淺析2018年基于數(shù)學(xué)史的高考數(shù)學(xué)試題

廣東省深圳市第七高級(jí)中學(xué)(518000) 關(guān)嘉欣

《2017年普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[1]明確指出數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能，數(shù)學(xué)教育幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想和方法;提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.數(shù)學(xué)文化作為數(shù)學(xué)知識(shí)的一部分，在其中發(fā)揮著重大作用.

與此同時(shí)，教育部《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》要求“充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用”，并提出“在數(shù)學(xué)試題中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容”.數(shù)學(xué)文化在高考數(shù)學(xué)試題中的滲透主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)應(yīng)用三個(gè)方面.作為數(shù)學(xué)文化的一部分，數(shù)學(xué)史融入高考數(shù)學(xué)試題無(wú)疑能夠發(fā)揮育人的功能，并且可以促進(jìn)數(shù)學(xué)教育工作者對(duì)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)與研究，豐富他們的數(shù)學(xué)史素材，提高他們的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)，改變數(shù)學(xué)教育對(duì)數(shù)學(xué)史“高評(píng)價(jià)、低應(yīng)用”的現(xiàn)象.

那么，2018年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試題應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)史材料? 采用了哪些提出問(wèn)題的策略? 有什么特點(diǎn)? 本文試圖對(duì)此作出分析，并由此得到啟示.

一、試題基本情況分析

2018年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試題中基于數(shù)學(xué)史的試題的基本情況如表1 所示.從中可見(jiàn)，今年共有5 道蘊(yùn)含數(shù)學(xué)史的題目，其中立體幾何、數(shù)列、方程、平面幾何與概率均有涉及.從取材來(lái)看，有2 道取材于中國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍，有1 道取材于數(shù)學(xué)與音樂(lè)，有1 道取材于數(shù)學(xué)圖形，有1 道取材于數(shù)學(xué)思想.

表1 2018年全國(guó)各地基于數(shù)學(xué)史的高考試題情況

下面根據(jù)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)程度，借鑒史嘉老師在《2015年“數(shù)學(xué)文化高考題”分類(lèi)欣賞》[2]一文中的分類(lèi)方法： 點(diǎn)綴式、復(fù)制式、順應(yīng)式和內(nèi)隱式對(duì)上述高考試題進(jìn)行分類(lèi)賞析.

1.點(diǎn)綴式

試題明顯具有數(shù)學(xué)史料特征，如數(shù)學(xué)家(學(xué)派)、數(shù)學(xué)名著、數(shù)學(xué)事件、數(shù)學(xué)圖片、人文背景等材料，起到引入或輔助的作用，使試題置于一定的情境，不顯得突兀，同時(shí)盡可能多地傳遞文化信息等.

試題1(2018年高考上海卷第15 題)《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬.設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱， 如圖1， 若陽(yáng)馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)， 以AA1為底面矩形的一邊， 則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是( )

圖1

A.4 B.8 C.12 D.16

賞析《九章算術(shù)》是一部幾代學(xué)者整理、刪補(bǔ)和修訂而成的中國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.近幾年，它蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)涉及面廣，在高考題中頻繁出現(xiàn).

而本題中陽(yáng)馬的概念出自《九章算術(shù)》商功卷， 早在2015年湖北理科第19 題中就嶄露頭角.命題者別具匠心，借助陽(yáng)馬的概念考查學(xué)生對(duì)線面垂直的掌握程度.既把中國(guó)傳統(tǒng)文化滲透其中，引導(dǎo)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)民族自信心，又能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

試題2(2018年高考全國(guó)II 卷理科第8 題)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2 的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23，在不超過(guò)30 的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30 的概率是( )

賞析哥德巴赫是18 世紀(jì)的一位業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，是數(shù)學(xué)大師歐拉的朋友.1742年6月7日， 他寫(xiě)信給歐拉， 提出：每一個(gè)不小于6 的偶數(shù)都可以表示為2 個(gè)奇素?cái)?shù)的和.同年6月30日，歐拉在回信中表示，這個(gè)猜想是正確的，但無(wú)力給出證明.到了1770年，華林將這個(gè)猜想公諸于世，并附帶提出： 每一個(gè)不小于9 的奇數(shù)都可以表示為3 個(gè)奇素?cái)?shù)的和.后人把這兩個(gè)猜想并稱為“哥德巴赫猜想”.而本題中的猜想陳述版本：“任一大于2 的偶數(shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”出自歐拉.哥德巴赫猜想在數(shù)學(xué)界有著重大影響，吸引無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家們前仆后繼，沈元教授更是形象地比喻說(shuō)：“數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的皇后，數(shù)論是皇后的皇冠，而哥德巴赫猜想則是皇冠上的一顆明珠! ”

1957年9月，陳景潤(rùn)奉調(diào)中國(guó)科學(xué)院，參與華羅庚先生領(lǐng)導(dǎo)的“哥德巴赫猜想討論班”.正因?yàn)橛兄己玫膶W(xué)術(shù)氛圍和豐富的圖書(shū)資源，加上在帶病的情況下仍堅(jiān)持每天12 小時(shí)的拼搏，陳景潤(rùn)終于在1973年于《中國(guó)科學(xué)》上發(fā)表《大偶數(shù)表為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過(guò)兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和》論文，此舉立即轟動(dòng)整個(gè)數(shù)學(xué)界，并譽(yù)為“陳氏定理”，至今仍保持世界領(lǐng)先地位.[3]

本題以此為背景，靈活地考查了學(xué)生對(duì)古典概型的理解，也能讓考生從中了解數(shù)學(xué)文化與中國(guó)近代數(shù)學(xué)家，增強(qiáng)民族自豪感，從而激勵(lì)自我不停奮斗.

2.復(fù)制式

試題直接采用數(shù)學(xué)典籍中的數(shù)學(xué)問(wèn)題和解法或證法，引用數(shù)學(xué)家(學(xué)派)故事、數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)名著中的原文等.若是中國(guó)古典數(shù)學(xué)史料，問(wèn)題所用語(yǔ)言常會(huì)是文言文，但經(jīng)過(guò)命題者的翻譯或簡(jiǎn)化處理，對(duì)試題的理解基本沒(méi)有障礙.

試題3(2018年高考浙江卷第11 題)我國(guó)古代數(shù)據(jù)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問(wèn)題：“今有雞翁一， 值錢(qián)五;雞母一， 值錢(qián)三; 雞雛三， 值錢(qián)一.凡百錢(qián)， 買(mǎi)雞百只， 問(wèn)雞翁、母、雛各幾何? 設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為x,y,z，則當(dāng)z =81 時(shí)，x=____，y =____.

賞析本題直接復(fù)制數(shù)學(xué)典籍《張邱建算經(jīng)》中的百雞問(wèn)題.書(shū)中給出了此題的三組答案， 也是其所有自然數(shù)解.即： 雞翁四只、雞母十八只、雞雛七十八只，雞翁八只、雞母十一只、雞雛八十一只，雞翁十二只、雞母四只、雞雛八十四只.至于解法，術(shù)文十分簡(jiǎn)略： 雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三.即得.目前一般認(rèn)為術(shù)文給出了各組解答之間的增減關(guān)系，但缺少了求出特解的方法.其實(shí)術(shù)文也未給出求增減率的方法， 可能是因?yàn)閺埱窠ㄕJ(rèn)為這是不需要詳細(xì)說(shuō)明的.[4]

而本題中采用的解法是學(xué)生所熟悉的代數(shù)方法，設(shè)元列不定方程，通過(guò)方程來(lái)求出未知解.本題不僅讓學(xué)生了解到中國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《張邱建算經(jīng)》與頗具中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)特色的計(jì)算方法——百雞術(shù)，還感受到設(shè)元列方程的代數(shù)方法對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的便捷性.

3.順應(yīng)式

試題對(duì)涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)史料等適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行科學(xué)改編，或?yàn)樗疾榈臄?shù)學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)一定的生活情境，使其更好地考查相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力，也更好地適應(yīng)考卷的基本要求和考生的應(yīng)有水平.

圖2

試題4(2018年全國(guó)I 卷理科第10 題)圖2 來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成， 三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB,AC.△ABC 的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I，II，III 的概率分別記為p1，p2，p3，則( )

A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3

賞析本題出自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形和由此得到的月牙定理： 直角三角形兩條直角邊為直徑向外作兩個(gè)半圓，以斜邊為直徑向內(nèi)作半圓，則三個(gè)半圓所圍成的兩個(gè)月牙形面積之和等于該直角三角形的面積.對(duì)學(xué)生而言，這道題難度不高，雖然披上了“幾何概型”的外衣，但本質(zhì)上只是利用勾股定理證明以兩直角邊為直徑的半圓面積和等于以斜邊為直徑的半圓面積.

雖然在如今看來(lái)這個(gè)證明顯得輕而易舉，但在當(dāng)時(shí)，這個(gè)圖形是數(shù)學(xué)家們苦苦尋求的解決化月牙形為方問(wèn)題的鑰匙，是數(shù)學(xué)上的一大成績(jī).故此，評(píng)論家普洛克洛斯以他5 世紀(jì)的眼光認(rèn)為希波克拉底“作出了月牙形的等面積正方形，并在幾何學(xué)中做出過(guò)許多其他發(fā)現(xiàn)，如果說(shuō)那個(gè)時(shí)代有一位作圖的天才，那一定非他莫屬.”

試題5(2018年高考北京卷理科第4 題)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它前一個(gè)單音的頻率的比都等于若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為( )

賞析明朝萬(wàn)歷年間，皇室家族中的朱載堉完成了世界上最早的十二平均律的發(fā)現(xiàn).他以珠算開(kāi)方的方法，求得律制上的等比數(shù)列，具體說(shuō)來(lái)就是： 用發(fā)音體的長(zhǎng)度計(jì)算音高，假定黃鐘正律為1 尺，求出低八度的音高弦長(zhǎng)為2 尺，然后將公平自乘12 次即得十二律中各律音高，且黃鐘正好還原.他用這種方法第一次解決了十二律自由旋宮轉(zhuǎn)調(diào)的千古難題.在朱載堉發(fā)表十二平均律理論之后52年，Pere Marin Mersenne 在(1636年)其所著《諧聲通論》中發(fā)表相似的理論.

事實(shí)上，除了十二平均律，數(shù)學(xué)與音樂(lè)之間還有著很多密切的聯(lián)系： 如1： 2 是八度;2： 3 是完全五度;3： 4 是完全四度;4： 5 是大三度等等.發(fā)現(xiàn)數(shù)與音程大小之間的關(guān)系，在人類(lèi)文化史上具有十分重要的意義.[5]

而本題重現(xiàn)當(dāng)年朱載堉確定十二平均律的數(shù)學(xué)方法，既考查了學(xué)生對(duì)等比數(shù)列的掌握情況，也能讓考生感受到數(shù)學(xué)與音樂(lè)之間的聯(lián)系.

二、試題命制改進(jìn)啟示

根據(jù)以上分析，我們可以看到2018年基于數(shù)學(xué)史的高考數(shù)學(xué)試題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)史料更為豐富，既有中國(guó)傳統(tǒng)文化，也注意吸收世界數(shù)學(xué)文化的精華，引導(dǎo)學(xué)生胸懷祖國(guó)，放眼世界.與往年相比，考查形式也更為多樣，包含點(diǎn)綴式、復(fù)制式與順應(yīng)式.但在數(shù)學(xué)文化試題命制上，還有很多可以改進(jìn)的地方：

1.數(shù)學(xué)史料與數(shù)學(xué)知識(shí)的融合可以更自然一些.融入數(shù)學(xué)史的高考數(shù)學(xué)試題既為了考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，也希望引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)史，熱愛(ài)數(shù)學(xué)文化，關(guān)注數(shù)學(xué)之美，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).但如果只是為了數(shù)學(xué)史而數(shù)學(xué)史，讓數(shù)學(xué)史在題目中僅僅起到一個(gè)點(diǎn)綴作用，導(dǎo)致考查的知識(shí)難度過(guò)低或過(guò)高，都是不適合的.比如上文的試題4，該題本質(zhì)上考查的是勾股定理，更多是偏向初中知識(shí)而非高中知識(shí)，雖然這道題涉及了數(shù)學(xué)史，但并沒(méi)有很好地發(fā)揮它該有的價(jià)值.因此，在命制融入數(shù)學(xué)史的高考數(shù)學(xué)試題時(shí)，命題者需要挖掘更豐富的數(shù)學(xué)史料，使其與高中生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)更好地融合在一起.

2.基于數(shù)學(xué)史的高考數(shù)學(xué)試題命制可以運(yùn)用更為靈活的提問(wèn)策略.命題者可以從史料出發(fā)，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)生活情境，凸顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用性;結(jié)合教材所學(xué)內(nèi)容，對(duì)問(wèn)題條件與結(jié)論適當(dāng)進(jìn)行改編與擴(kuò)充，拓展多個(gè)考點(diǎn)的考查.并非在題目中出現(xiàn)明確的數(shù)學(xué)史料才叫融入， 真正的融入應(yīng)當(dāng)能給人一種“初看不奇，細(xì)看驚喜”的感覺(jué).

3.基于數(shù)學(xué)史的高考數(shù)學(xué)試題命制需要發(fā)揮更多的數(shù)學(xué)史教育價(jià)值.高考題中的數(shù)學(xué)史材料可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)概念、定理、思想和方法來(lái)解決問(wèn)題，從而體現(xiàn)“知識(shí)之諧”與“方法之美”;可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀與理解能力，并能把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題;可以呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的問(wèn)題之源、數(shù)學(xué)的社會(huì)功能以及數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系等，從而體現(xiàn)“文化之魅”;還可以呈現(xiàn)數(shù)學(xué)家的探索與挫折，從而實(shí)現(xiàn)“德育之效”.