唐寧善

【摘? ?要】排列組合中情景化問題：一、加法原理與乘法原理;二、排列問題;三、組合問題;四、綜合問題。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);情景化;排列組合

時下，課堂改革正在如火如荼地進行。在任何學(xué)習(xí)中，興趣都是最好的老師，如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情始終是教學(xué)的永恒主題和最重要部分。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，將問題情景化是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的有效途徑，同時能夠培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識和能力，還可滲透其他學(xué)科及生活、工作中的有關(guān)知識，培養(yǎng)學(xué)生的綜合的質(zhì)，這與高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求也是一致的。

下面主要談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)選修2-3中“排列與組合”中幾個情景化的問題：

一、加法原理與乘法原理

例1：現(xiàn)在，有固定電話的家庭越來越少，大家了解它的編碼規(guī)則嗎？它的號碼是由0、1、2、……、9十個數(shù)字組成，其中首位不能為0（可問學(xué)生為什么）。我們順德的固定電話號碼原來是7位的，問原來可有多少個電話號碼？后來升到8位，問升位以后共增加了多少個號碼？

略解：原來可有9×10×10×10×10×10×10=9000000個電話號碼;升位后有9×10×10×10×10×10×10×10=90000000，共增加了90000000-9000000=81000000個電話號碼。

上例通過情景化，可使學(xué)生了解電話號碼的編碼方法;知道為什么要升位;讓學(xué)生感受到祖國日新月異的變化和時代前進的步伐，從而增加其使命感，激發(fā)起學(xué)生對學(xué)習(xí)的熱情。

例2：順德的汽車車牌是“粵Xxxxxx”，原來5位號碼中只有第一位是英文字母，其余4位是數(shù)字，問一共可有多少個車牌號？隨著汽車用戶的日益增加，為了增加號碼，5位號碼中，第二位、第三位也用英文字母表示（只有一個英文字母），其余4位都是數(shù)字，問一共可增加多少車牌號？

略解：原來可有26×10×10×10×10=260000個車牌號;后來共增加了10×26×10×10×10+10×10×26×10×10=520000個車牌號碼。

例2屬于“可重復(fù)排列問題”，同時又是先分類后分步的綜合題，難度比較大，但由于結(jié)合了現(xiàn)實生活，學(xué)生可以根據(jù)實際操作加以解決，同時又能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也可培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題的能力。

再問：現(xiàn)在順德的汽車號碼是怎樣編號的？共有多少號碼？（注：順德汽車編碼規(guī)則：前兩位為大寫英文字母，后三位為數(shù)字，共有26×26×10×10×10=676000個號碼，這是比原來增加的?。?/p>

目的：讓學(xué)生更多了解生活生產(chǎn)的實際，感受知識的力量。

二、排列問題

例3：“烽火連三月，家書抵萬金”，我國古代用烽火臺傳遞信號，在烽火臺上燃起馬糞或狼糞，表示有敵人來犯。而在西方沿海國家，常用旗子表示各種信號。思考下面問題：某信號兵用紅、黃、藍三面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以掛一面或多面，并且不同順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？

略解：P+P+P=15種。

例4：在運動會中（如校運動會），常會碰到這樣的問題：有6名同學(xué)報名參加4×100米接力賽，下列情形中，體育委員可以怎樣“排兵布陣”：1.6名同學(xué)實力相當(dāng)，都可以跑任意一棒;2.甲同學(xué)爆發(fā)力較好，必須“打前鋒”，乙同學(xué)速度快、心理素質(zhì)好，必須“殿后”;3.甲、乙兩同學(xué)必須“打前鋒”或“殿后”。

略解：1.P=360; 2.P=12; 3.PP=24。

例3涉及語文和歷史知識，能激起學(xué)生（特別是這兩門學(xué)科較好的學(xué)生的）學(xué)習(xí)興趣;而例4是“有條件限制的排列問題”，學(xué)生往往不知怎樣入手，但通過情景化，學(xué)生比較容易想到怎樣完成整件事情，從而得出處理此類問題的思路“先處理特殊位置或特殊元素”，而且讓題目帶上了一定的“情感色彩”，更能讓學(xué)生興趣盎然、躍躍欲試。

三、組合問題

例5：剛剛開幕的俄羅斯足球世界杯（第21屆），比賽是按照下面的辦法進行的：先將32支球隊分成8個小組進行單循環(huán)比賽，每小組前兩名出線，決出16強;再將16支球隊進行淘汰賽決出8強，然后同樣采用淘汰賽決出4強、決出2強、決出冠亞軍;同時3、4名要進行一場確定名次的比賽。問一共要進行多少場比賽？

略解：8C+8+4+2+1+1=64。

例5與時事（熱點）密切相關(guān)，又是實際中會碰到的問題，學(xué)生（特別是男學(xué)生）當(dāng)然非常感興趣。

四、綜合問題

例6：我們班將進行班干換屆選舉，要求6名班干中至少有2名女生且至少有3名男生，問一共有多少種選法？

略解：假定本班有50人，男生30人，女生20人，則有CCP+CCP種選法。

上例是一類比較復(fù)雜的排列組合的題目，涉及到“至少”“至多”和“先組合后排列”以及“分類、分步”的問題，學(xué)生很難理清思路，而將其放到一個比較具體的事件中，只要讓學(xué)生從實際操作中去思考，不難得出思路，老師再從中引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，以后再碰到類似的問題學(xué)生就懂得怎樣解決。

例7：將陳光旭、蔣天樂、梁煒壕、李康4位同學(xué)平均分成2組，共有多少種分法？再加上李妮和王麗麗2位同學(xué)共6人平均分成2組呢？6人平均分成3組呢？

略解：（1） （2） （3）

上例是平均分組問題，學(xué)生理解起來有一定難度，教學(xué)時可讓學(xué)生實際分一分，由于數(shù)字不是很大，學(xué)生應(yīng)能找出分法的種數(shù)和計算的方法，以后印象也會比較深刻，有利于后面的學(xué)習(xí)。

筆者認為，如果可以，應(yīng)將問題情景化盡可能地應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是引入課的教學(xué)中，這樣既可以激發(fā)學(xué)生的興趣，也可讓學(xué)生認識數(shù)學(xué)源于生活，也高于生活。各章節(jié)都有一些范例，只要教師勤于思考和積累，定能找到并合理運用，上面所舉例子只愿拋磚引玉。當(dāng)然，并不是每一節(jié)課都要情景化，畢竟數(shù)學(xué)本身的內(nèi)容才是最重要的，因材施教就好。