關(guān)注數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的有效解讀

姚建法

摘 ? ?要 ?教材內(nèi)容作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要載體，需要教師充分關(guān)注教材內(nèi)容的階段螺旋性、結(jié)構(gòu)流動(dòng)性、關(guān)聯(lián)融通性、意義增值性和哲學(xué)思辨性，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)，從而促進(jìn)其數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)與增值，豐潤(rùn)數(shù)學(xué)課堂。

關(guān)鍵詞?階段螺旋 結(jié)構(gòu)流動(dòng) 關(guān)聯(lián)融通 意義增值 哲學(xué)思辨

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要以教材內(nèi)容作為載體，實(shí)現(xiàn)其數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)與增值，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育與提升。教材作為高質(zhì)量的“例子”，必然要求教師充分關(guān)注并有效解讀，重視“用教材教”的實(shí)證與研究。下面以蘇教版《數(shù)學(xué)》二年級(jí)上冊(cè)“數(shù)與代數(shù)”為例，嘗試對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行解讀。

?一、關(guān)注教材內(nèi)容的階段螺旋性

知識(shí)的形成與發(fā)展具有生長(zhǎng)性和階段性，不同年齡階段的學(xué)生具有相應(yīng)的心理特征與認(rèn)知規(guī)律。相應(yīng)地教材也會(huì)分層遞進(jìn)、精心編排，將序列化的教學(xué)節(jié)點(diǎn)“鏈成”整體，形成體系，呈現(xiàn)出階段螺旋性。

例如第一單元“100以內(nèi)的加法和減法（三）”例3，小軍和芳芳分別穿了8個(gè)和12個(gè)彩珠，“要讓兩串彩珠同樣多”，學(xué)生獨(dú)立思考后借助動(dòng)作表征用圓片擺一擺，或者應(yīng)用圖象表征畫一畫，得出三種解決方案，教材用文字表征呈現(xiàn)：“小軍再穿4個(gè)彩珠”“把芳芳穿的彩珠拿走4個(gè)”“拿出芳芳穿的2個(gè)彩珠給小軍”。事實(shí)上，在教學(xué)過程中，還有許多學(xué)生應(yīng)用了符號(hào)表征：12-8=4（個(gè)），順利得出前兩種方案，但在第三種方案“移多補(bǔ)少”中遇到用算式表達(dá)“多出的4個(gè)一人一半”的困難。雖然學(xué)生還沒有表內(nèi)乘除法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，卻能自動(dòng)調(diào)取一年級(jí)“分與合”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，嘗試表征為。當(dāng)教學(xué)了第三單元“2的乘法口訣”或第四單元“表內(nèi)除法（一）”后，教師可以適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生“回顧”這個(gè)問題，開展二次解讀，列出算式2×（2）=4（個(gè)）或4÷2=2（個(gè)），深刻感受學(xué)習(xí)的生長(zhǎng)價(jià)值與乘除之美。

更為一般地，可以引領(lǐng)學(xué)生將一些一時(shí)難以解決的數(shù)學(xué)問題作為長(zhǎng)時(shí)問題對(duì)待，“努力養(yǎng)成學(xué)生長(zhǎng)時(shí)間思考的習(xí)慣與能力”[1]。這樣的歷程，體驗(yàn)是豐富而深刻的，不僅擴(kuò)充了解決問題的方式，而且在深度與廣度方面有了實(shí)質(zhì)性變化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程性與階段性，充分感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的張力與魅力。

二、關(guān)注教材內(nèi)容的結(jié)構(gòu)流動(dòng)性

數(shù)學(xué)體系是系統(tǒng)架構(gòu)的，而課時(shí)內(nèi)容具有節(jié)點(diǎn)性。相同或相似的教材內(nèi)容具有相對(duì)穩(wěn)定性與遞進(jìn)性，并非簡(jiǎn)單的從此到彼的過渡，而是建立聯(lián)系，縱向深化，映射為教材內(nèi)容的結(jié)構(gòu)流動(dòng)性。

首先，教材內(nèi)容的結(jié)構(gòu)流動(dòng)性體現(xiàn)為教學(xué)結(jié)構(gòu)的流動(dòng)。教材內(nèi)容的結(jié)構(gòu)有助于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并在同化、順應(yīng)或平衡中完善。

例如第六單元“表內(nèi)乘法和表內(nèi)除法（二）”例1“7的乘法口訣”，就可以引導(dǎo)學(xué)生回顧“4、5、6的乘法口訣”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，統(tǒng)一應(yīng)用“加一加填表、寫一寫乘式、編一編口訣、記一記應(yīng)用”的模式，推進(jìn)教材內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)。這種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的展開，實(shí)現(xiàn)了“從一節(jié)課走向一類課”，突出了教材內(nèi)容的“共性”流動(dòng)。

同時(shí)，教材的結(jié)構(gòu)流動(dòng)也有遞進(jìn)變化，表現(xiàn)為“從一類課走向一節(jié)課”，關(guān)注課時(shí)的“個(gè)性”流動(dòng)。如4、5、6、7的乘法口訣一脈相承，從8的乘法口訣開始，教材例題省略了“寫一寫乘式”這一環(huán)節(jié)，從“加一加填表”直接進(jìn)入“編一編口訣”，在轉(zhuǎn)承中精簡(jiǎn)思維過程，螺旋提升學(xué)習(xí)水平。

其次，教材內(nèi)容的結(jié)構(gòu)流動(dòng)性還體現(xiàn)為資源結(jié)構(gòu)的流動(dòng)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，充分調(diào)用學(xué)生資源并序列化呈現(xiàn)，展開“由同向異”流動(dòng)或“由異向同”流動(dòng)的結(jié)構(gòu)性對(duì)話，聚焦教材內(nèi)容的核心本質(zhì)，充分展現(xiàn)學(xué)生的思維過程，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)提升。

例如第四單元“表內(nèi)除法（一）”中的“平均分”，學(xué)生先自由分成兩堆，教材呈現(xiàn)的三種資源學(xué)生一看就明白，只需聚焦第二種以便揭示平均分的概念。然后適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生操作“還可以怎樣平均分？”學(xué)生經(jīng)歷了“具體→抽象→具體”的思維流動(dòng)。在把學(xué)生擺出的三種平均分資源結(jié)構(gòu)化并列投影呈現(xiàn)時(shí)，聚焦“有什么相同”，突出平均分本質(zhì)——每份數(shù)相同，有效實(shí)現(xiàn)“由異向同”的認(rèn)知資源的結(jié)構(gòu)流動(dòng)，學(xué)生也由操作性認(rèn)知上升為結(jié)構(gòu)性理解。

三、關(guān)注教材內(nèi)容的關(guān)聯(lián)融通性

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材十分注重新舊知識(shí)間的意義聯(lián)接與整合融通，而幫助學(xué)生理解教材內(nèi)容之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。將教材內(nèi)容從課時(shí)知識(shí)的孤立建構(gòu)走向系統(tǒng)的整體融通，有助于教學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、把握思想方法的過程體驗(yàn)，從關(guān)注是什么的工具性理解上升為關(guān)注數(shù)學(xué)現(xiàn)象內(nèi)涵本質(zhì)的關(guān)系性理解。

例如學(xué)生在一年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)了加法和減法，本冊(cè)教材初步認(rèn)識(shí)乘法和除法，引領(lǐng)學(xué)生從關(guān)聯(lián)融通的角度整體把握四則運(yùn)算顯得十分必要。在第六單元“表內(nèi)乘法和表內(nèi)除法（二）”例7“8的表內(nèi)除法”中，卡通蕃茄“用小棒分一分”對(duì)應(yīng)動(dòng)作表征或圖像表征，卡通蘿卜是算式化的符號(hào)表征，卡通青椒則是基于“幾個(gè)幾”的文字表達(dá)。布魯納指出學(xué)生對(duì)新知識(shí)的加工過程分為行為表征、圖像表征和符號(hào)表征三個(gè)階段。這三類表征有力地指向共同的目標(biāo)結(jié)論——8÷2=4，印證新方法“乘法口訣求商”的合情與合理，拓展了對(duì)除法算式的理解，體現(xiàn)了平均分、累減、乘法與除法之間的關(guān)聯(lián)。

四、關(guān)注教材內(nèi)容的意義增值性

每一次數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅可以獲得新的知識(shí)、掌握新的方法、積累新的經(jīng)驗(yàn)，還可以不斷提升數(shù)學(xué)思維水平，并在教師引領(lǐng)下將自然語言向數(shù)學(xué)語言過渡，將淺而不全的自生表達(dá)提升為數(shù)學(xué)化的科學(xué)表達(dá)，實(shí)現(xiàn)樸素理解向數(shù)學(xué)理解的意義增值。

1. “比一比”讓意義增值，樸素應(yīng)用走向科學(xué)應(yīng)用

限于學(xué)識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的不足，以及認(rèn)知發(fā)展水平的層次與規(guī)律，二年級(jí)學(xué)生往往會(huì)在一些具有相應(yīng)挑戰(zhàn)性的問題上顧此失彼。例如第三單元“表內(nèi)乘法（一）”練習(xí)七第11題，學(xué)生通過觀察花的疏密就能作出判定，這是生活經(jīng)驗(yàn)的樸素表達(dá)或是基于數(shù)感的樸素應(yīng)用。但由于忽略了“都種了4行”的表達(dá)，多數(shù)學(xué)生會(huì)列乘法算式算出具體朵數(shù)再比較。教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注條件“都種了4行”，在行數(shù)相同的大前提下，由于二班每行的朵數(shù)6比一班每行的朵數(shù)5多，所以二班種的花多一些，不必求出每個(gè)班種的具體朵數(shù)。從“數(shù)感”到“式感”，突破思維定勢(shì)，實(shí)現(xiàn)乘法意義與數(shù)學(xué)應(yīng)用的有效增值。

2.“改一改”讓意義增值，樸素語言走向數(shù)學(xué)語言

哪怕口答也要有條理、有根據(jù)，符合數(shù)學(xué)展開邏輯。例如第四單元“表內(nèi)除法（一）”的“單元復(fù)習(xí)”第6題，要求先口答再計(jì)算具體次數(shù)。根據(jù)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)學(xué)生能夠感知到每次抬的個(gè)數(shù)越多，抬的次數(shù)就會(huì)越少，卻往往會(huì)忽略“總數(shù)不變（或相同）”。并且通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生仍習(xí)慣于先計(jì)算結(jié)果再口答比較。為此，需要豐富問題解決的過程體驗(yàn)，不妨把南瓜總數(shù)“12”依次改為“18”、“42”，設(shè)置計(jì)算障礙，用“不會(huì)算”倒逼學(xué)生，培養(yǎng)對(duì)數(shù)的敏感性和選擇性，使數(shù)學(xué)表達(dá)科學(xué)、規(guī)范：因?yàn)?2=12，2<3，所以12÷3<12÷2，所以男生抬的次數(shù)少。

3.“拓一拓”讓意義增值，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向數(shù)學(xué)遷移

數(shù)學(xué)遷移作為一種學(xué)習(xí)方式，能夠有效促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與深度思考。例如第六單元“復(fù)習(xí)”中的思考題，學(xué)生交流得出“（a+1）×（a-1）=a×a-1”的規(guī)律后，如何讓這個(gè)規(guī)律更加“有用”“有味”呢？最好的方法是讓學(xué)生有需求，因?yàn)樾枰?，所以有效。于是展開了遷移拓展：在黑板上先圖像表征“★×★=121”，學(xué)生頓時(shí)驚詫——沒學(xué)過這么大的“乘法口訣”呀？再寫“○×□=？”學(xué)生仍是迷惘;當(dāng)箭頭與“-1”、“+1”出來時(shí)，學(xué)生沸騰了。不一會(huì)兒學(xué)生就得到120了。此時(shí)，學(xué)生的感受是豐富且深刻的，對(duì)長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展有著深遠(yuǎn)意義。需要注意的是，拓展遷移，有時(shí)須要清晰地掌握，有時(shí)只須蜻蜓點(diǎn)水、適時(shí)滲透即可。

五、關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的哲學(xué)思辨性

數(shù)學(xué)教材除了承載數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和思維模式，諸如推理、對(duì)應(yīng)、分類、函數(shù)、模型等。著名心理學(xué)家張梅玲認(rèn)為可以在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中滲透哲學(xué)思維，尤其強(qiáng)調(diào)揭示數(shù)學(xué)當(dāng)中的哲學(xué)思想，并希望在小學(xué)階段，在邏輯思維訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，萌發(fā)孩子的哲學(xué)辯證思維，如函數(shù)思想、相對(duì)性思想等。她還發(fā)現(xiàn)，受過哲學(xué)思維訓(xùn)練的學(xué)生更容易找到問題解決的切入點(diǎn)。

例如“表內(nèi)除法（一）”例4的數(shù)學(xué)模型是“a×b=12”，可以分四個(gè)層次組織教學(xué)。第一層次訓(xùn)練多元思維，操作得出1×12=12（二年級(jí)學(xué)生雖然還沒學(xué)到，但通過操作能夠得出結(jié)論）、2×6=12、3×4=12、4×3=12、6×2=12等五種方案。第二層次體現(xiàn)有序思維，結(jié)構(gòu)化比較有遺漏或重復(fù)、全而無序、全而有序三類資源。第三層次訓(xùn)練抽象思維與模型思想。用“誰能用一句話概括這道例題的答案”挑戰(zhàn)思維，交流后明確“幾乘幾等于12”。第四層次引導(dǎo)學(xué)生觀察算式，得出“總數(shù)不變，每份鉛筆支數(shù)變（多）了，所以平均分的份數(shù)變（少）了”。學(xué)生體驗(yàn)到自變量與因變量的聯(lián)系與變化，以及變與不變的思辨性。這其實(shí)就是一種函數(shù)思想，也是數(shù)學(xué)哲學(xué)的一次生根過程。

史寧中教授說：數(shù)學(xué)的本質(zhì)是在認(rèn)識(shí)數(shù)的同時(shí)，認(rèn)識(shí)數(shù)量及數(shù)量之間的關(guān)系，進(jìn)一步抽象為數(shù)及數(shù)之間的關(guān)系。于是，我們常要思考教材的內(nèi)容是如何編排的、有著怎樣的數(shù)學(xué)邏輯、數(shù)學(xué)思維又該如何展開……如此，關(guān)注教材內(nèi)容，進(jìn)行有效解讀，是為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)的關(guān)鍵所在。

參考文獻(xiàn)

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育的“問題導(dǎo)向”[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2018（1-2）.

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]