帶有多未知性的無(wú)人車編隊(duì)控制

王曉森， 曹國(guó)華

(長(zhǎng)春理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院長(zhǎng)春 130022)

近二十年來(lái),多智能體系統(tǒng)的分布式控制得到了學(xué)者的極大關(guān)注[1-5],現(xiàn)已廣泛用于智能電網(wǎng),移動(dòng)傳感器網(wǎng)絡(luò),無(wú)人車編隊(duì)等領(lǐng)域[6-8].編隊(duì)控制作為分布式控制的典型問(wèn)題得到了控制學(xué)者的廣泛關(guān)注[9-12], 它意味著利用局部信息設(shè)計(jì)分布式控制協(xié)議使得智能體能夠收斂到指定的幾何隊(duì)形.由于多智能體系統(tǒng)不可避免受到未知參數(shù),外部干擾等因素的影響,因此文獻(xiàn)[10-12]分別利用滑模方法,自適應(yīng)方法和內(nèi)模原理解決了帶有未知參數(shù)和干擾的多智能體系統(tǒng)分布式編隊(duì)控制問(wèn)題.

非完整無(wú)人小車是一種典型的非線性系統(tǒng),它在原點(diǎn)處的線性化系統(tǒng)是不可控的但其本身是可控的[13],從而導(dǎo)致反饋可線性化技術(shù)不再適用,需設(shè)計(jì)本質(zhì)非線性的控制器.為控制多個(gè)小車的編隊(duì)問(wèn)題,文獻(xiàn)[14-15]通過(guò)設(shè)計(jì)非線性分布式控制協(xié)議,研究了其跟蹤控制問(wèn)題，但值得注意的是文獻(xiàn)[14-15]需要已知的期望軌跡.

文中致力于研究具有多未知性的非完整無(wú)人車編隊(duì)控制問(wèn)題.多未知性主要表現(xiàn)在領(lǐng)導(dǎo)者的線速度、角速度及其上界是未知的，這使得已有方法不再適用.為補(bǔ)償這些未知性,文章設(shè)計(jì)了時(shí)變反饋控制協(xié)議，從而在該協(xié)議下實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的編隊(duì).

1 建模與問(wèn)題描述

考慮由N個(gè)具有相同結(jié)構(gòu)的無(wú)人車組成的系統(tǒng)，第i個(gè)無(wú)人車模型如圖1所示.

圖1 無(wú)人車模型

根據(jù)文獻(xiàn)[16]，其動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中：(xi,yi)是第i個(gè)小車的位置;ωi和vi分別是第i個(gè)小車的角速度和線速度.

令qi=[xi，yi，θi]T，則(1)可以寫成如下矩陣形式:

(2)

無(wú)人車之間的通信圖用一個(gè)有向權(quán)重圖G=(V，ε，A)表示，其中V={1，…，N}表示圖的節(jié)點(diǎn)集，ε?V×V表示圖的有向邊集，A=[aij]表示權(quán)重矩陣.在有向圖G中, (i，j)表示節(jié)點(diǎn)i的信息流向節(jié)點(diǎn)j,而反過(guò)來(lái)不行.若邊(i，j)∈E,則節(jié)點(diǎn)i稱為節(jié)點(diǎn)j的一個(gè)鄰居.

設(shè)最終由N個(gè)無(wú)人車構(gòu)成的幾何隊(duì)形為F,每一個(gè)無(wú)人車的正交坐標(biāo)為(pix,piy)且滿足

(3)

其中(p0x,p0y)是幾何隊(duì)形F的中心坐標(biāo).不失一般性,設(shè)p0x=0,且p0y=0.

文中的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制輸入vi和ωi使得:

(1)所有的無(wú)人車收斂到期望的幾何隊(duì)形F;

(2)每一個(gè)無(wú)人車的角度收斂到期望的角度θ0;

(3)隊(duì)形的中心收斂到期望的軌跡(x0(t)，y0(t)).

即，控制目標(biāo)滿足下式

(4)

所期望幾何隊(duì)形中心軌跡(x0(t)，y0(t))和期望角度θ0(t)可以看成虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的坐標(biāo)和角度且滿足

(5)

為敘述方便,我們將N個(gè)無(wú)人車稱為跟隨者.令bi表示無(wú)人車i和虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的通信關(guān)系且B=diag[b1,…,bn].若無(wú)人車i能夠接受虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的信息,則bi>0;否則bi=0.

為解決上述控制目標(biāo),我們給出如下假設(shè).

假設(shè)1對(duì)每一個(gè)無(wú)人車,θi是有界的且ωi是一致激勵(lì)的.

假設(shè)2系統(tǒng)存在多種未知性,即v0,ω0上界未知.

假設(shè)3至少存在一個(gè)跟隨者能夠獲得領(lǐng)導(dǎo)者的信息.

2 分布式控制協(xié)議設(shè)計(jì)

定義如下變換：

(6)

其中u1i和u2i是控制輸入且k0>0.對(duì)上述式子微分得到:

(7)

由式(6)和(7)可知,控制目標(biāo)(4)變?yōu)?/p>

(8)

根據(jù)文獻(xiàn)[17]可知,若(8)滿足,則N個(gè)無(wú)人車能夠收斂到幾何隊(duì)形F,即(4)滿足.值得注意的是上述變換將無(wú)人車的編隊(duì)問(wèn)題變?yōu)橐恢滦詥?wèn)題.為此,我們給出如下的分布式時(shí)變控制器：

(9)

將控制器(9)代入系統(tǒng)(7)可得

(10)

(11)

(12)

其中M=diag{L+B，L+B}.

由于符號(hào)函數(shù)是可測(cè)的且局部必然有界的,因此方程(12)的Filippov解存在,從而可以寫成如下微分包含形式：

(13)

推理1 若通信圖G是連通的且假設(shè)3滿足，則系統(tǒng)(7)在分布式控制協(xié)議(9)下存在有限時(shí)間T滿足

且

證:考慮如下Lypunov候選函數(shù)

則有

其中

.

(14)

此外,由函數(shù)h(t)的性質(zhì)可知,存在一個(gè)充分大的時(shí)間T1和正常數(shù)k1使得

h(t)-k>k1，t∈[T1,∞)

.

,

(15)

式中：λmax(M)和λmin(M)分別表示矩陣的最大特征值和最小特征值.

從上式得

因此，當(dāng)

時(shí)，V(t)=0.進(jìn)而可以得到z1i，z2i在有限時(shí)間內(nèi)趨于z10，z20.再由分布式控制協(xié)議(9)可知u1i在有限時(shí)間內(nèi)收斂到u10.

推理2 若通信圖G是連通的且假設(shè)3滿足,則z3i在分布式控制協(xié)議(9)下指數(shù)收斂到z30.

證:根據(jù)文獻(xiàn)[17]中定理3.3的證明,可類似得到相應(yīng)結(jié)論,故在這里省略證明.

注1:由定理1和2可知控制目標(biāo)(8)滿足,根據(jù)文獻(xiàn)[17]可知N個(gè)無(wú)人車能夠收斂到幾何隊(duì)形F,即(4)滿足.

3 數(shù)值仿真

在本節(jié)中,我們通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)值仿真算例來(lái)驗(yàn)證所提出的控制算法的有效性.考慮一個(gè)由3個(gè)跟隨者(記為1-3)和1個(gè)虛擬領(lǐng)導(dǎo)者(記為0)組成的多無(wú)人車系統(tǒng)，其通信關(guān)系如圖2所示.

圖2 三個(gè)跟隨者和一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者組成的通信圖

簡(jiǎn)便起見(jiàn),若跟隨者i能夠接收跟隨者j的信息,則aij=1；若跟隨者i能夠接收虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的信息,則bi=1.期望的幾何隊(duì)形為(p1x，p1y)=(0，2)，(p1x，p1y)=(-2，-1)，(p1x，p1y)=(2，-1).虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的參考軌跡可以選為x0=9sint/3,y0=9cost/3.選增益參數(shù)α=1,且增益函數(shù)h(t)=1+t.令初始條件[z1i(0),z2i(0)，z3i(0)]=[1，2，3].則我們可以得到圖3-5.從圖3-5可以看出(8)滿足,即實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的編隊(duì)控制.

圖3 狀態(tài)z1i，i=0，1,2，3

圖4 狀態(tài)z2i，i=0，1,2，3

圖5 狀態(tài)z3i，i=0，1,2，3

4 結(jié) 論

文中主要針對(duì)無(wú)人車領(lǐng)導(dǎo)者帶有未知線速度、角速度及其未知上界等多種未知性的無(wú)人車系統(tǒng)，解決了其編隊(duì)控制問(wèn)題.首先通過(guò)一個(gè)變換將無(wú)人車編隊(duì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一致性問(wèn)題.然后,針對(duì)帶有多未知性的無(wú)人車一致性問(wèn)題,設(shè)計(jì)了時(shí)變反饋控制策略，有效地補(bǔ)償了系統(tǒng)中存在的多種未知性.該時(shí)變策略的核心是在控制器中引入一個(gè)合適的純時(shí)間函數(shù)使得隨著時(shí)間的增加，未知性能夠被補(bǔ)償.最后，我們通過(guò)數(shù)值仿真算例驗(yàn)證了控制算法的有效性.