算理理解：計(jì)算教學(xué)的重中之重

張平奎

算理可以簡(jiǎn)單理解為計(jì)算過(guò)程中的道理，是指數(shù)學(xué)計(jì)算流程下的思考維度、思維方式。小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解不能僅停留于標(biāo)準(zhǔn)答案，標(biāo)準(zhǔn)答案得出之前的一系列運(yùn)算步驟都需要形成邏輯思維的規(guī)律性總結(jié)，方能促使學(xué)生理解其中的算理結(jié)構(gòu)與方法。知其然，更知其所以然，方能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的宏觀認(rèn)知與微觀邏輯。故而，算理理解是小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的重中之重。

一、利用多元表征方式，促進(jìn)算理理解

小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生對(duì)算理知識(shí)的深刻理解，首先需要從多元表征形式中提煉學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算機(jī)理的深刻感知。而算理知識(shí)本身也具備了多元表征的基礎(chǔ)條件，可以借助不同的表征形式加工處理，令其產(chǎn)生便于學(xué)生理解的關(guān)聯(lián)知識(shí)。

1.表征思維構(gòu)建

教師幫助學(xué)生建立對(duì)計(jì)算題的多元表征形式，可激活學(xué)生的心理表征認(rèn)知，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題形象地表達(dá)出來(lái)，引發(fā)學(xué)生對(duì)計(jì)算流程的深刻思考。以小學(xué)數(shù)學(xué)中“分香蕉”的例題教學(xué)為例，從中能夠發(fā)現(xiàn)情境信息構(gòu)建了學(xué)生對(duì)計(jì)算問(wèn)題的形象認(rèn)知，教師可以提出相應(yīng)問(wèn)題，加深學(xué)生對(duì)計(jì)算問(wèn)題的邏輯思維構(gòu)建。如小猴子需要將香蕉分給3位小伙伴，12根香蕉怎么分配才最為合理，才不會(huì)讓小伙伴失望。這樣設(shè)計(jì)教學(xué)問(wèn)題，將香蕉的平均分配作為表征形式，能夠讓學(xué)生設(shè)身處地地思考平均分配的運(yùn)算機(jī)理。同時(shí)追加問(wèn)題：同學(xué)們是否可以動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)12個(gè)香蕉在分配之后的具體形式？追加問(wèn)題強(qiáng)調(diào)了動(dòng)手操作的規(guī)律性總結(jié)，讓學(xué)生對(duì)表征實(shí)物產(chǎn)生深刻記憶。故而后續(xù)講解12÷3=4或3×4=12的運(yùn)算機(jī)理更為便捷和清晰，可令學(xué)生對(duì)算理知識(shí)產(chǎn)生形象認(rèn)知。

2.表征活動(dòng)參與

在實(shí)踐性的教學(xué)活動(dòng)中，教師可依據(jù)本節(jié)課所講授的算理知識(shí)點(diǎn)，選取契合學(xué)生理解能力的表征形式，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算邏輯思維的感官認(rèn)知。如“分糖果”“分蘋果”“分物游戲”等。不同的表征形式令教學(xué)活動(dòng)的導(dǎo)向性更為具體，可支持學(xué)生對(duì)算理知識(shí)的個(gè)人理解，并演化為學(xué)生的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在畫(huà)出表征圖示后，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生反思其中的算理知識(shí)。如A學(xué)生畫(huà)出：“（ОООО）+（ОООО）+（ОООО）”，B學(xué)生畫(huà)出：“”，C學(xué)生畫(huà)出：“”，等。教師可以引導(dǎo)學(xué)生用個(gè)人語(yǔ)言進(jìn)行描述。如A學(xué)生表示：用小圓片代表香蕉，先給出4個(gè)，再給出4個(gè)，最后一位小伙伴剩下4個(gè)，這樣他們分得的香蕉是一樣多的。B學(xué)生和C學(xué)生分別表示：12個(gè)香蕉分成3等份，每個(gè)小伙伴都分到了相同數(shù)量的香蕉才會(huì)更公平。學(xué)生依據(jù)個(gè)人理解，對(duì)平均分配的計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行了語(yǔ)言表征描述，形成了更為多元的表征記憶，對(duì)運(yùn)算邏輯的理解具有幫助作用，故而算理理解也會(huì)更為深刻和形象。

二、創(chuàng)設(shè)貼近生活的教學(xué)情境，促進(jìn)算理理解

1.情境化教學(xué)描述

借助更為貼近學(xué)生日常生活情景的元素，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)，可幫助學(xué)生理解其中的運(yùn)算機(jī)理。教學(xué)過(guò)程中，需要將生活化思維引入課堂，構(gòu)建生活化的數(shù)學(xué)問(wèn)題解讀方式，引導(dǎo)學(xué)生從生活情景中感知計(jì)算問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從生活情景中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律。類似的教學(xué)方案在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常使用，如上述“猴子分香蕉”的生活化情境構(gòu)建，便是普遍采取的生活化教學(xué)方法。

2.復(fù)雜情境算理思維

通常情況下，小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題很難找到生活化情境的構(gòu)建方式，因此，可提供可視化程度更高的直觀教學(xué)素材，引導(dǎo)學(xué)生借助常用工具驗(yàn)證數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果，逐漸培養(yǎng)其算理理解能力。

如圖1所示，一個(gè)正方形由4個(gè)三角形組成。綠色三角形的面積為長(zhǎng)方形的15%，黃色三角形的面積為21cm2，求長(zhǎng)方形總面積。

類似問(wèn)題主要考察學(xué)生的思維轉(zhuǎn)化能力，雖為圖形題，但本質(zhì)上是對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的考察。常規(guī)的解題思路為：綠色與黃色三角形的底邊相等，均為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，其高度之和為長(zhǎng)方形的寬。因此，綠色與黃色三角形的總面積為長(zhǎng)方形面積的，由于綠色三角形的面積為長(zhǎng)方形面積的15%，故而黃色三角形的面積為長(zhǎng)方形面積的50%-15%=35%。依據(jù)黃色三角形面積21cm2的已知條件，可求得長(zhǎng)方形面積為：21÷35%=60cm2。

3.生活化教學(xué)工具引入

仍然以上題為例，如果學(xué)生不具備較強(qiáng)的圖形分析能力。就需要將該計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與學(xué)生日常生活情景更為貼近的形式，幫助學(xué)生理清其中的算理規(guī)律。而最為直接、簡(jiǎn)單的教學(xué)方式，便是將上述圖形直接以實(shí)物提供給學(xué)生。教師可以將圖1用A4紙制作成等比例大小的教學(xué)工具，在課堂之上分發(fā)給學(xué)生。學(xué)生運(yùn)用格尺測(cè)量了每一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，分別計(jì)算出不同顏色的三角形的面積。而后對(duì)三角形面積進(jìn)行疊加，驗(yàn)證了此前的運(yùn)算結(jié)果。將學(xué)生直接帶入生活化情境，通過(guò)手工操作構(gòu)建了生活化思維，驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的正確性，逐步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)算理理解的生活化感知，對(duì)促進(jìn)算理理解必然有益。

三、培養(yǎng)學(xué)生推理分析能力，促進(jìn)算理理解

數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題往往是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的規(guī)律性總結(jié)，但是相對(duì)抽象的計(jì)算形式，往往令學(xué)生感到模糊，并不容易產(chǎn)生對(duì)算理知識(shí)的正確認(rèn)知。那么在闡述復(fù)雜的計(jì)算題型時(shí)，往往需要培養(yǎng)學(xué)生的推理分析能力，方能真正促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理邏輯的理解與認(rèn)知。

1.分步講解運(yùn)算邏輯

以行程問(wèn)題為例，甲、乙兩輛汽車從A、B兩地出發(fā)，相向而行，甲的速度為50km/h，乙的速度為60km/h，三小時(shí)后兩車相遇，那么A、B兩地的實(shí)際距離為多少千米？

在課堂之上，如果學(xué)生并未第一時(shí)間得到運(yùn)算結(jié)果，亦或?qū)τ?jì)算方法和路徑并未快速厘清。教師可以將上述計(jì)算題轉(zhuǎn)化為生活情境問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出汽車行駛狀態(tài)下可能產(chǎn)生的合計(jì)路程。教師描述，同學(xué)們坐在甲汽車上3小時(shí)跑了多遠(yuǎn)？學(xué)生紛紛作答：跑出了150千米。此時(shí)教師可再次提問(wèn)，如果同學(xué)們?cè)谝移嚿?小時(shí)又能跑出多遠(yuǎn)呢？同學(xué)們?cè)俅巫鞔穑号艹隽?80千米。教師最后提出問(wèn)題：同學(xué)們思考一下，坐在甲汽車?yán)锱艹龅木嚯x，加上坐在乙汽車?yán)锏木嚯x，是不是正好是A、B兩地的距離呢？這樣一來(lái)，學(xué)生就明白了。

2.四則運(yùn)算規(guī)律引導(dǎo)

但是上述算理知識(shí)的理解維度，僅停留于分步算法的推理、分析、總結(jié)，并未延伸至混合運(yùn)算的等式結(jié)構(gòu)的推導(dǎo)過(guò)程。此時(shí)教師對(duì)相向行駛問(wèn)題再次提出假設(shè)：同學(xué)們想象一下，如果甲乙兩車相遇的地點(diǎn)為C，那么從A到C，從B到C，是否可以理解為（AC+BC）×3h的運(yùn)算方式？這樣的講解方式，相當(dāng)于對(duì)生活情景的再次總結(jié)，學(xué)生可間接推導(dǎo)出不同形式的等式結(jié)構(gòu)，在分步運(yùn)算的基礎(chǔ)上，也可以描述為：（50km/h×3h）+（60km/h×3h），或者3h（60km/h+50km/h）。學(xué)生在設(shè)身處地的思考了生活情景之下的計(jì)算問(wèn)題之后，總結(jié)出四則運(yùn)算法則的算理知識(shí)點(diǎn)，是從自身角度推理路程可能產(chǎn)生的不同運(yùn)算方式。對(duì)算理知識(shí)的理解更為深刻，有助于形成更為鞏固的算理理解并加深印象。

四、加強(qiáng)課堂練習(xí)，促進(jìn)算理理解

數(shù)學(xué)知識(shí)在算理維度中的深刻認(rèn)知，必須經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期訓(xùn)練，達(dá)到一種對(duì)計(jì)算規(guī)律的深層思維認(rèn)知。那么加強(qiáng)課堂練習(xí)，必然是促進(jìn)算理理解的重要教學(xué)方向。仍以“分香蕉”的教學(xué)案例進(jìn)行說(shuō)明，當(dāng)學(xué)生已經(jīng)畫(huà)出平均分配結(jié)果之后，并不代表此時(shí)學(xué)生已經(jīng)產(chǎn)生了隨機(jī)轉(zhuǎn)化運(yùn)算方法的能力。那么對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算知識(shí)的總結(jié)，并不能僅停留于此。教師需要再次追加問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考在原始數(shù)據(jù)變化之后的運(yùn)算方法，總結(jié)算理知識(shí)的深層內(nèi)涵。例如：猴子發(fā)現(xiàn)三位小伙伴也很喜歡吃香蕉，又拿出了18個(gè)香蕉，那么接下來(lái)應(yīng)當(dāng)如何平均分配。為學(xué)生提供反復(fù)運(yùn)算題型，可鞏固學(xué)生的算理認(rèn)知，并掌握其中的運(yùn)算規(guī)律。再如：三位小伙伴每人吃了一個(gè)香蕉，發(fā)現(xiàn)很好吃，又叫來(lái)一位小伙伴，那么剩下的香蕉怎樣分配更為合理。學(xué)生發(fā)現(xiàn)12-3=9，現(xiàn)在每個(gè)小伙伴都剩下3個(gè)香蕉，而分給四個(gè)小伙伴每人2個(gè)，仍然剩余1個(gè)香蕉。此時(shí)，教師便可提出“除法余數(shù)”概念，對(duì)算理知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行延伸性的講解，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題的深層次思考，總結(jié)出更為真實(shí)的運(yùn)算規(guī)律，剖析數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)特征，理解算理內(nèi)涵及在特定情況下的思維轉(zhuǎn)化方式。

綜上所述，算理理解是小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的重中之重。在實(shí)際教學(xué)中，教師可依據(jù)學(xué)生所處的年齡段，亦或本班的實(shí)際學(xué)情，設(shè)計(jì)契合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的課堂教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)細(xì)微調(diào)整教學(xué)方法或展現(xiàn)形式，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行深刻反思，鞏固學(xué)生對(duì)算理知識(shí)的理解，達(dá)到小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算類課程預(yù)期的教學(xué)效果，提高計(jì)算教學(xué)的質(zhì)量與水平。

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[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]