一類三階非線性系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性

徐 靜

(安徽師范大學 數學與統(tǒng)計學院， 安徽 蕪湖 241000)

非線性微分系統(tǒng)平衡位置的穩(wěn)定性在現(xiàn)代物理、工程技術和生態(tài)系統(tǒng)等領域有著重要意義，處理非線性微分系統(tǒng)穩(wěn)定性這一問題的重要方法之一就是Liapunov直接方法(類比法),這一方法一直吸引著眾多學者們的關注與興趣,并得到了極為廣泛的應用,三階及以下的非線性系統(tǒng)的平凡解的全局穩(wěn)定性也取得豐碩結果[1-8]。本文在文獻[1-5]的基礎上研究了多個三階非線性系統(tǒng)的Liapunov函數，并得到了各自零解全局漸近穩(wěn)定性的若干充分條件。

1 主要結果

考慮系統(tǒng)

(1)

約定函數h(0)=0,f(0)=0，φ(0)=0,f(x)、g(x)、φ(x)是連續(xù)可微的，且能保證系統(tǒng)解的唯一性。

退化為線性系統(tǒng)

對其退化線性系統(tǒng)取Liapunov函數V1=V1(x,y,z)如下:

由類比法給出系統(tǒng)

取其Liapunov函數V2=V2(x,y,z)如下:

(2)

對于系統(tǒng)

(3)

其退化系統(tǒng)取Liapunov函數V=V(x,y,z)如下:

由類比法給出系統(tǒng)(3)Liapunov函數V3=V3(x,y,z)如下:

(4)

結合式(2)和(4),系統(tǒng)(1)有Liapunov函數：

(5)

于是得到如下結果：

(*)

由定理假設并注意到：

故V(x,y,z)為正定函數，

下證系統(tǒng)(1)的所有正半軌線是有界的。取如此大的正數l和N使得任一點P0位于由不等式V(x,y,z)0時不離開這個區(qū)域。

事實上,由式(*)知在D中當y≠0時有

(**)

2 討 論

這里取b=1/A>0,推論3結論成立。