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    橋式起重機(jī)軌跡規(guī)劃及其跟蹤方法研究

    2019-07-12 03:15:44邵雪卷張學(xué)良
    關(guān)鍵詞:擺角內(nèi)模起重機(jī)

    李 瑤,邵雪卷,張學(xué)良

    (1. 太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院,太原 030024;2. 太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,太原 030024)

    橋式起重機(jī)作為一種大型的工程搬運(yùn)設(shè)備,在重工業(yè)、國(guó)防和國(guó)民經(jīng)濟(jì)中發(fā)揮著舉足輕重的作用。但起重機(jī)是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),小車的加速、減速、以及勻速行駛過(guò)程中負(fù)載擺角都會(huì)影響起重機(jī)的運(yùn)行。人們無(wú)法直接對(duì)起重機(jī)負(fù)載進(jìn)行控制,只能通過(guò)控制小車的運(yùn)動(dòng),并在不影響其定位的前提下,間接地抑制負(fù)載擺動(dòng)。因此,負(fù)載在水平運(yùn)行過(guò)程的定位與防擺控制效果直接影響起重機(jī)的工作效率[1]。

    針對(duì)起重機(jī)定位與防擺的控制研究,文獻(xiàn)中大多數(shù)方法是調(diào)節(jié)控制,比如部分反饋線性化[2]、滑??刂芠3]、模型預(yù)測(cè)控制[4]、模糊控制[5-7]、基于能量的控制方法[8-11]或幾種控制方法的結(jié)合等。大量的實(shí)際操作表明,設(shè)計(jì)合理的參考軌跡也可以讓小車進(jìn)行精準(zhǔn)定位和減小負(fù)載擺動(dòng)。文獻(xiàn)[12]基于相平面的幾何分析法,將臺(tái)車運(yùn)動(dòng)引起的負(fù)載擺動(dòng)映射到相平面中,構(gòu)造出一條具有解析表達(dá)式的三段式加速度消擺軌跡。文獻(xiàn)[13]中,給出S型參考軌跡后,根據(jù)加速度與角度之間的動(dòng)態(tài)耦合關(guān)系,設(shè)計(jì)了一個(gè)消擺環(huán)節(jié),達(dá)到了定位消擺的目的。此外,軌跡規(guī)劃與軌跡跟蹤的結(jié)合使用也得到一些學(xué)者的關(guān)注。該方法的核心思想是規(guī)劃一條平滑的參考軌跡引導(dǎo)小車運(yùn)行,然后設(shè)計(jì)相應(yīng)的跟蹤控制器, 這樣不僅會(huì)使小車運(yùn)動(dòng)更加平穩(wěn), 還能更好地考慮一些物理約束條件(如小車最大速度、加速度,最大擺角等)。文獻(xiàn)[14]對(duì)小車加速度進(jìn)行整形,給出了一條能夠消除負(fù)載擺動(dòng)的加速度參考軌跡,并運(yùn)用滑模控制跟蹤該軌跡。文獻(xiàn)[15]中給出S型參考軌跡后設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器對(duì)其進(jìn)行跟蹤,該方法的軌跡不僅能使小車能準(zhǔn)確定位,也能減小負(fù)載擺角。文獻(xiàn)[16]通過(guò)對(duì)吊車動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行一系列的變換, 采用S型參考軌跡后,設(shè)計(jì)了一種新穎的跟蹤控制器,在精準(zhǔn)定位和減小負(fù)載擺角的同時(shí)能夠保證小車的平滑啟動(dòng)與運(yùn)行。

    內(nèi)??刂埔蚋櫿{(diào)節(jié)性能好、魯棒性強(qiáng)以及易于設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)得到了廣泛應(yīng)用[17]。本文提出了一種基于內(nèi)模跟蹤控制的策略,跟蹤的軌跡是在考慮起重機(jī)本身約束條件后,給出的一條加速度參考軌跡,該加速度軌跡能夠使負(fù)載消除殘擺,再通過(guò)內(nèi)??刂破鲗?duì)系統(tǒng)進(jìn)行跟蹤控制,不僅使小車能快速精準(zhǔn)地達(dá)到目標(biāo)位置,而且當(dāng)小車帶動(dòng)不同負(fù)載運(yùn)行時(shí),擺角依舊在約束的范圍內(nèi)。

    1 問(wèn)題描述

    主要針對(duì)2-D橋式起重機(jī)系統(tǒng),對(duì)小車水平運(yùn)行過(guò)程(纜繩長(zhǎng)度不變)進(jìn)行研究。其模型圖如圖1所示:

    圖1 2-D橋式起重機(jī)模型
    Fig.1 2-D overhead crane model

    系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為:

    (2)

    模型中M和m分別代表小車和負(fù)載的質(zhì)量,l為纜繩長(zhǎng)度,x(t)為小車位置,θ(t)為負(fù)載擺角,u為驅(qū)動(dòng)力,g為重力加速度,f為阻尼系數(shù)。式(2)化簡(jiǎn)后可得:

    (3)

    起重機(jī)負(fù)載擺角在很小的范圍內(nèi)滿足近似關(guān)系sinθ≈θ,cosθ≈1.因此,式(3)可重寫為:

    (4)

    在平衡點(diǎn)θ=0附近,由近似關(guān)系,式(1)和式(2)可化簡(jiǎn)為:

    (5)

    式(5)做拉氏變換得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:

    (6)

    由式(3)可以看出,小車加速度和負(fù)載擺角之間存在著動(dòng)態(tài)耦合關(guān)系,小車加速度直接影響負(fù)載的擺動(dòng)。因此,合理地規(guī)劃軌跡可以使小車加速運(yùn)行時(shí)減小負(fù)載擺角,在小車勻速行駛及靜止時(shí)不存在殘擺。

    2 加速度軌跡規(guī)劃

    在進(jìn)行軌跡規(guī)劃時(shí),需要考慮實(shí)際起重機(jī)小車運(yùn)行時(shí)的一些約束條件:

    (1)小車能在有限的時(shí)間內(nèi)且無(wú)超調(diào)的收斂至所設(shè)定的距離點(diǎn)pd,即x(t)→pd.

    (3)最大負(fù)載擺角應(yīng)保持在可接受的角度范圍內(nèi),即|θ(t)|≤θmax.

    (4)當(dāng)小車以恒定速度運(yùn)行及到達(dá)目標(biāo)位置時(shí),負(fù)載擺角應(yīng)為零。

    參考軌跡的給定能滿足的約束條件是:

    (7)

    小車水平運(yùn)行時(shí),負(fù)載擺角變化如圖2所示:

    圖2 水平運(yùn)動(dòng)示意圖
    Fig.2 Schematic diagram of horizontal motion

    該過(guò)程可分為三個(gè)階段,第一階段τa:加速運(yùn)行。此時(shí)擺角大小由零隨速度的增大反方向增大。第二階段τc:勻速運(yùn)行。當(dāng)速度達(dá)到最大值后開(kāi)始勻速運(yùn)行,這個(gè)階段的負(fù)載擺角應(yīng)為零。第三階段τb:減速運(yùn)行。運(yùn)行時(shí)間與第一階段的運(yùn)行時(shí)間相同,該階段的負(fù)載擺角存在,當(dāng)速度減為零時(shí),擺角也變?yōu)榱?。通過(guò)分析小車運(yùn)行過(guò)程,給出加速度參考軌跡,本節(jié)將對(duì)參考軌跡進(jìn)行詳細(xì)描述。

    當(dāng)小車以恒定加速度運(yùn)行時(shí),解式(4)可得:

    (8)

    通過(guò)上述分析,加速度參考軌跡如圖3所示:

    圖3 加速度及速度參考軌跡
    Fig.3 Acceleration and velocity reference trajectory

    τa與τb階段是一個(gè)對(duì)稱的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,因此,只需研究τa過(guò)程。該階段的加速度可以是由幾段恒定的加速過(guò)程組成,如圖4所示:

    圖4 加速度參考軌跡
    Fig.4 Acceleration reference trajectories

    給出τa階段加速度軌跡的一般形式:

    (9)

    其中ai為常數(shù),τi是以加速度為ai運(yùn)行時(shí)的加速時(shí)間,階躍函數(shù)定義為:

    (10)

    將式(9)帶入式(8)中,可得:

    (11)

    (12)

    負(fù)載殘擺為零時(shí)θ(t)=0,式(12)可寫為:

    (13)

    整個(gè)加速完成后速度達(dá)到最大值,最大速度是:

    (14)

    由給定約束條件和式(13)、式(14)可確定各階段的加速時(shí)間以及相應(yīng)的加速度。

    當(dāng)N=1時(shí),τa階段以一個(gè)恒定的加速度進(jìn)行加速運(yùn)行,如圖3所示。有三個(gè)未知參數(shù)即該階段的加速度和加速時(shí)間需要確定,有

    (15)

    (16)

    最大擺角θmax(t=τ/2)=-2a0/g.

    給定pd為4 m,最大速度0.5 m/s,纜繩長(zhǎng)度l=1.2 m,重力加速度g=9.8 m/s2.計(jì)算可得τa時(shí)段的各加速度以及對(duì)應(yīng)的加速時(shí)間,其結(jié)果為:

    當(dāng)N=3時(shí),加速度軌跡圖形如圖4所示,有:

    (17)

    當(dāng)τ0+τ1+τ2+τ3=τa=3T時(shí),殘擺為零,滿足上式,且小車在該時(shí)間段加速運(yùn)行時(shí),加速度增大再到減小為零是一個(gè)對(duì)稱的過(guò)程,因此可知τ0到τ1和τ2到τ3時(shí)間段是相同的,因此,可解得:

    τ0=0,τ1=0.5T,τ2=T,τ3=1.5T,最大擺角為:

    (18)

    計(jì)算得到N=3時(shí)各參數(shù):

    [0 1.0988 2.1975 3.2963];

    τc=4.703s;θmax=1.333°.

    當(dāng)N≥5時(shí),除了式(12)、式(13)外,還需額外構(gòu)造方程,但是在同樣能滿足消除殘擺的情況下,類似這種階梯型參考軌跡的臺(tái)階數(shù)越多,計(jì)算量也就越大,因此,本文選取當(dāng)N=3時(shí)的加速度參考軌跡。

    3 內(nèi)??刂破鞯脑O(shè)計(jì)

    帶輸入干擾的內(nèi)??刂平Y(jié)構(gòu)框圖如圖5所示:

    圖5 內(nèi)模控制結(jié)構(gòu)框圖
    Fig.5 Block diagram of IMC

    其中,X(s)和Y(s)分別代表系統(tǒng)的輸入與輸出,Q(s)為內(nèi)模控制器,G(s)為被控對(duì)象,M(s)為對(duì)象的數(shù)學(xué)模型,D(s)為系統(tǒng)的輸入干擾。

    在起重機(jī)系統(tǒng)中,由式(6)可看出位移與擺角之間的關(guān)系如圖6所示:

    圖6 位移與擺角關(guān)系
    Fig.6 Relationship between displacement and swing angle

    通過(guò)圖6可知,只要給定輸入,擺角的變化可由位移得到,因此只需設(shè)計(jì)定位跟蹤控制器。為了設(shè)計(jì)控制器的簡(jiǎn)便,對(duì)式(6)中的第一個(gè)傳遞函數(shù)進(jìn)行降階處理,采用Matlab中提供的最優(yōu)降階函數(shù)opt_app( )進(jìn)行降階,降階后模型的位移傳遞函數(shù)為:

    (19)

    根據(jù)內(nèi)??刂破鞯脑O(shè)計(jì)方法,內(nèi)??刂破鳛椋?/p>

    (20)

    (21)

    其中λ為濾波參數(shù),圖5可等效化簡(jiǎn)為圖7:

    圖7 等效內(nèi)模控制器
    Fig.7 Equivalent internal model controller

    圖7中GC(s)與Q(s)的關(guān)系為:

    (22)

    由分析可知,控制器中只有一個(gè)可調(diào)參數(shù)λ,且λ的大小影響著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。當(dāng)λ取的值較小時(shí),系統(tǒng)有良好的動(dòng)態(tài)性能,但魯棒性較差,當(dāng)λ取值較大時(shí),系統(tǒng)的魯棒性得到改善,但動(dòng)態(tài)性能有所下降。因此,要選取適當(dāng)?shù)摩酥?,使系統(tǒng)達(dá)到期望的性能。

    4 仿真與分析

    為了體現(xiàn)本文參考軌跡的適用性及控制器的可行性,在Matlab中進(jìn)行仿真。設(shè)定小車的距離pd為4 m,阻尼系數(shù)f為0.2,最大速度為0.5 m/s,小車質(zhì)量為5 kg,負(fù)載質(zhì)量為10 kg,纜繩長(zhǎng)度為1.2 m,重力加速度9.8 m/s2,則負(fù)載擺動(dòng)的自然頻率ωn為2.859 2 rad/s,周期T為2.197 5 s.通過(guò)Matlab中降階函數(shù)得到降階后位移傳遞函數(shù)中的參數(shù)K=5,T=75,擾動(dòng)為d(t)=0.5(t-12).小車以最大速度勻速行駛的時(shí)間τc=4.703 s,到達(dá)目標(biāo)位置需要的總時(shí)間為tf=11.296 s,最大負(fù)載擺角θmax=1.333°,控制器為:

    (23)

    λ的取值會(huì)影響系統(tǒng)的性能,在系統(tǒng)穩(wěn)定后的第12 s加入輸入擾動(dòng),小車的位置以及負(fù)載擺角結(jié)果如圖8所示:

    圖8 小車位置與負(fù)載擺角
    Fig.8 Trolley position and load swing angle

    當(dāng)λ=0.001時(shí)和λ=0.000 2時(shí),小車位置與負(fù)載擺角的響應(yīng)基本一致,只是在加入輸入擾動(dòng)后,濾波參數(shù)小的系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定所用的時(shí)間短,二者相差時(shí)間在0.01s內(nèi)。當(dāng)λ=0.05時(shí),小車在規(guī)劃的時(shí)間內(nèi)不能到達(dá)目標(biāo)位置,且加入擾動(dòng)后,小車出現(xiàn)了輕微振蕩,負(fù)載出現(xiàn)了擺動(dòng)。在仿真的過(guò)程中,考慮λ越大,對(duì)系統(tǒng)快速性影響較大,因此,在本文中,取濾波參數(shù)λ=0.001.

    下面具體分析λ=0.001時(shí)的小車軌跡跟蹤以及負(fù)載擺角的情況,并與文獻(xiàn)[14]中滑模控制方法進(jìn)行對(duì)比,仿真結(jié)果如圖9所示:

    圖9 跟蹤軌跡及其負(fù)載擺角
    Fig.9 Trajectory tracking and its load swing angle

    從圖中可以看出,采用內(nèi)??刂破骱臀墨I(xiàn)[14]中的滑??刂破鞫寄苁剐≤囋?1.3 s內(nèi)準(zhǔn)確到達(dá)目標(biāo)位置,且定位誤差保持在4 mm以內(nèi);在12 s加入擾動(dòng)后,本文方法能使小車在0.2 s內(nèi)恢復(fù)在目標(biāo)位置,采用滑??刂菩≤囆枰p微振蕩后才能穩(wěn)定在目標(biāo)位置。本文方法進(jìn)行跟蹤時(shí)最大負(fù)載擺角θmax為1.33°,與理論計(jì)算的結(jié)果一致。在加入擾動(dòng)后的負(fù)載會(huì)有輕微的殘擺,但誤差在0.01°內(nèi),而文獻(xiàn)所用的方法使負(fù)載存在較大的殘擺,且最大負(fù)載殘擺為1.1°.通過(guò)對(duì)比本文和文獻(xiàn)仿真結(jié)果得出:采用兩種控制器都能使小車跟蹤上參考軌跡,但是在加入擾動(dòng)后,本文采用的內(nèi)??刂瓶梢允瓜到y(tǒng)具有較好的抗干擾性能。

    圖10 不同負(fù)載下的擺角情況
    Fig.10 The swing angle under different load

    由于改變負(fù)載質(zhì)量不會(huì)影響小車定位,圖10給出改變負(fù)載質(zhì)量情況下本文及文獻(xiàn)[14]負(fù)載擺角的仿真曲線。

    由圖10(a)、(b)和(c)可以看出小車在不同負(fù)載下的運(yùn)行情況,由圖可知,采用本文的控制方法不會(huì)因負(fù)載質(zhì)量的改變而出現(xiàn)振蕩或者大幅擺動(dòng),在負(fù)載為5 kg時(shí),文獻(xiàn)[14]的結(jié)果與本文基本一致;負(fù)載為10 kg時(shí),出現(xiàn)輕微振蕩;而當(dāng)負(fù)載為20 g時(shí),出現(xiàn)明顯的大幅度擺動(dòng)。說(shuō)明了本文用內(nèi)模控制能使系統(tǒng)具有良好的魯棒性。

    5 結(jié)束語(yǔ)

    為了使起重機(jī)小車能夠快速而準(zhǔn)確的跟蹤上規(guī)劃的軌跡,并且在運(yùn)行過(guò)程中減小擺角。本文給出了類似階梯狀加速度軌跡并設(shè)計(jì)了內(nèi)??刂破鬟M(jìn)行軌跡跟蹤。結(jié)果表明該加速度軌跡易于跟蹤且能減小負(fù)載擺角;在有內(nèi)模控制器的情況下,加入輸入擾動(dòng)后系統(tǒng)能快速恢復(fù)穩(wěn)定,并且改變負(fù)載質(zhì)量不會(huì)使其擺角振蕩。說(shuō)明采用類似階梯狀加速度軌跡及使用內(nèi)??刂破髂苁瓜到y(tǒng)具有良好的抗干擾性及魯棒性。

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