橋式起重機(jī)軌跡規(guī)劃及其跟蹤方法研究

李 瑤，邵雪卷，張學(xué)良

(1. 太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，太原 030024；2. 太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024)

橋式起重機(jī)作為一種大型的工程搬運(yùn)設(shè)備，在重工業(yè)、國(guó)防和國(guó)民經(jīng)濟(jì)中發(fā)揮著舉足輕重的作用。但起重機(jī)是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，小車的加速、減速、以及勻速行駛過(guò)程中負(fù)載擺角都會(huì)影響起重機(jī)的運(yùn)行。人們無(wú)法直接對(duì)起重機(jī)負(fù)載進(jìn)行控制，只能通過(guò)控制小車的運(yùn)動(dòng)，并在不影響其定位的前提下，間接地抑制負(fù)載擺動(dòng)。因此，負(fù)載在水平運(yùn)行過(guò)程的定位與防擺控制效果直接影響起重機(jī)的工作效率[1]。

針對(duì)起重機(jī)定位與防擺的控制研究，文獻(xiàn)中大多數(shù)方法是調(diào)節(jié)控制，比如部分反饋線性化[2]、滑?？刂芠3]、模型預(yù)測(cè)控制[4]、模糊控制[5-7]、基于能量的控制方法[8-11]或幾種控制方法的結(jié)合等。大量的實(shí)際操作表明，設(shè)計(jì)合理的參考軌跡也可以讓小車進(jìn)行精準(zhǔn)定位和減小負(fù)載擺動(dòng)。文獻(xiàn)[12]基于相平面的幾何分析法，將臺(tái)車運(yùn)動(dòng)引起的負(fù)載擺動(dòng)映射到相平面中，構(gòu)造出一條具有解析表達(dá)式的三段式加速度消擺軌跡。文獻(xiàn)[13]中，給出S型參考軌跡后，根據(jù)加速度與角度之間的動(dòng)態(tài)耦合關(guān)系，設(shè)計(jì)了一個(gè)消擺環(huán)節(jié)，達(dá)到了定位消擺的目的。此外，軌跡規(guī)劃與軌跡跟蹤的結(jié)合使用也得到一些學(xué)者的關(guān)注。該方法的核心思想是規(guī)劃一條平滑的參考軌跡引導(dǎo)小車運(yùn)行，然后設(shè)計(jì)相應(yīng)的跟蹤控制器, 這樣不僅會(huì)使小車運(yùn)動(dòng)更加平穩(wěn), 還能更好地考慮一些物理約束條件(如小車最大速度、加速度，最大擺角等)。文獻(xiàn)[14]對(duì)小車加速度進(jìn)行整形，給出了一條能夠消除負(fù)載擺動(dòng)的加速度參考軌跡，并運(yùn)用滑模控制跟蹤該軌跡。文獻(xiàn)[15]中給出S型參考軌跡后設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器對(duì)其進(jìn)行跟蹤，該方法的軌跡不僅能使小車能準(zhǔn)確定位，也能減小負(fù)載擺角。文獻(xiàn)[16]通過(guò)對(duì)吊車動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行一系列的變換, 采用S型參考軌跡后，設(shè)計(jì)了一種新穎的跟蹤控制器,在精準(zhǔn)定位和減小負(fù)載擺角的同時(shí)能夠保證小車的平滑啟動(dòng)與運(yùn)行。

內(nèi)?？刂埔蚋櫿{(diào)節(jié)性能好、魯棒性強(qiáng)以及易于設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)得到了廣泛應(yīng)用[17]。本文提出了一種基于內(nèi)模跟蹤控制的策略，跟蹤的軌跡是在考慮起重機(jī)本身約束條件后，給出的一條加速度參考軌跡，該加速度軌跡能夠使負(fù)載消除殘擺，再通過(guò)內(nèi)?？刂破鲗?duì)系統(tǒng)進(jìn)行跟蹤控制，不僅使小車能快速精準(zhǔn)地達(dá)到目標(biāo)位置，而且當(dāng)小車帶動(dòng)不同負(fù)載運(yùn)行時(shí)，擺角依舊在約束的范圍內(nèi)。

1 問(wèn)題描述

主要針對(duì)2-D橋式起重機(jī)系統(tǒng)，對(duì)小車水平運(yùn)行過(guò)程(纜繩長(zhǎng)度不變)進(jìn)行研究。其模型圖如圖1所示：

圖1 2-D橋式起重機(jī)模型
Fig.1 2-D overhead crane model

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為：

(2)

模型中M和m分別代表小車和負(fù)載的質(zhì)量，l為纜繩長(zhǎng)度，x(t)為小車位置，θ(t)為負(fù)載擺角，u為驅(qū)動(dòng)力，g為重力加速度，f為阻尼系數(shù)。式(2)化簡(jiǎn)后可得：

(3)

起重機(jī)負(fù)載擺角在很小的范圍內(nèi)滿足近似關(guān)系sinθ≈θ,cosθ≈1.因此，式(3)可重寫為：

(4)

在平衡點(diǎn)θ=0附近，由近似關(guān)系，式(1)和式(2)可化簡(jiǎn)為：

(5)

式(5)做拉氏變換得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

(6)

由式(3)可以看出，小車加速度和負(fù)載擺角之間存在著動(dòng)態(tài)耦合關(guān)系，小車加速度直接影響負(fù)載的擺動(dòng)。因此，合理地規(guī)劃軌跡可以使小車加速運(yùn)行時(shí)減小負(fù)載擺角，在小車勻速行駛及靜止時(shí)不存在殘擺。

2 加速度軌跡規(guī)劃

在進(jìn)行軌跡規(guī)劃時(shí)，需要考慮實(shí)際起重機(jī)小車運(yùn)行時(shí)的一些約束條件：

(1)小車能在有限的時(shí)間內(nèi)且無(wú)超調(diào)的收斂至所設(shè)定的距離點(diǎn)pd，即x(t)→pd.

(3)最大負(fù)載擺角應(yīng)保持在可接受的角度范圍內(nèi)，即|θ(t)|≤θmax.

(4)當(dāng)小車以恒定速度運(yùn)行及到達(dá)目標(biāo)位置時(shí)，負(fù)載擺角應(yīng)為零。

參考軌跡的給定能滿足的約束條件是：

(7)

小車水平運(yùn)行時(shí)，負(fù)載擺角變化如圖2所示：

圖2 水平運(yùn)動(dòng)示意圖
Fig.2 Schematic diagram of horizontal motion

該過(guò)程可分為三個(gè)階段，第一階段τa：加速運(yùn)行。此時(shí)擺角大小由零隨速度的增大反方向增大。第二階段τc：勻速運(yùn)行。當(dāng)速度達(dá)到最大值后開(kāi)始勻速運(yùn)行，這個(gè)階段的負(fù)載擺角應(yīng)為零。第三階段τb：減速運(yùn)行。運(yùn)行時(shí)間與第一階段的運(yùn)行時(shí)間相同，該階段的負(fù)載擺角存在，當(dāng)速度減為零時(shí)，擺角也變?yōu)榱?。通過(guò)分析小車運(yùn)行過(guò)程，給出加速度參考軌跡，本節(jié)將對(duì)參考軌跡進(jìn)行詳細(xì)描述。

當(dāng)小車以恒定加速度運(yùn)行時(shí)，解式(4)可得：

(8)

通過(guò)上述分析，加速度參考軌跡如圖3所示：

圖3 加速度及速度參考軌跡
Fig.3 Acceleration and velocity reference trajectory

τa與τb階段是一個(gè)對(duì)稱的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，因此，只需研究τa過(guò)程。該階段的加速度可以是由幾段恒定的加速過(guò)程組成，如圖4所示：

圖4 加速度參考軌跡
Fig.4 Acceleration reference trajectories

給出τa階段加速度軌跡的一般形式：

(9)

其中ai為常數(shù)，τi是以加速度為ai運(yùn)行時(shí)的加速時(shí)間，階躍函數(shù)定義為：

(10)

將式(9)帶入式(8)中，可得：

(11)

(12)

負(fù)載殘擺為零時(shí)θ(t)=0，式(12)可寫為：

(13)

整個(gè)加速完成后速度達(dá)到最大值，最大速度是：

(14)

由給定約束條件和式(13)、式(14)可確定各階段的加速時(shí)間以及相應(yīng)的加速度。

當(dāng)N=1時(shí)，τa階段以一個(gè)恒定的加速度進(jìn)行加速運(yùn)行，如圖3所示。有三個(gè)未知參數(shù)即該階段的加速度和加速時(shí)間需要確定，有

(15)

(16)

最大擺角θmax(t=τ/2)=-2a0/g.

給定pd為4 m，最大速度0.5 m/s，纜繩長(zhǎng)度l=1.2 m，重力加速度g=9.8 m/s2.計(jì)算可得τa時(shí)段的各加速度以及對(duì)應(yīng)的加速時(shí)間，其結(jié)果為：

當(dāng)N=3時(shí)，加速度軌跡圖形如圖4所示，有:

(17)

當(dāng)τ0+τ1+τ2+τ3=τa=3T時(shí)，殘擺為零，滿足上式，且小車在該時(shí)間段加速運(yùn)行時(shí)，加速度增大再到減小為零是一個(gè)對(duì)稱的過(guò)程，因此可知τ0到τ1和τ2到τ3時(shí)間段是相同的，因此，可解得：

τ0=0,τ1=0.5T,τ2=T,τ3=1.5T，最大擺角為：

(18)

計(jì)算得到N=3時(shí)各參數(shù)：

[0 1.0988 2.1975 3.2963]；

τc=4.703s；θmax=1.333°.

當(dāng)N≥5時(shí)，除了式(12)、式(13)外，還需額外構(gòu)造方程，但是在同樣能滿足消除殘擺的情況下，類似這種階梯型參考軌跡的臺(tái)階數(shù)越多，計(jì)算量也就越大，因此，本文選取當(dāng)N=3時(shí)的加速度參考軌跡。

3 內(nèi)?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)

帶輸入干擾的內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)框圖如圖5所示：

圖5 內(nèi)模控制結(jié)構(gòu)框圖
Fig.5 Block diagram of IMC

其中，X(s)和Y(s)分別代表系統(tǒng)的輸入與輸出，Q(s)為內(nèi)模控制器，G(s)為被控對(duì)象，M(s)為對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，D(s)為系統(tǒng)的輸入干擾。

在起重機(jī)系統(tǒng)中，由式(6)可看出位移與擺角之間的關(guān)系如圖6所示：

圖6 位移與擺角關(guān)系
Fig.6 Relationship between displacement and swing angle

通過(guò)圖6可知，只要給定輸入，擺角的變化可由位移得到，因此只需設(shè)計(jì)定位跟蹤控制器。為了設(shè)計(jì)控制器的簡(jiǎn)便，對(duì)式(6)中的第一個(gè)傳遞函數(shù)進(jìn)行降階處理，采用Matlab中提供的最優(yōu)降階函數(shù)opt_app( )進(jìn)行降階，降階后模型的位移傳遞函數(shù)為：

(19)

根據(jù)內(nèi)?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)方法，內(nèi)?？刂破鳛椋?/p>

(20)

(21)

其中λ為濾波參數(shù)，圖5可等效化簡(jiǎn)為圖7：

圖7 等效內(nèi)模控制器
Fig.7 Equivalent internal model controller

圖7中GC(s)與Q(s)的關(guān)系為：

(22)

由分析可知，控制器中只有一個(gè)可調(diào)參數(shù)λ，且λ的大小影響著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。當(dāng)λ取的值較小時(shí)，系統(tǒng)有良好的動(dòng)態(tài)性能，但魯棒性較差，當(dāng)λ取值較大時(shí)，系統(tǒng)的魯棒性得到改善，但動(dòng)態(tài)性能有所下降。因此，要選取適當(dāng)?shù)摩酥?，使系統(tǒng)達(dá)到期望的性能。

4 仿真與分析

為了體現(xiàn)本文參考軌跡的適用性及控制器的可行性，在Matlab中進(jìn)行仿真。設(shè)定小車的距離pd為4 m，阻尼系數(shù)f為0.2，最大速度為0.5 m/s，小車質(zhì)量為5 kg，負(fù)載質(zhì)量為10 kg，纜繩長(zhǎng)度為1.2 m，重力加速度9.8 m/s2，則負(fù)載擺動(dòng)的自然頻率ωn為2.859 2 rad/s，周期T為2.197 5 s.通過(guò)Matlab中降階函數(shù)得到降階后位移傳遞函數(shù)中的參數(shù)K=5,T=75，擾動(dòng)為d(t)=0.5(t-12).小車以最大速度勻速行駛的時(shí)間τc=4.703 s，到達(dá)目標(biāo)位置需要的總時(shí)間為tf=11.296 s，最大負(fù)載擺角θmax=1.333°，控制器為：

(23)

λ的取值會(huì)影響系統(tǒng)的性能，在系統(tǒng)穩(wěn)定后的第12 s加入輸入擾動(dòng)，小車的位置以及負(fù)載擺角結(jié)果如圖8所示：

圖8 小車位置與負(fù)載擺角
Fig.8 Trolley position and load swing angle

當(dāng)λ=0.001時(shí)和λ=0.000 2時(shí)，小車位置與負(fù)載擺角的響應(yīng)基本一致，只是在加入輸入擾動(dòng)后，濾波參數(shù)小的系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)定所用的時(shí)間短，二者相差時(shí)間在0.01s內(nèi)。當(dāng)λ=0.05時(shí)，小車在規(guī)劃的時(shí)間內(nèi)不能到達(dá)目標(biāo)位置，且加入擾動(dòng)后，小車出現(xiàn)了輕微振蕩，負(fù)載出現(xiàn)了擺動(dòng)。在仿真的過(guò)程中，考慮λ越大，對(duì)系統(tǒng)快速性影響較大，因此，在本文中，取濾波參數(shù)λ=0.001.

下面具體分析λ=0.001時(shí)的小車軌跡跟蹤以及負(fù)載擺角的情況，并與文獻(xiàn)[14]中滑模控制方法進(jìn)行對(duì)比，仿真結(jié)果如圖9所示：

圖9 跟蹤軌跡及其負(fù)載擺角
Fig.9 Trajectory tracking and its load swing angle

從圖中可以看出，采用內(nèi)?？刂破骱臀墨I(xiàn)[14]中的滑?？刂破鞫寄苁剐≤囋?1.3 s內(nèi)準(zhǔn)確到達(dá)目標(biāo)位置，且定位誤差保持在4 mm以內(nèi)；在12 s加入擾動(dòng)后，本文方法能使小車在0.2 s內(nèi)恢復(fù)在目標(biāo)位置，采用滑?？刂菩≤囆枰p微振蕩后才能穩(wěn)定在目標(biāo)位置。本文方法進(jìn)行跟蹤時(shí)最大負(fù)載擺角θmax為1.33°，與理論計(jì)算的結(jié)果一致。在加入擾動(dòng)后的負(fù)載會(huì)有輕微的殘擺，但誤差在0.01°內(nèi)，而文獻(xiàn)所用的方法使負(fù)載存在較大的殘擺，且最大負(fù)載殘擺為1.1°.通過(guò)對(duì)比本文和文獻(xiàn)仿真結(jié)果得出：采用兩種控制器都能使小車跟蹤上參考軌跡，但是在加入擾動(dòng)后，本文采用的內(nèi)?？刂瓶梢允瓜到y(tǒng)具有較好的抗干擾性能。

圖10 不同負(fù)載下的擺角情況
Fig.10 The swing angle under different load

由于改變負(fù)載質(zhì)量不會(huì)影響小車定位，圖10給出改變負(fù)載質(zhì)量情況下本文及文獻(xiàn)[14]負(fù)載擺角的仿真曲線。

由圖10(a)、(b)和(c)可以看出小車在不同負(fù)載下的運(yùn)行情況，由圖可知，采用本文的控制方法不會(huì)因負(fù)載質(zhì)量的改變而出現(xiàn)振蕩或者大幅擺動(dòng)，在負(fù)載為5 kg時(shí)，文獻(xiàn)[14]的結(jié)果與本文基本一致；負(fù)載為10 kg時(shí)，出現(xiàn)輕微振蕩；而當(dāng)負(fù)載為20 g時(shí)，出現(xiàn)明顯的大幅度擺動(dòng)。說(shuō)明了本文用內(nèi)模控制能使系統(tǒng)具有良好的魯棒性。

5 結(jié)束語(yǔ)

為了使起重機(jī)小車能夠快速而準(zhǔn)確的跟蹤上規(guī)劃的軌跡，并且在運(yùn)行過(guò)程中減小擺角。本文給出了類似階梯狀加速度軌跡并設(shè)計(jì)了內(nèi)?？刂破鬟M(jìn)行軌跡跟蹤。結(jié)果表明該加速度軌跡易于跟蹤且能減小負(fù)載擺角；在有內(nèi)模控制器的情況下，加入輸入擾動(dòng)后系統(tǒng)能快速恢復(fù)穩(wěn)定，并且改變負(fù)載質(zhì)量不會(huì)使其擺角振蕩。說(shuō)明采用類似階梯狀加速度軌跡及使用內(nèi)?？刂破髂苁瓜到y(tǒng)具有良好的抗干擾性及魯棒性。