不畏浮云遮望眼 只因“背景”在心中—探究一道圓錐曲線小題的命制背景

廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510006) 陳經(jīng)緯

關(guān)鍵字 背景;蒙日?qǐng)A;切線

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué)，通過解題教學(xué)能使學(xué)生加深對(duì)概念的理解和方法的運(yùn)用，促進(jìn)思維能力的提升.在解題教學(xué)中，教師僅僅展示解題過程和結(jié)果是不夠的，要深刻地分析試題的命制背景，只有把“背景”講透了，才能讓學(xué)生居高臨下看問題，實(shí)現(xiàn)解題能力實(shí)質(zhì)性的突破，本文以一道圓錐曲線小題為例，探究試題的命制背景.

一、問題的提出

題目如圖1， 橢圓圓O : x2+ y2= a2+ 4， 橢圓C 的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過橢圓上一點(diǎn)P 和原點(diǎn)O 作直線l 交圓O 于M,N 兩點(diǎn)，若|PF1|·|PF2|=6，則|PM|·|PN|的值為____.

圖1

圖2

解設(shè)圓O 的半徑為R， 則|PM| · |PN| = (R -|OP|)(R+|OP|)=R2-|OP|2=a2+4-|OP|2，將焦點(diǎn)三角形△PF1F2補(bǔ)成平行四邊形PF1QF2， 再利用人教版必修4 課本109 頁結(jié)論： 平行四邊形對(duì)角線平方和等于一組鄰邊平方和的2 倍.4|PO|2+|F1F2|2= 2(|PF1|2+|PF2|2)，易得|PO|2=a2-2，所以|PM|·|PN|=6.

我們發(fā)現(xiàn)本題中|PM|·|PN| = |PF1|·|PF2|，這是一個(gè)巧合，還是一種必然? 是任意一個(gè)橢圓和圓都有這樣的關(guān)系嗎?

二、問題的探究

探究1如圖3，橢圓圓O : x2+y2= r2(r ＞0)， 橢圓C 的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過橢圓上一點(diǎn)P 和原點(diǎn)O 作直線l 交圓O 于M,N 兩點(diǎn)，若|PM|·|PN|=|PF1|·|PF2|，則r2的值為____.

解

根據(jù)平行四邊形對(duì)角線平方和等于一組鄰邊平方和的2 倍的結(jié)論，易得

所以

由于|PM|·|PN|=|PF1|·|PF2|，根據(jù)① ②得r2=a2+b2.

通過探究1 發(fā)現(xiàn)，在橢圓中只有x2+y2=a2+b2的圓才具有這樣的性質(zhì)，我們知道圓錐曲線具有“家族特征”，在雙曲線中是否存在這樣的圓，具有類似的結(jié)論呢? 答案是肯定的.

圖3

圖4

探究2如圖4，雙曲線圓O : x2+y2= r2(r ＞0)，雙曲線C 的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過雙曲線上一點(diǎn)P 和原點(diǎn)O 作直線l 交圓O 于M,N兩點(diǎn)，若|PM|·|PN|=|PF1|·|PF2|，則r2的值為____.

解

根據(jù)平行四邊形對(duì)角線平方和等于一組鄰邊平方和的2 倍的結(jié)論，易得

所以

由于|PM|·|PN|=|PF1|·|PF2|，根據(jù)① ②得r2=a2-b2.

通過探究2 發(fā)現(xiàn)，在雙曲線中存在圓x2+y2= a2-b2(a ＞b ＞0)具有這樣的性質(zhì).

三、蒙日?qǐng)A

從以上探究的結(jié)果可以看出，橢圓與雙曲線都存在這樣的一個(gè)圓，這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A.這道圓錐曲線小題就是以蒙日?qǐng)A為背景來命制的，蒙日是一名數(shù)學(xué)家，其生平簡介可參見《數(shù)學(xué)2·必修》.

定理1過橢圓上任意不同兩點(diǎn)A、B 作橢圓的切線，若切線垂直且相交于P，則動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡為圓x2+y2=a2+b2，該圓稱為橢圓的蒙日?qǐng)A.

證明①當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0 時(shí)，可得點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(±a,±b).②當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0 時(shí)，設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)是(x0,y0)(x0±a 且y0±b)，則過點(diǎn)P 的切線方程y-y0=k(x-x0)(k0).由

得

根據(jù)Δ=0 得

因?yàn)閗PA,kPB是這個(gè)關(guān)于k 的一元二次方程的兩個(gè)根，所以kPA·kPB=結(jié)合① ②得動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡為圓x2+y2=a2+b2.

定理2過雙曲線上任意不同兩點(diǎn)A、B 作雙曲線的切線，若切線垂直且相交于P，則動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡為圓x2+y2=a2-b2，該圓稱為雙曲線的蒙日?qǐng)A.

證法同橢圓的證法類似，留給讀者自己證明.

定理3拋物線y2= 2px(p ＞0)上任意不同兩點(diǎn)A、B作拋物線的切線，若切線垂直且相交于P，則點(diǎn)P 的軌跡是該拋物線的準(zhǔn)線.

證明根據(jù)題意知道兩條互相垂直的切線的斜率均存在且均不為0， 設(shè)點(diǎn)P (x0,y0)， 則過點(diǎn)P 的切線方程y-y0=k(x-x0).由

得

由Δ=0 得

因?yàn)閗PA,kPB是這個(gè)關(guān)于k 的一元二次方程的兩個(gè)根，所以所以動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡為準(zhǔn)線

在拋物線上并不存在蒙日?qǐng)A，其實(shí)蒙日?qǐng)A對(duì)于我們來講并不陌生，地方卷中曾經(jīng)出現(xiàn)過它的身影，廣大考生在備考中肯定“邂逅”過，只是沒有引起注意和重視.

(1)求橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2) 若動(dòng)點(diǎn)P (x0,y0) 為橢圓C 外一點(diǎn)， 且點(diǎn)P 到橢圓C 的兩條切線相互垂直， 求點(diǎn)P 軌跡方程.答案： (1)(2)x2+y2=13.

四、啟示

數(shù)學(xué)解題教學(xué)的核心思想就是引導(dǎo)學(xué)生把困難的、不熟悉的問題轉(zhuǎn)化成容易的、熟悉的問題來解決.所謂學(xué)生熟悉的問題，除了熟悉解題的方法和策略外，重要的一環(huán)就是熟悉試題命制背景，由于高考試題都是原創(chuàng)題，學(xué)生若不熟悉題目的相關(guān)背景，特別是難題，會(huì)有一種莫名的“距離感”，解題時(shí)需要不斷地嘗試才能得到結(jié)果，時(shí)間成本很高，只有在解題教學(xué)時(shí)把每一道題的“背景”講透了，應(yīng)試時(shí)學(xué)生才會(huì)有心理優(yōu)越感，才能居高臨下看問題，才能準(zhǔn)確領(lǐng)會(huì)命題者的意圖，將問題快速解決.這就呼吁我們一線教師在解題教學(xué)時(shí)不能就事論事，要重視試題創(chuàng)作背景的講解，讓學(xué)生通過少量題目的訓(xùn)練達(dá)到掌握解決一類問題的策略和方法，避免題海，回歸本質(zhì).