對2019年廣州一模理科數(shù)學(xué)第18 題的探究

廣東省佛山市順德區(qū)第一中學(xué)(528300) 常艷

廣東省佛山市羅定邦中學(xué)(528300) 龍宇

2019年廣州一?？荚?yán)砜茢?shù)學(xué)第18 題，題干簡練，背景豐富.是一道難得的好題，然而在我校高三年級的測驗(yàn)中，本題的得分率非常低.難點(diǎn)主要集中在平面幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)換，即二面角的大小及BD 邊長的利用.另一個難點(diǎn)在于學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣了利用空間向量進(jìn)行求解，而本題直接建系也較為困難.

接下來，本文從傳統(tǒng)幾何法及空間向量法對該問題進(jìn)行求解，并對其命制背景進(jìn)行了深入的探究，發(fā)現(xiàn)該問題可視為2018年全國2 卷立體幾何解答題的變形形式.

一、題目

如圖1，在三棱錐A-BCD中， △ABC 是等邊三角形，∠BAD =∠BCD =90°，點(diǎn)P 是AC 的中點(diǎn)，連接BP,DP.

圖1

(1)證明： 平面ACD⊥平面BDP;

分析本題屬于逆向求解問題，已知線段長及二面角，求線面角的大小.本題有兩種解題思路進(jìn)行求解： 傳統(tǒng)幾何法以及空間向量法.

二、解法探究

對于第(1)問，考察面面垂直，難度不大.現(xiàn)將其主要思路簡述如下： AC⊥BP，AC⊥DP.所以AC⊥面BDP，平面ACD⊥平面BDP.

關(guān)于第二問，現(xiàn)從如下兩個角度求解.

圖2

準(zhǔn)備工作： 如圖2，過點(diǎn)A 做AE⊥BD， 垂足為E， 連接CE.易得： Rt△BAD ～= Rt△BCD，所以CE⊥BD.所以∠AEC 是二面角A-BD -C 的平面角.由題意得： ∠AEC = 120°.設(shè)AB = m， AD = n， 則有m2+ n2= 6， 利用等面積法得：所以再由△ABC 是等邊三角形得AB = AC， 即該結(jié)論也可通過射影定理獲得.

(一)傳統(tǒng)幾何法1

過點(diǎn)A 做平面BCD 的垂線， 垂足為H， 連接AH 與DH， ∠ADH 為直線AD 與平面BCD 所成的角， 所以接下來， 只需求出AH 的值即可.

由上面的準(zhǔn)備工作可知，BD⊥面AEC， 如圖3， 過點(diǎn)A做CE 的垂線， 垂足為H， 根據(jù)三垂線定理， AH⊥平面BCD.由∠AEC = 120°， 得∠AEH =即可得： AH = AE·sin ∠AEH =1.帶入上面的分析過程即可得： 直線AD 與平面BCD 所成角的正弦值為

圖3

(二)傳統(tǒng)幾何法2——等體積法

根據(jù)上面的解法可知，問題的關(guān)鍵在于求解點(diǎn)A 到平面BCD 的距離.由此我們聯(lián)想到等體積法.等體積法需要從不同的角度求解該幾何體的體積.受第(1)問的提示，AC⊥面BDP，可以以面BDP 為底，AC 為“高”求解.具體如下：

(三)空間向量法

利用空間向量求解的關(guān)鍵在于坐標(biāo)系的選擇，受第(1)問的提示，Rt△BAD ～=Rt△BCD，可以選擇點(diǎn)C 在BD 上的垂足E 為原點(diǎn)進(jìn)行建系.具體如圖4，以E為原點(diǎn)，分別為x 軸，y 軸的正方向，與都垂直的方向?yàn)閦 軸.

圖4

除了在該點(diǎn)建系外，還有很多可以進(jìn)行建系的點(diǎn).本文不再贅述.

(四)空間向量法2

對于利用空間向量法解立體幾何問題，最大的難點(diǎn)在于坐標(biāo)系的選擇與建立.而本題沒有可以“直接”建系的點(diǎn).根據(jù)空間向量的基本定理，選擇任意三個不共面的向量作為基底，空間中的任意一個向量都可以由這一組基底表示，且表示方法唯一.而我們常用的空間向量的本質(zhì)則是選擇了一組正交向量作為基底.既然本題建系較為困難，接下來本文介紹一下利用一般的基底計(jì)算該問題.

該解法的優(yōu)勢在于避免了建系，而增加了運(yùn)算量.

三、命制背景探究

該問題最大的難點(diǎn)在于圖形的識別與理解，如圖，我們將邊AC 去掉， 將面ABD 旋轉(zhuǎn)至與面BCD 同一平面內(nèi).根據(jù)前面的準(zhǔn)備工作可知，四邊形ABCD 是一個“箏形”.

圖5

利用模型思維思考，面ABD 在旋轉(zhuǎn)的過程中形成了一個“圓錐”[1].該問題則轉(zhuǎn)化為圓錐的母線與圓錐的某一軸截面的夾角問題.由此我們得到如下更本質(zhì)的圖形： 如圖5，圓錐OP 的母線為l， 底面圓的半徑為r.設(shè)該圓錐的軸截面為PAB，將平面PAO 繞軸PO 旋轉(zhuǎn)至面PA′O，使得二面角A′-PO-B 為α，設(shè)母線PA′與面PAB 的夾角為θ，易得對應(yīng)到上面的數(shù)據(jù)可得：帶入公式即有：

圖6

為此，我們可知本題和2018年全國2 卷的立體幾何解答題[2]的背景一樣.現(xiàn)將該問題簡述如下：

題目(2018年全國II 卷第20題) 如圖6， 在三棱錐P - ABC 中，PA = PB =PC = AC = 4，O 為AC 的中點(diǎn).(1)證明： PO⊥平面ABC;(2)若點(diǎn)M 在棱BC 上，且二面角M -PA-C 為30°，求PC 與平面PAM 所成角的正弦值.

圖7

其一般形式如下： 如圖7， 設(shè)圓錐OP 的底面半徑為r， 母線長為l.過軸截面△PAB 一邊PA的平面PAC 與軸截面PAB 的夾角為θ (θ ∈(0,90°))， 直線PB 與平面PAC 所成角為β， 則有sin設(shè)軸截面PAB 的頂角∠APB 為α， 上述關(guān)系可簡化為：sin β =sin α·sin θ[2].

對比圖5 及圖7 可知兩題的背景一致，只是設(shè)問的角度不同而已.可能本次廣一模的命題專家就是參考該高考題進(jìn)行的命制，而且數(shù)據(jù)方面進(jìn)行了簡化，體現(xiàn)了命題者的人文關(guān)懷.為了更加深入地理解上面的模型，基于上面的分析，筆者編制了如下變式供讀者練習(xí)：

變式1在矩形ABCD 中，將三角形ABD 繞軸BD 旋轉(zhuǎn)至面A′BD 使得二面角A′-BD-C為60°，求A′B 與面BCD 所成角的正弦值.

變式2如圖8， 在三棱錐A - BCD 中， AB = CD = 1，求AB 與面BCD 所成角的正弦值.

圖8

四、教學(xué)建議

在學(xué)生的答卷上，普遍反應(yīng)出建系的錯誤.甚至有很多學(xué)生在考場上意識到自己建系有誤，但依然在此基礎(chǔ)進(jìn)行求解.這反應(yīng)了學(xué)生的一種僥幸心理，也體現(xiàn)出學(xué)生的臨場應(yīng)變能力不足及對于傳統(tǒng)幾何法的陌生.

對于“立體幾何”的復(fù)習(xí)，要強(qiáng)化模型思維，例如將原問題置于“圓錐”中時(shí)，其立體幾何關(guān)系將更加明顯.本題的另一大難點(diǎn)在于平面幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即通過已知條件求得相應(yīng)的邊角關(guān)系.在復(fù)習(xí)的過程中，要強(qiáng)化三角形相似、射影定理等平面幾何的相關(guān)結(jié)論.

目前的高考解答題中，幾何法及向量法都可以使用.其中建系的本質(zhì)在于空間向量基本定理，選擇不正交的“基底”同樣可以求解，優(yōu)勢在于簡化了建系的步驟，劣勢在于運(yùn)算量增大.利用一般的基底求解能讓學(xué)生更好的理解空間向量基本定理.首先要幫助學(xué)生樹立信心，利用向量法一定可解，對于不好建系的圖形即可考慮一般的“基底”進(jìn)行運(yùn)算.

在教學(xué)的過程中，不要固化某種方法，形成思維定勢.要教會學(xué)生識別模型，理解本質(zhì).作為教師要常做并研究高考題，從中提煉出問題的本質(zhì)供學(xué)生學(xué)習(xí).