小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)中數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換

盧清榮

數(shù)學(xué)建模是學(xué)生的核心素養(yǎng)之一，是學(xué)生“對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)”[1] 。它的內(nèi)涵包括“面對某個綜合性情景，能夠理解并建構(gòu)現(xiàn)實情境模型，會將該模型翻譯為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，然后會用數(shù)學(xué)方法解決所提數(shù)學(xué)問題，再根據(jù)具體的情境，解讀與檢驗數(shù)學(xué)解答，并驗證模型的合理性”[2] 。數(shù)學(xué)建模過程包括模型準備、模型形成、模型應(yīng)用和模型拓展。數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換就是“在數(shù)學(xué)問題解決過程中，保持數(shù)學(xué)問題的某些不變性質(zhì)，改變信息形態(tài)，將要解決的問題進行數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，使之達到由繁到簡，由未知到已知，由陌生到熟悉的目的”[2]。如果學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過程中能準確、靈活地轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言，就能順利分析問題和解決問題，有效促進思維的發(fā)展和深化，有效培養(yǎng)他們的核心素養(yǎng)。否則，學(xué)生就難以閱讀、理解、思維和表達，更談不上提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生在建模過程中靈活轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言，逐漸培養(yǎng)并提升他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、模型準備中轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言

模型準備就是教師根據(jù)教學(xué)需要恰當(dāng)創(chuàng)設(shè)情境，組織學(xué)生從中抽取數(shù)學(xué)問題，為后續(xù)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。模型準備時，教師可以創(chuàng)設(shè)童話情境、游戲情境、生活情境、比賽情境、問題情境……如果教師能用情境有效激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，就能促使他們在模型準備中迅速輸入信息并靈活轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言;如果學(xué)生能根據(jù)情境中的數(shù)學(xué)信息抽象出數(shù)學(xué)問題，就說明他們已經(jīng)基本厘清所要解決的問題。學(xué)生有了明確的建模方向，就為他們發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)提供了可能。

教學(xué)釘子板上的多邊形時，教師指出釘子板上相鄰兩個釘子間距離是1厘米后，用皮筋在上面任意圍了一個多邊形，讓學(xué)生說說多邊形的面積。有的學(xué)生嘗試數(shù)皮筋所圍的方格數(shù)，有的學(xué)生嘗試把多邊形分割成規(guī)則圖形，有的學(xué)生不知所措……學(xué)生忙碌中，教師隨口說出答案。等了好一會兒，才有學(xué)生認可了教師答案的正確性，也有學(xué)生猜測教師可能早就知道所圍多邊形的面積了。于是，教師讓提意見的學(xué)生到釘子板上圍一個多邊形，師生進行比賽。師生商議用點陣圖代替釘子板后，學(xué)生一畫出多邊形，教師就輕松地說出正確結(jié)果并贏得了比賽。學(xué)生很驚訝，他們懷疑老師有解決問題的秘密“武器”。

皮克定理是點陣中頂點在格點的多邊形面積計算模型。教師創(chuàng)設(shè)師生比賽情境激活了學(xué)生探究欲望。學(xué)生數(shù)方格或計算多邊形面積的過程是他們讀懂圖形語言并轉(zhuǎn)換為符號語言的過程，他們先把實物表示的圖形語言轉(zhuǎn)換為點陣圖表示的圖形語言，再轉(zhuǎn)換為符號語言表示多邊形面積。分割計算面積比較慢，而且還有小部分圖形可能因為不規(guī)則而無法準確計算，尋找數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換新方向就變成學(xué)生的迫切希望。比賽情境引發(fā)學(xué)生積極轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言的興趣，他們不但了解了皮克定理模型的知識背景，而且喚醒了已有的知識經(jīng)驗和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，為后續(xù)轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言，形成數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)奠定了基礎(chǔ)。

二、模型形成中轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言

對小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)模型形成過程是提出假設(shè)并加以驗證的過程。假設(shè)就是學(xué)生根據(jù)已有認知或直覺大膽提出自己的想法;驗證就是學(xué)生對自己或同學(xué)提出的假設(shè)用實驗、舉例或證明等方法判斷其正確性。假設(shè)通過驗證就成為模型，如果無法通過驗證就要提出新假設(shè)再驗證。數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能幫助學(xué)生在假設(shè)和驗證過程中進行正確判斷和說理。教師要鼓勵學(xué)生大膽假設(shè)后通過測量、實驗、操作、交流、抽象、概括等方法經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型“再創(chuàng)造”的過程。

教學(xué)平行四邊形面積時，教師出示一個平行四邊形（圖1），讓學(xué)生猜測它的面積是多少。有的學(xué)生用5×4計算，有的學(xué)生用4×3計算，有的學(xué)生用5×3計算。教師引導(dǎo)學(xué)生用面積1平方厘米的正方形紙片在圖中有序擺放，他們發(fā)現(xiàn)20個小正方形鋪成的圖形比平行四邊形大，隨即否定了5×4的假設(shè);發(fā)現(xiàn)12個小正方形無法鋪滿平行四邊形，隨即否定了4×3的假設(shè);15個正方形是否正確呢？學(xué)生切分小正方形并擺拼，數(shù)出平行四邊形的面積。教師追問有沒有更簡潔的方法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，在動手操作和小組交流中，他們根據(jù)長方形與平行四邊形的對應(yīng)關(guān)系——長方形的長=平行四邊形的底、長方形的寬=平行四邊形的高，進而推導(dǎo)出平行四邊形面積=底×高，用字母表示是S=a×h，順利形成了平行四邊形的面積模型。

提出假設(shè)時，學(xué)生把圖形語言轉(zhuǎn)換為符號語言，用三個算式分別表示平行四邊形的面積;驗證假設(shè)時，學(xué)生觀察平行四邊形包含面積單位個數(shù)的過程是把圖形語言轉(zhuǎn)換為新的圖形語言的過程，同時否定了兩種假設(shè)，肯定了第三種假設(shè)。教師的追問引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)尋找新的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換方向，他們想到把平行四邊形剪拼成長方形，實現(xiàn)圖形語言的相互轉(zhuǎn)換。根據(jù)兩種圖形的對應(yīng)關(guān)系推導(dǎo)平行四邊形面積公式的過程是把圖形語言轉(zhuǎn)換成文字語言的過程，最后把文字表示的公式模型用字母表示是文字語言轉(zhuǎn)換為符號語言的過程。學(xué)生在猜測驗證和合作交流中不斷進行數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，最終順利形成平行四邊形面積公式模型。學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在模型形成過程中得到了有效培養(yǎng)。

三、模型應(yīng)用中轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言

小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義不只是掌握知識的多少，更在于能否靈活解決實際問題。學(xué)生如果能應(yīng)用所形成的數(shù)學(xué)模型解決實際問題，并從中發(fā)現(xiàn)新問題、理解新知識、實現(xiàn)新認知，甚至自覺形成數(shù)學(xué)建模意識，就表明他們不但能真正理解并掌握所建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，而且能初步感悟數(shù)學(xué)模型思想的價值，同時表明他們的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)得到了有效提升。

學(xué)生形成梯形面積模型后，為了幫助他們及時鞏固應(yīng)用，教師設(shè)計一些習(xí)題：

1.計算下列梯形的面積（圖2）。

2.一塊梯形菜地上底與下底的和是120米，高50米。如果每棵白菜要占地2平方分米，那么，這塊菜地一共可以種多少棵白菜？

3.計算下面每個圖形的面積（圖3），說說你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生解決第1題的過程，就是他們簡單應(yīng)用模型解決實際問題的過程，也是他們把圖形語言轉(zhuǎn)換為符號語言的過程;解決第2題的過程，是他們靈活應(yīng)用模型的過程，也是他們把文字語言轉(zhuǎn)換為符號語言的過程;解決第3題的過程，是學(xué)生溝通知識聯(lián)系的過程（梯形面積公式可以變?yōu)槿切蚊娣e公式或平行四邊形面積公式），也是數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的過程：先把圖形語言轉(zhuǎn)換為符號語言、再把符號語言轉(zhuǎn)換為文字語言。他們從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型不是孤立、零散的，而是相互聯(lián)系，甚至可以相互轉(zhuǎn)化的，梯形面積模型因此有了更深的意義，并由此變得結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化。有層次的練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生把不同類別的數(shù)學(xué)語言進行不同層次轉(zhuǎn)換，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在問題解決中得到有效提升。

四、模型拓展中轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言

模型拓展就是教師引導(dǎo)學(xué)生對已經(jīng)建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型適當(dāng)改變，衍生出新的數(shù)學(xué)模型。教師可以根據(jù)教學(xué)需要和學(xué)情引導(dǎo)學(xué)生在模型應(yīng)用中完成一些拓展性練習(xí)，幫助他們對所形成的數(shù)學(xué)模型進行適度拓展或重塑。有效的模型拓展不但能加深學(xué)生對已形成的數(shù)學(xué)模型的理解，而且能拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，使他們學(xué)會從不同角度理解并掌握數(shù)學(xué)模型，進一步培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

學(xué)習(xí)間隔排列時，學(xué)生經(jīng)過簡單的模型應(yīng)用，初步理解并掌握了所形成的數(shù)學(xué)模型“兩種物體排成一行，兩端物體相同時，兩端物體個數(shù)-中間物體個數(shù)=1”后，教師出示了兩道拓展練習(xí)：

1.小紅把正方形和圓形一個隔一個地排成了一行。如果正方形有6個，圓形最少有多少個？最多有多少個？

2.圓形池塘周圍一共栽了75棵柳樹，如果每兩棵柳樹中間栽一棵桃樹，可以栽多少棵桃樹？

解決問題1時，學(xué)生形成一條直線上物體間隔排列的基本圖式，是他們靈活應(yīng)用已有模型并形成新數(shù)學(xué)模型（兩種物體排成一行，如果兩端物體不同，它們的個數(shù)就相等）的過程，也是他們把文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言再轉(zhuǎn)換為文字語言的過程。解決問題2時，學(xué)生經(jīng)歷了封閉圖形用文字語言表達“外化”，語義轉(zhuǎn)換為圖形語言具像“內(nèi)化”的過程，也是他們形成新的數(shù)學(xué)模型（物體首尾相連圍成一圈，兩種物體的個數(shù)相等）的過程。學(xué)生在解決實際問題的過程中靈活應(yīng)用模型，甚至拓展、形成新的數(shù)學(xué)模型，有利于他們從更高的水平上重新認識模型，他們的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)都得到了明顯提升。

總之，學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過程中有效進行數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，不但能充分感悟數(shù)學(xué)模型思想、體驗數(shù)學(xué)建模價值，而且能切實提升數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力。數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換越充分，學(xué)生建模就越順利，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)提升越自然。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 徐斌艷.數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力研究[J].全球教育展望，2013（06）.

[責(zé)任編輯：陳國慶]