測量不確定度分析在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

樊代和 賈欣燕 劉其軍 常相輝 魏 云

(西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院；物理國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，四川 成都 611756)

1 提出問題

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)是一門培養(yǎng)本科生動手能力和科學(xué)實(shí)驗(yàn)素養(yǎng)的重要實(shí)踐課程之一[1]。目前，國內(nèi)大部分高校，包括西南交通大學(xué)開設(shè)的傳統(tǒng)基礎(chǔ)型物理實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，在實(shí)驗(yàn)教材中都明確了“實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹薄皩?shí)驗(yàn)儀器”“實(shí)驗(yàn)原理”“實(shí)驗(yàn)步驟”等幾部分內(nèi)容[2]。高校本科生在進(jìn)行大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，一般在課前要預(yù)習(xí)教材中的“實(shí)驗(yàn)原理”部分并寫出預(yù)習(xí)報(bào)告，在實(shí)驗(yàn)課時聽取教師對具體實(shí)驗(yàn)原理的重難點(diǎn)和實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)等內(nèi)容的介紹，然后按照教材所列出的“實(shí)驗(yàn)步驟”內(nèi)容逐一進(jìn)行測量，就可較好地完成該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目所需的測量。在沒有測量錯誤的情況下，最終都可以得到較為理想的實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果。

然而，這種傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法，實(shí)際上是極度缺乏創(chuàng)新理念的[3]，對培養(yǎng)本科生的創(chuàng)新能力無法提供進(jìn)一步的幫助。具體而言，本科生在完成某一實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目后，只能對本實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目所采用的測量原理，以及所獲得的測量結(jié)果有一定的了解，但一般不會去積極思考該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目為什么要采用這樣的實(shí)驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)儀器？應(yīng)該采用何種實(shí)驗(yàn)原理，或者采用何種實(shí)驗(yàn)儀器對該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目進(jìn)行改進(jìn)就能得到更為精確的測量結(jié)果等問題。大部分本科生在修完大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程后，只能了解到從這門課學(xué)到了什么，而不能了解到這門課為什么學(xué)，如何才能學(xué)好的問題。

西南交通大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心(以下簡稱實(shí)驗(yàn)中心)所開設(shè)的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程，在學(xué)期開始的第一次實(shí)驗(yàn)課時，就專門用6學(xué)時的課時對本科生講解測量不確定度的相關(guān)知識。該部分教學(xué)的目的是為了使本科生能夠全面了解測量不確定度在物理實(shí)驗(yàn)中所起的重要作用。然而，在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生對測量不確定度的學(xué)習(xí)和應(yīng)用僅僅停留在用其進(jìn)行物理量測量結(jié)果的不確定度評定方面，不會去主動思考不確定度分析在物理實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)計(jì)過程中所起的重要作用，就更談不上能夠?qū)ΜF(xiàn)有實(shí)驗(yàn)儀器進(jìn)行改進(jìn)了。換言之，通過大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)這門重要的實(shí)踐課程的學(xué)習(xí)，對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)還沒有達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。

為了克服以上提到的問題，實(shí)驗(yàn)中心除了進(jìn)行如上所述的6學(xué)時的測量不確定度知識講授外，還增加了一個設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，如“單擺的研究”，用于加強(qiáng)本科生對測量不確定度知識的全面掌握。但經(jīng)過一定時間的教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，僅用一個設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目來進(jìn)行測量不確定度分析的學(xué)習(xí)還不夠。因此，在最近幾年里，實(shí)驗(yàn)中心在所開設(shè)的所有基礎(chǔ)性物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容中，特別地引入了測量不確定度分析相關(guān)知識在具體實(shí)驗(yàn)內(nèi)容中所起作用的講授工作。通過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，這樣的教學(xué)內(nèi)容改革，不但可以讓本科生能夠更加深入地掌握所學(xué)的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，而且能夠根據(jù)所學(xué)的測量不確定度相關(guān)知識，提出針對具體實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的改進(jìn)方案。通過將測量不確定度分析應(yīng)用到高校大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程的基礎(chǔ)性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目內(nèi)容中，能夠?qū)W(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新性思維的啟發(fā)，進(jìn)一步為高校培養(yǎng)創(chuàng)新性人才奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

本文以目前實(shí)驗(yàn)中心所開設(shè)的3個具體實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，如“單擺的研究”“楊氏彈性模量測量”“分光計(jì)測量三棱鏡折射率”等為例，對測量不確定度分析在具體實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)計(jì)中的應(yīng)用以及所取得的成果進(jìn)行介紹。

2 不確定度分析在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用舉例

眾所周知，單擺實(shí)驗(yàn)是測量重力加速度g的一種實(shí)驗(yàn)方法，有部分本科生在中學(xué)階段就接觸過此實(shí)驗(yàn)[4]。然而，我們在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的實(shí)際授課過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目了解的僅是之前中學(xué)教師講解的初步知識內(nèi)容，如：為了測量重力加速度g的值，在單擺小角度擺動情況下，只需要將單擺擺動n個周期所用的總時間t測量出來，然后計(jì)算得到單擺的擺動周期T=t/n，最后利用測量得到擺長L的值，利用公式，

(1)

就可以得到重力加速度g的值。

但是，這里有一個重要的物理問題學(xué)生們并沒有進(jìn)行思考。如為什么采用單擺來測量重力加速度，而不采用“自由落體法”[5]進(jìn)行測量？假設(shè)采用單擺法進(jìn)行測量，實(shí)驗(yàn)儀器涉及的實(shí)驗(yàn)參數(shù)(例如擺長L的選取，以及測量周期時所涉及的n取值的選取)應(yīng)該如何設(shè)定，才能將測量重力加速度g的相對不確定度控制在0.5%以內(nèi)？換句話說，這個實(shí)驗(yàn)該如何設(shè)計(jì)，才能滿足儀器設(shè)計(jì)時所考慮的測量精度的要求，學(xué)生之前很少有思考過的。為此，實(shí)驗(yàn)中心就專門開設(shè)了一個設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，名稱為“單擺的研究”，用以說明測量不確定度分析在實(shí)驗(yàn)內(nèi)容涉及方面所起的重要作用。該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的具體內(nèi)容和說明如下：

首先，根據(jù)式(1)，可以計(jì)算得到重力加速度g的相對不確定度的表達(dá)式如下所示：

(2)

其中，uL和uT分別為擺長和周期的不確定度。為了滿足測量精度要求ug/g≤0.5%，利用不確定度的等量分配原則，可將式(2)中的兩個物理測量量(長度和時間)進(jìn)行分離變量操作，即

這樣，結(jié)合公式t=nT，在只考慮B類不確定度的情況下(設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)時還沒有進(jìn)行多次測量，因此可暫不考慮A類不確定度)，直接就可以得到

從式(4)中可以看出，只要在實(shí)驗(yàn)前估計(jì)出測量擺長時可能的所有誤差ΔLi以及測量時間時可能的所有誤差Δti，即可得出滿足設(shè)計(jì)要求下，單擺裝置需要設(shè)置的最小擺長Lmin及所需測量的最小擺動次數(shù)值nmin?；蛑灰獑螖[實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目中的所涉及到的擺長和擺動次數(shù)能夠滿足式(4)，那任何一個學(xué)生采用這樣的實(shí)驗(yàn)儀器，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)測量時，即能得到滿足設(shè)計(jì)要求ug/g≤0.5%的實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果。當(dāng)然，一方面，由于實(shí)際實(shí)驗(yàn)測量中，要考慮重復(fù)測量的A類不確定度，因此實(shí)驗(yàn)儀器中擺長和擺動次數(shù)可再適當(dāng)放大一點(diǎn)；另一方面，為了盡可能方便地滿足式(4)，可對學(xué)生選擇不同的測量儀器(不同的測量儀器選取將對應(yīng)不用的B類不確定度)提供依據(jù)。

以上即為實(shí)驗(yàn)中心所開設(shè)的一個設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)，用于培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)的不確定度知識來設(shè)計(jì)一個簡單的，滿足實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)要求的一個具體實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目步驟。在實(shí)際的教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)通過開設(shè)類似的設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目內(nèi)容，可進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，為其進(jìn)一步將測量不確定度知識應(yīng)用到其他物理量的精確測量過程中提供參考。

例如，楊氏彈性模量實(shí)驗(yàn)[6]也是目前大多數(shù)高校所開設(shè)的一個實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的目的一方面是讓同學(xué)們掌握一種測量楊氏彈性模量，包括光杠桿測量微小伸長量的方法；另一方面大多數(shù)高校也要求進(jìn)行詳細(xì)的不確定度計(jì)算，用以對不確定度相關(guān)知識的進(jìn)一步掌握。目前大多數(shù)高校該實(shí)驗(yàn)儀器中采用的鋼絲原長L約在400mm到800mm之間。在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)過程中，如此長的鋼絲原長就可能會使鋼絲有一定的自然彎曲，導(dǎo)致鋼絲原長的測量存在較大的誤差。因此，有部分積極思考的同學(xué)就會提出如下的問題：在楊氏彈性模量測量儀中，能否將鋼絲原長L設(shè)置得更短一些呢？簡單地回答此問題，鋼絲原長L縮短，則會導(dǎo)致在單位拉力下，鋼絲的微小伸長量ΔL將更小，不利于實(shí)際的實(shí)驗(yàn)測量。但此問題可通過增加光杠桿到望遠(yuǎn)鏡的距離D來克服。為何要取這么長的鋼絲原長呢？事實(shí)上我們也可從測量不確定度的知識方面來回答此問題。

根據(jù)楊氏彈性模量E的計(jì)算表達(dá)式，

(5)

其中，F(xiàn)為待測金屬絲沿長度方向所受外力；D為光杠桿到望遠(yuǎn)鏡的距離；L為鋼絲原長；b為光杠桿的長度；d為鋼絲直徑；ΔN為望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺兩次讀數(shù)的變化量?？捎?jì)算得到，其相對不確定度表達(dá)式為

(6)

其中，xi={F,D,L,b,d,ΔN}；uxi為對應(yīng)的不確定度。當(dāng)選取一般實(shí)驗(yàn)情況下的參數(shù)值，例如F=10N，uF=0，D=1000mm，uD=3mm，b=70mm，ub=0.3mm，d=0.7mm，ud=0.002mm，ΔN=3mm，uΔN=0.1mm，uL=1.0mm，可以得到楊氏模量的相對不確定度uE/E隨鋼絲原長L的變化關(guān)系如圖1所示。

圖1 楊氏模量相對不確定度隨鋼絲原長的變化關(guān)系曲線

從圖1中可以看出，隨著選取鋼絲原長L值的增大，測量鋼絲楊氏彈性模量的相對不確定度將減小。特別地，當(dāng)L<100mm時，相對不確定度值隨L的增大將急劇減小。而當(dāng)選取L>300mm后，楊氏彈性模量的相對不確定度將趨于穩(wěn)定，基本維持在3%左右。實(shí)驗(yàn)中心的任課教師在指導(dǎo)學(xué)生完成該基礎(chǔ)型實(shí)驗(yàn)時，就會從測量不確定分析這個角度來講解楊氏模量測量儀的設(shè)計(jì)原理，并從測量不確定的角度給出諸如上述學(xué)生提出的關(guān)于鋼絲原長問題的答案，即：通常情況下，楊氏模量測量儀中，鋼絲的原長都會設(shè)定在大于300mm的范圍內(nèi)。

通過近幾年專門針對諸如上述實(shí)際實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的測量不確定度分析講解，能夠使大多數(shù)本科生，特別是物理專業(yè)的本科生在完成大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的同時，不僅能夠?qū)?shí)驗(yàn)中心目前開設(shè)的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容進(jìn)行全面的學(xué)習(xí)，而且還能夠去深入思考該項(xiàng)實(shí)驗(yàn)為什么要采用當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)儀器來進(jìn)行測量，并能夠提出針對實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的改進(jìn)方案。這對培養(yǎng)本科生的創(chuàng)新能力起到了很大的幫助。下面，舉兩個本科生所取得的具體研究成果來說明將測量不確定度分析應(yīng)用在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中的重要作用。

邁克耳孫干涉儀實(shí)驗(yàn)是目前大部分高校，特別是針對物理專業(yè)所開設(shè)的基本實(shí)驗(yàn)內(nèi)容之一。利用邁克耳孫干涉儀，實(shí)際上可以實(shí)現(xiàn)微小伸長量的精確測量。西南交通大學(xué)機(jī)械學(xué)院的兩名本科生在經(jīng)過對測量不確定度分析的深入學(xué)習(xí)之后，就設(shè)計(jì)了一種基于邁克耳孫干涉儀的全自動楊氏彈性模量測量儀，用以解決傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)中采用光杠桿測量所帶來的種種缺點(diǎn)。他們通過深入分析基于邁克耳孫干涉儀測量楊氏彈性模量的相對不確定值，設(shè)計(jì)了一種全自動的楊氏模量測量儀。通過分析發(fā)現(xiàn)，他們設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)儀可將楊氏彈性模量測量的相對不確定度提高到約0.43%。相比通常用的光杠桿方法，該設(shè)計(jì)儀器對金屬絲楊氏彈性模量的測量精度可提高1到2個數(shù)量級。該研究結(jié)果以本科生為第一作者，于2016年12月發(fā)表于《實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理》期刊[7]。

利用分光計(jì)測量三棱鏡折射率也是目前大多數(shù)高校所開設(shè)的傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容之一。目前，大多數(shù)高校開設(shè)的此項(xiàng)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目為，利用分光計(jì)，結(jié)合一個等邊三棱鏡，利用最小偏向角法等測量光源(如汞燈、或者鈉燈)某一特征譜線對應(yīng)的波長，最多再計(jì)算一下測量不確定度，給出測量結(jié)果的真值在一定范圍內(nèi)的概率，就算很好地完成了本實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。西南交通大學(xué)應(yīng)用物理專業(yè)的兩名本科生，在經(jīng)過前述的關(guān)于不確定度分析在實(shí)驗(yàn)儀器設(shè)計(jì)的應(yīng)用培訓(xùn)后，就詳細(xì)地從理論上分析了采用3種(最小偏向角法，掠入射法，垂直底邊入射法)常用的分光計(jì)測量三棱鏡折射率方法時，選取不同頂角的三棱鏡，以及針對不同波長的入射光，對所能獲得的折射率相對不確定度造成的影響進(jìn)行了研究，其研究結(jié)果可如圖2所示[8]。

圖2 分光計(jì)測量三棱鏡折射率時，折射率相對不確定度(a) 與三棱鏡頂角選取大小的影響； (b) 與被測波長選取大小的影響[8]

從圖2(a)中可以看出，當(dāng)設(shè)計(jì)的三棱鏡頂角較小時，采用掠入射法測量三棱鏡的折射率將獲得較小的折射率相對不確定度值，且3種方法所得到的折射率相對不確定度都隨選取的三棱鏡頂角的增大而急劇減小。而當(dāng)選擇三棱鏡頂角大于25°后，3種方法所測得的折射率相對不確定度幾乎沒有差別。從圖2(b)中可以看出，隨著被測波長值的增加，最小偏向角法可獲得的折射率相對不確定度值將減小，而另外兩種方法可獲得的折射率相對不確定度值將增加。3種方法中，最小偏向角法測量三棱鏡折射率可獲得較小的相對不確定度值。這樣的研究結(jié)果，可為利用分光計(jì)精確測量三棱鏡的折射率的實(shí)驗(yàn)儀器設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)作用。該研究成果以本科生為第一作者于2017年12月發(fā)表于《激光與光電子學(xué)進(jìn)展》期刊。

從以上的兩個實(shí)例可以看出，本科生通過對這一基礎(chǔ)的分光計(jì)測量折射率不確定度的分析，就可以對物理量的精確測量提出改進(jìn)方案。

3 結(jié)語

測量不確定度分析是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程的重要內(nèi)容之一。通過強(qiáng)化測量不確定度分析在基礎(chǔ)性物理實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目中的應(yīng)用的講授工作，西南交通大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心進(jìn)行了一定的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容改革。本文通過3個具體的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，詳細(xì)介紹了我校物理實(shí)驗(yàn)中心將測量不確定分析應(yīng)用于具體實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)計(jì)中所做的教學(xué)改革以及學(xué)生取得的研究成果。我們相信，這樣的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容改革，可為學(xué)生設(shè)計(jì)精確測量物理量的實(shí)驗(yàn)儀器提供有力支持，更進(jìn)一步，為高校培養(yǎng)具有創(chuàng)新實(shí)踐能力的本科生奠定基礎(chǔ)。