小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)廣角”內(nèi)容分析及教學(xué)策略

李光華 李雙娥

“數(shù)學(xué)廣角”作為人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的特色板塊，是一種新的嘗試。為落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)理念，2001 年 9 月的人教版（實(shí)驗(yàn)）教材中首次出現(xiàn)了“數(shù)學(xué)廣角”單元， 2012 年人教版（修訂）教材繼續(xù)沿用“數(shù)學(xué)廣角”單元，且進(jìn)行了適當(dāng)?shù)男抻?，選材上引用了一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在探究、發(fā)現(xiàn)、證明數(shù)學(xué)方法的過程中，掌握發(fā)現(xiàn)事物隱含規(guī)律的基本數(shù)學(xué)思想方法，為解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題打下思想基礎(chǔ)。由于“數(shù)學(xué)廣角”內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立且側(cè)重?cái)?shù)學(xué)思考，故其教學(xué)設(shè)計(jì)要異于常規(guī)數(shù)學(xué)知識(shí)，教學(xué)難點(diǎn)主要在于怎樣讓學(xué)生在問題情境中，感知、模仿、靈活運(yùn)用抽象的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展創(chuàng)新思維。這是一個(gè)值得研究的問題。

一、數(shù)學(xué)廣角教學(xué)內(nèi)容分析

“數(shù)學(xué)廣角”在內(nèi)容的編排上，充分考慮到不同學(xué)段學(xué)生的認(rèn)知水平及年齡特征，用常見的生活問題來滲透抽象的數(shù)學(xué)思想。（表1）

1. 教學(xué)素材源于生活

在第一學(xué)段，“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)素材主要集中在“數(shù)學(xué)活動(dòng)”，也涉及到“校園生活”“社會(huì)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”?？紤]到學(xué)生形象思維和直觀動(dòng)作思維的特點(diǎn)，在低學(xué)段的數(shù)學(xué)廣角教學(xué)中，要根據(jù)內(nèi)容特征、學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知規(guī)律來開展教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。如游戲中找搭檔的“排列組合”思想，日常生活所見圖形的分類思想。在第二學(xué)段，“數(shù)學(xué)活動(dòng)”所占比例有所下降，而“社會(huì)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的比例卻在增加。如管理決策的優(yōu)化問題、生產(chǎn)品控的找次品問題等。

2. 動(dòng)手操作，直觀演示

“數(shù)學(xué)廣角”在第一學(xué)段內(nèi)容編排上，借助了生活中常見的事物，既可以直觀演示，又可以讓學(xué)生動(dòng)手操作，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中思考、領(lǐng)悟隱含的規(guī)律。在第二學(xué)段內(nèi)容編排上，主要借助電子媒體進(jìn)行直觀演示，如優(yōu)化、雞兔同籠、植樹問題、數(shù)與形等，因?yàn)閷W(xué)生具備了一定的生活經(jīng)驗(yàn)，是在探究過程中引導(dǎo)學(xué)生思考。

3. 體驗(yàn)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)文化

什么是數(shù)學(xué)文化，就是用數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)和尺度去改變?nèi)说男袨檫^程及其結(jié)果。三年級(jí)下冊(cè)的“搭配”運(yùn)用排列組合思想使早餐更營養(yǎng)，四年級(jí)上冊(cè)“田忌賽馬”中優(yōu)化思想導(dǎo)致田忌獲勝，五年級(jí)下冊(cè)中“找次品”問題中的優(yōu)化、歸納思想使得次品以最高效率被找出……以上問題充分運(yùn)用了數(shù)學(xué)思想和方法來改善我們的生活，凸現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的魅力。

“數(shù)學(xué)廣角”越來越被廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師重視，成為優(yōu)質(zhì)課、競賽課的寵兒。然而我們?cè)谂c多所小學(xué)師生的調(diào)研交流中，發(fā)現(xiàn)教學(xué)中存在一些問題。首先，教學(xué)目標(biāo)定位不準(zhǔn)，重點(diǎn)難點(diǎn)把握不到位。許多教師主要是依靠教學(xué)參考書或參考照別人案例來制定教學(xué)目標(biāo)，而對(duì)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求及所教授的本班學(xué)生的實(shí)際情況考慮得較少。其次，教學(xué)重傳授知識(shí)，不注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透。不少青年教師對(duì)所授知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法領(lǐng)會(huì)不深刻，分析不清晰，忽略了數(shù)學(xué)思想的滲透。再次，教學(xué)注重聯(lián)系生活，但缺乏應(yīng)用意識(shí)。教師在“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)過程中，注重生活情境導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際去理解數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生積極思維。而在總結(jié)出規(guī)律后，隨堂練習(xí)僅限于課本習(xí)題，不能有效引導(dǎo)學(xué)生將習(xí)得的規(guī)律應(yīng)用于生活中[2]。

二、“數(shù)學(xué)廣角”教學(xué)策略研究

1. 準(zhǔn)確把握教學(xué)目標(biāo)

（1）目標(biāo)定位要以理解教材編排意圖為基礎(chǔ) ?！皵?shù)學(xué)廣角”根據(jù)不同學(xué)段逐步地滲透數(shù)學(xué)思想方法，采用生動(dòng)有趣、喜聞樂見的生活事例，把抽象的數(shù)學(xué)思想方法呈現(xiàn)出來。但“數(shù)學(xué)廣角”不同于“綜合與實(shí)踐”，“綜合與實(shí)踐”的教學(xué)重在實(shí)踐、重在綜合，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動(dòng)手能力，取得解決問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);“數(shù)學(xué)廣角”也不同于傳統(tǒng)應(yīng)用題，傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)注重講清思路，拓展方法，由理解到應(yīng)用，讓學(xué)生掌握知識(shí)，但解題思維有局限性，缺乏開放性，教學(xué)中更注重解決問題的方法。“數(shù)學(xué)廣角”的問題更靈活，具有開放性和挑戰(zhàn)性，注重在討論探究過程中，讓學(xué)生形成自己的操作體驗(yàn)，形成自己的思維，在合作交流中拓展不同的方法策略，在對(duì)比、優(yōu)化中思考解決問題的方法，逐步領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想方法。

（2）目標(biāo)定位要以學(xué)生的接受水平為基準(zhǔn) ?！皵?shù)學(xué)廣角”在每一個(gè)學(xué)段都有不同的要求。在第一學(xué)段，學(xué)生較活躍，但數(shù)學(xué)知識(shí)零散，生活經(jīng)驗(yàn)也有限，因此，在低學(xué)段要?jiǎng)?chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的情境，借助操作實(shí)踐活動(dòng)來展開探究，形成學(xué)生自己的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，初步體驗(yàn)到現(xiàn)實(shí)生活中隱含的數(shù)學(xué)知識(shí)。在第二學(xué)段，學(xué)生已經(jīng)具備初步的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，形成基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，具有初步的抽象思維能力，因此教學(xué)中可逐步滲透優(yōu)化、模型的思想，逐步養(yǎng)成問題意識(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)[3]。

（3）目標(biāo)定位要以數(shù)學(xué)思考方面為考量。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，總目標(biāo)的四個(gè)方面（知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感與態(tài)度）不是相互獨(dú)立和割裂的，而是一個(gè)密切聯(lián)系、相互交融的有機(jī)整體，在課程設(shè)計(jì)和教學(xué)活動(dòng)組織中，應(yīng)同時(shí)兼顧這四個(gè)方面的目標(biāo)[4]。

“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)要實(shí)現(xiàn)這四個(gè)目標(biāo)，不能平均用力。根據(jù)這部分知識(shí)數(shù)學(xué)思維含量高的特點(diǎn)，在教學(xué)中不能象傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容一樣注重解法，而應(yīng)側(cè)重?cái)?shù)學(xué)思考，關(guān)注教材所隱含的數(shù)學(xué)思想方法學(xué)生是否能逐步感悟，且對(duì)數(shù)學(xué)思考應(yīng)達(dá)到的層次和要求要有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不能過高，也不能過低。

2. 過程探索，升華理性思維

（1）注重過程經(jīng)歷，形成操作體驗(yàn)。學(xué)生要有自主探索的過程，這個(gè)過程包括經(jīng)歷操作體驗(yàn)，形成自己數(shù)學(xué)化的思維，用自己的語言、方式去表達(dá)個(gè)人想法，形成感性認(rèn)識(shí)后，為升華理性認(rèn)識(shí)作好鋪墊。

（2）注重幾何直觀，突出解決問題方法的多樣性。如沏茶問題，學(xué)生可以自己畫出策略順序圖，然后思考方法的多樣性。進(jìn)而在小組交流中發(fā)現(xiàn)可以合并一些操作項(xiàng)，從而涌現(xiàn)出許多不同的策略。即在探索中注重思維的發(fā)散，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

（3）從練習(xí)到應(yīng)用，量變升華為質(zhì)變。教材里面選取的一些生活實(shí)例是個(gè)別的、具體的、感性的個(gè)案，通過不斷練習(xí)、積累和思考，最后要形成一般的、抽象的、理性的規(guī)律，并從關(guān)注思考結(jié)果轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注結(jié)果的思考，從而入窺數(shù)學(xué)思想門徑。如沏茶問題，學(xué)生進(jìn)一步思考為什么可以這樣優(yōu)化，從而找出此類問題優(yōu)化的關(guān)鍵因素——在較長時(shí)間的操作項(xiàng)中，是否可以同時(shí)做其他短時(shí)間操作項(xiàng)。以此作為主導(dǎo)思想，可輕而易舉解決其他此類問題。

3. 化“隱”為“顯”，滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容分為兩個(gè)層次：一個(gè)是顯性的知識(shí)（如概念、性質(zhì)、法則、公式等）;另一是隱性的知識(shí)（如數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法）。因此，數(shù)學(xué)課堂呈現(xiàn)雙線并行。一條是明線，知識(shí)的傳承，運(yùn)用知識(shí)解決問題;一條是暗線，教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、總結(jié)數(shù)學(xué)方法，以便在數(shù)學(xué)問題中應(yīng)用思想指導(dǎo)自己解決問題。因此，教學(xué)中不再只是考慮知識(shí)技能的傳授，而是要考慮如何以知識(shí)、技能和問題來引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法?；半[”為“顯”是將“數(shù)學(xué)廣角”中隱藏的數(shù)學(xué)思想方法發(fā)掘出來，以利于學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用。如何顯？一方面學(xué)生通過操作、觀察、思考等實(shí)踐活動(dòng)，在交流匯報(bào)中啟發(fā)、擴(kuò)展思維，逐步悟出;另一方面教師要增強(qiáng)自身的數(shù)學(xué)思想知識(shí)，在過程探究、結(jié)果整理時(shí)將容易理解的“隱性”的數(shù)學(xué)思想方法“顯”出。如六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)與形”內(nèi)容，1+3+5+……本是算術(shù)問題，教材卻用圖表示，此時(shí)可介紹著名數(shù)學(xué)家華羅庚的觀點(diǎn)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。進(jìn)而指出，數(shù)形結(jié)合思想就是把數(shù)和形結(jié)合起來分析，把圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題，或者把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，目的是使抽象問題直觀化、復(fù)雜問題簡單化。

4. 多元體驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想

布魯納的認(rèn)知發(fā)現(xiàn)學(xué)說認(rèn)為，學(xué)習(xí)過程是一種積極的認(rèn)知過程。學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)在于主動(dòng)地形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，重視人的主動(dòng)性和己有經(jīng)驗(yàn)的作用，重視學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)與發(fā)展學(xué)生的思維。因此，在“數(shù)學(xué)廣角”的學(xué)習(xí)中，要積極主動(dòng)參與，豐富活動(dòng)體驗(yàn)，經(jīng)歷抽象探究，逐步感悟思想。

如五年級(jí)下冊(cè)的“找次品”，在素材方面，可以舍去書本上的鈣片，用學(xué)生喜歡的木糖醇、蜂蜜代替。導(dǎo)入環(huán)節(jié)中創(chuàng)設(shè)情境，三盒木糖醇，其中有一盒被人偷吃了幾片，你能找出嗎？進(jìn)而進(jìn)入操作環(huán)節(jié)。學(xué)生經(jīng)過操作，發(fā)現(xiàn)天平稱一次就可以找到。在探究環(huán)節(jié)中，提問如果是300盒木糖醇中找一盒次品，至少需要稱多少次？此問不是為了解決這個(gè)問題，而是要探究找次品的最優(yōu)策略。因而要強(qiáng)化探究過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟最優(yōu)策略。通過討論5盒、12盒、27盒，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，盡量分成三份，稱的次數(shù)就少。進(jìn)而發(fā)現(xiàn)300（100，100，100）→100（34，34，32）→34（12，12，10）→12（4，4，4）→4（2，2）→2（1，1），6次就可稱出。發(fā)現(xiàn)最優(yōu)策略后，并沒有結(jié)束，需要領(lǐng)悟策略：為何平均分三份就最優(yōu)呢？這種多元體驗(yàn)，可以促進(jìn)學(xué)生能更好地感悟優(yōu)化這一數(shù)學(xué)思想。

5. 主動(dòng)應(yīng)用，反思數(shù)學(xué)思想

從前面的分析中，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生要經(jīng)過三個(gè)層次：初步感知、照搬模仿、靈活運(yùn)用。初步感知，即學(xué)生通過操作體驗(yàn)，在解決問題的探究過程中，能初步理解所使用的思想方法;照搬模仿，即學(xué)生經(jīng)過操作、交流、思考，初步理解解決問題的思想方法后，套用書本的方法求解類似的問題;靈活運(yùn)用，即學(xué)生能將具體的實(shí)際問題“數(shù)學(xué)化”，尋找到相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法予以解決。這三個(gè)層次，非一日之功，是一個(gè)操作體驗(yàn)、循序漸進(jìn)、運(yùn)用領(lǐng)悟的過程。過程中，教師要做這一過程的強(qiáng)化者、引導(dǎo)者，在問題解決的過程中助推學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法。

“數(shù)學(xué)廣角”緊密結(jié)合生活實(shí)際，因此要回到生活實(shí)際中應(yīng)用，將實(shí)際問題“數(shù)學(xué)化”，找出解決問題的關(guān)鍵思想方法，增強(qiáng)思想方法的應(yīng)用意識(shí)，擴(kuò)展解決問題的思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，并在解決問題后進(jìn)行反思，反思優(yōu)化、模型等數(shù)學(xué)思想的實(shí)質(zhì)，進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用價(jià)值。

總之，教師要提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，掌握有效的教學(xué)策略，注重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的三個(gè)過程，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，獲得解決問題的成功體驗(yàn)，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)信心和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題的能力，達(dá)成“數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

[1]李亞哲.小學(xué)數(shù)學(xué)廣角教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)查與對(duì)策研究[D].秦皇島：河北科技師范學(xué)院，2017.

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[責(zé)任編輯：陳國慶]