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    排列組合中幾個情景化的問題

    2019-07-08 02:54唐寧善
    文理導(dǎo)航 2019年23期
    關(guān)鍵詞:情景化排列組合高中數(shù)學(xué)

    唐寧善

    【摘? ?要】排列組合中情景化問題:一、加法原理與乘法原理;二、排列問題;三、組合問題;四、綜合問題。

    【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);情景化;排列組合

    時下,課堂改革正在如火如荼地進行。在任何學(xué)習(xí)中,興趣都是最好的老師,如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情始終是教學(xué)的永恒主題和最重要部分。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,將問題情景化是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的有效途徑,同時能夠培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識和能力,還可滲透其他學(xué)科及生活、工作中的有關(guān)知識,培養(yǎng)學(xué)生的綜合的質(zhì),這與高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求也是一致的。

    下面主要談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)選修2-3中“排列與組合”中幾個情景化的問題:

    一、加法原理與乘法原理

    例1:現(xiàn)在,有固定電話的家庭越來越少,大家了解它的編碼規(guī)則嗎?它的號碼是由0、1、2、……、9十個數(shù)字組成,其中首位不能為0(可問學(xué)生為什么)。我們順德的固定電話號碼原來是7位的,問原來可有多少個電話號碼?后來升到8位,問升位以后共增加了多少個號碼?

    略解:原來可有9×10×10×10×10×10×10=9000000個電話號碼;升位后有9×10×10×10×10×10×10×10=90000000,共增加了90000000-9000000=81000000個電話號碼。

    上例通過情景化,可使學(xué)生了解電話號碼的編碼方法;知道為什么要升位;讓學(xué)生感受到祖國日新月異的變化和時代前進的步伐,從而增加其使命感,激發(fā)起學(xué)生對學(xué)習(xí)的熱情。

    例2:順德的汽車車牌是“粵Xxxxxx”,原來5位號碼中只有第一位是英文字母,其余4位是數(shù)字,問一共可有多少個車牌號?隨著汽車用戶的日益增加,為了增加號碼,5位號碼中,第二位、第三位也用英文字母表示(只有一個英文字母),其余4位都是數(shù)字,問一共可增加多少車牌號?

    略解:原來可有26×10×10×10×10=260000個車牌號;后來共增加了10×26×10×10×10+10×10×26×10×10=520000個車牌號碼。

    例2屬于“可重復(fù)排列問題”,同時又是先分類后分步的綜合題,難度比較大,但由于結(jié)合了現(xiàn)實生活,學(xué)生可以根據(jù)實際操作加以解決,同時又能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,也可培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題的能力。

    再問:現(xiàn)在順德的汽車號碼是怎樣編號的?共有多少號碼?(注:順德汽車編碼規(guī)則:前兩位為大寫英文字母,后三位為數(shù)字,共有26×26×10×10×10=676000個號碼,這是比原來增加的?。?/p>

    目的:讓學(xué)生更多了解生活生產(chǎn)的實際,感受知識的力量。

    二、排列問題

    例3:“烽火連三月,家書抵萬金”,我國古代用烽火臺傳遞信號,在烽火臺上燃起馬糞或狼糞,表示有敵人來犯。而在西方沿海國家,常用旗子表示各種信號。思考下面問題:某信號兵用紅、黃、藍三面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號,每次可以掛一面或多面,并且不同順序表示不同的信號,一共可以表示多少種不同的信號?

    略解:P+P+P=15種。

    例4:在運動會中(如校運動會),常會碰到這樣的問題:有6名同學(xué)報名參加4×100米接力賽,下列情形中,體育委員可以怎樣“排兵布陣”:1.6名同學(xué)實力相當(dāng),都可以跑任意一棒;2.甲同學(xué)爆發(fā)力較好,必須“打前鋒”,乙同學(xué)速度快、心理素質(zhì)好,必須“殿后”;3.甲、乙兩同學(xué)必須“打前鋒”或“殿后”。

    略解:1.P=360; 2.P=12; 3.PP=24。

    例3涉及語文和歷史知識,能激起學(xué)生(特別是這兩門學(xué)科較好的學(xué)生的)學(xué)習(xí)興趣;而例4是“有條件限制的排列問題”,學(xué)生往往不知怎樣入手,但通過情景化,學(xué)生比較容易想到怎樣完成整件事情,從而得出處理此類問題的思路“先處理特殊位置或特殊元素”,而且讓題目帶上了一定的“情感色彩”,更能讓學(xué)生興趣盎然、躍躍欲試。

    三、組合問題

    例5:剛剛開幕的俄羅斯足球世界杯(第21屆),比賽是按照下面的辦法進行的:先將32支球隊分成8個小組進行單循環(huán)比賽,每小組前兩名出線,決出16強;再將16支球隊進行淘汰賽決出8強,然后同樣采用淘汰賽決出4強、決出2強、決出冠亞軍;同時3、4名要進行一場確定名次的比賽。問一共要進行多少場比賽?

    略解:8C+8+4+2+1+1=64。

    例5與時事(熱點)密切相關(guān),又是實際中會碰到的問題,學(xué)生(特別是男學(xué)生)當(dāng)然非常感興趣。

    四、綜合問題

    例6:我們班將進行班干換屆選舉,要求6名班干中至少有2名女生且至少有3名男生,問一共有多少種選法?

    略解:假定本班有50人,男生30人,女生20人,則有CCP+CCP種選法。

    上例是一類比較復(fù)雜的排列組合的題目,涉及到“至少”“至多”和“先組合后排列”以及“分類、分步”的問題,學(xué)生很難理清思路,而將其放到一個比較具體的事件中,只要讓學(xué)生從實際操作中去思考,不難得出思路,老師再從中引導(dǎo)學(xué)生小結(jié),以后再碰到類似的問題學(xué)生就懂得怎樣解決。

    例7:將陳光旭、蔣天樂、梁煒壕、李康4位同學(xué)平均分成2組,共有多少種分法?再加上李妮和王麗麗2位同學(xué)共6人平均分成2組呢?6人平均分成3組呢?

    略解:(1) (2) (3)

    上例是平均分組問題,學(xué)生理解起來有一定難度,教學(xué)時可讓學(xué)生實際分一分,由于數(shù)字不是很大,學(xué)生應(yīng)能找出分法的種數(shù)和計算的方法,以后印象也會比較深刻,有利于后面的學(xué)習(xí)。

    筆者認為,如果可以,應(yīng)將問題情景化盡可能地應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué),特別是引入課的教學(xué)中,這樣既可以激發(fā)學(xué)生的興趣,也可讓學(xué)生認識數(shù)學(xué)源于生活,也高于生活。各章節(jié)都有一些范例,只要教師勤于思考和積累,定能找到并合理運用,上面所舉例子只愿拋磚引玉。當(dāng)然,并不是每一節(jié)課都要情景化,畢竟數(shù)學(xué)本身的內(nèi)容才是最重要的,因材施教就好。

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