗）和等號（抽象概念）之間的聯(lián)系，大大降低了學生的理解難度。例如，蹺蹺板上的數(shù)學。

問題1：能說說蹺蹺板上動物重量的關(guān)系嗎？

生：1只鵝比2只鴨子重。

生：1只鵝比3只鴨子輕。

生：1只鵝與2只鴨和1只雞合起來一樣重。

問題2：如果用數(shù)學符號來表示這3個蹺蹺板上物體重量的狀態(tài)，你會用什么符號？

生：第一個用“>”，第二個用“<”，第三個

用“=”。

問題3：如果要把這3個狀態(tài)不同的蹺蹺板分成兩類，你會怎么分？

生：把第1個和第2個分為一類，第3個單獨為一類，因為第3個最特別，剛好兩邊一樣重。

師小結(jié)：今天我們就來研究學習這種兩邊剛好物體重量相等的狀態(tài)，也就是同類物體兩部分的量相等的關(guān)系，數(shù)學上稱為等量關(guān)系。

2.反例的變式，凸顯屬性

通過正例和反例的變式的對比，可以突出概念的本質(zhì)屬性，明晰概念的外延，如在上例中，通過分類、對比重量“相等”和“不等”兩種狀態(tài)，凸顯等量關(guān)系的本質(zhì)屬性——兩邊要一樣多。

三、過程性變式，連接生長斷點

從五年級學生的后測中反映出從語言文字、線段圖等數(shù)量關(guān)系的表達方式中找到等量關(guān)系并用等式表達之間，存在著一條多數(shù)學生難以逾越的鴻溝，是知識生長的斷點。運用過程性變式，設(shè)置合理的鋪墊，有層次地推進教學活動，讓學生經(jīng)歷知識數(shù)學化的全過程，降低難度，加深理解。

1.層次一：重量天平模型

問題1：你能在這3幅圖中找到等量關(guān)系嗎？如果有，請用等式表示出來。

生：第一個天平圖中不是等量關(guān)系，第二個和第三個是等量關(guān)系，我是這樣表示的：100克+櫻桃克=蘋果克，2×雞蛋克=100克。

問題2：我們剛才是怎樣把天平上的等量關(guān)系克表示成等式的呢？

生：只要把平衡的天平左右兩邊的物體重量分別“抄”在等號的兩邊就行了。

2.層次二：數(shù)量天平模型

課件出示以下內(nèi)容（見圖3）。

圖3

問題1：這個天平的等量關(guān)系能表示出來嗎？

生：可以，3×數(shù)學故事單價=15.6元

問題2：這個天平表示的好像不是重量？也沒問題嗎？

生：沒問題，它表示左右兩邊錢一樣多。

3.層次三：自構(gòu)天平模型

請你再找一找，下面的兩條信息中有等量關(guān)系嗎？如果有，請你用等式表示出來。

（學生沉默，教師引導小組交流。）

生1：我認為沒有等量關(guān)系，男生人數(shù)和女生人數(shù)不一樣多，足球和籃球的價格也不同。 ?（部分學生點頭贊同。）

生2：我認為有等量關(guān)系，第一條實際就是男生人數(shù)是女生的3倍，所以“男生人數(shù)=女生人數(shù)×3”，第二條是“籃球的單價=足球單價+80元”。（多數(shù)學生附和表示同意。）

師：看來這兩條信息里還是有等量關(guān)系的，那為什么剛才很多同學沒有發(fā)現(xiàn)呢？

生：因為沒有天平。

師：對啊，如果有天平就容易多了，那我們能不能在腦中想象一個數(shù)學的天平，根據(jù)給我們的信息，創(chuàng)造一個平衡的天平呢？

小結(jié)：其實等式就是“數(shù)學的天平”，等量關(guān)系有時還可以自己構(gòu)造。它除了可以放質(zhì)量，還可以放長度、數(shù)、價格等，可能放的東西不同，但兩邊東西的量一樣多。

4.層次四：多元表征等式

“3×籃球的單價=5×足球的單價+60元”，你能看懂這個等式所表達的等量關(guān)系嗎？你能用其他方式表示出來嗎？

通過四個層次的變式鋪墊，有層次地推進教學活動，依托天平模型，連接知識生長的斷點、難點，讓學生在直觀、半直觀、半抽象、抽象中來回穿梭，深刻經(jīng)歷知識生長的全過程，真正理解等量關(guān)系的內(nèi)涵本質(zhì)。

如果學習是一次有目的地的旅行，需要教師成為優(yōu)秀的“司機”，抓好“方向盤”（把握目標方向）;成為優(yōu)秀的 “導游”，引導多看“幾個面”（概念性變式，多角度理解）;成為優(yōu)秀的“設(shè)計師”，設(shè)計好“路線”（過程性變式，有層次推進）。

（作者單位：浙江師范大學附屬義烏小學）

責任編輯：肖佳曉

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