基于文化的小學數(shù)學教學思考

摘 ?要：實現(xiàn)基于文化的數(shù)學教學變革，能改善學生的數(shù)學學習境遇，提升數(shù)學課程的育人質量。本文闡述了數(shù)學文化的內涵，同時從追問數(shù)學問題的源頭、剖析數(shù)學家的品格、詮釋數(shù)學思想的內涵、豐富數(shù)學原理的變式等維度提出了一些參考策略。

關鍵詞：數(shù)學教育 ?數(shù)學文化 ?實施策略

一

遠在古希臘時代，著名的畢達哥拉斯學派的信條就是“萬物皆數(shù)”（這里的數(shù)指的是整數(shù)），他們是通過數(shù)來理解整個世界的。在古希臘，一個不懂的數(shù)學的人算不上一個有文化、上檔次的人，是被人輕視，難以進入大雅之堂的。柏拉圖在雅典學院的門口大書“不懂幾何學的人不得入內”，就充分體現(xiàn)了這一點。在當時，懂不懂數(shù)學是身份、品味和文明的象征。應該說，數(shù)學作為一種文化、作為一種文明的象征受到尊重，有著悠久歷史。

同時，數(shù)學在人類文明的進程中一直起著積極的推動作用，是人類文明的一個重要支柱。就從最簡單的數(shù)數(shù)開始，原始人大約只能區(qū)分1和多，碰到3就覺得多了，三人為“眾”大概就是這樣來的。后來有十進制，用1、2、3、4、5、6、7、8、9和0這十個數(shù)字，再加上“滿十進一”，就可以表示很多數(shù)了?，F(xiàn)在看來這些都很平常，然而，這是數(shù)學帶給人類文明的一個巨大貢獻。如果沒有了它，稍微大一點的數(shù)字就會使人暈頭轉向?，F(xiàn)在金融業(yè)或者科學實驗中的種種復雜或高精度的數(shù)學運算根本不可能進行，我們就不可能有如此高度的社會文明。

所以，數(shù)學文化深刻影響著我們的社會和生活。數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學教育離不開文化的熏染。數(shù)學教育應當充分揭示數(shù)學的文化意義——揭示作為知識體系的數(shù)學的文化意義、揭示作為科學的數(shù)學的精神意義、揭示作為文化系統(tǒng)的子系統(tǒng)的數(shù)學文化與其余文化之間的互動關系的意義。

二

數(shù)學文化有三種形態(tài)：學術形態(tài)、課程形態(tài)和教育形態(tài)。學術形態(tài)的數(shù)學文化來自數(shù)學家群體，是一種處于萌芽狀態(tài)的數(shù)學教育文化;課程形態(tài)的數(shù)學文化來自數(shù)學教育研究者群體，是一種教育價值實現(xiàn)視角的數(shù)學教育文化;教育形態(tài)的數(shù)學文化來自教師和學生群體，是一種強調數(shù)學教育文化動態(tài)傳播過程的數(shù)學教育文化。數(shù)學文化，歸根到底是數(shù)學的，在數(shù)學學習的過程中要引領兒童經歷數(shù)學史上那些關鍵的步子。在這個過程中積累經驗、體悟思想、接受熏陶。如何將數(shù)學文化融入數(shù)學教學，以下方法可供大家參考。

1.追問數(shù)學問題的源頭

數(shù)學知識的產生一方面源自人類生活的外在需要，另一方面則源自數(shù)學自身發(fā)展的內在需要。在教學中我們能夠引領兒童自覺地從這個角度去追問，那么學生對這些問題的認識就一定會更深刻。就以大家都熟悉的“一筆畫”問題為例：“一筆畫”問題就來自歐拉對一個生活中問題的抽象。在哥尼斯堡小城，有一條河，河中有兩座小島，島與兩岸間、島與島之間共有七座橋相連。一天，有人想出一種游戲，他提議不重復地走過這七座橋，看看誰能夠找到一條路線。這一問題引不少人的興趣，但是經過多次嘗試失敗后，有人寫信求教于當時的大數(shù)學家歐拉。歐拉思考后，首先把島和岸都抽象為點，把橋抽象為線，然后歐拉把哥尼斯堡“七橋問題”抽象成“一筆畫”問題：筆尖不離開紙面，一筆畫出給定的圖形，不允許重復任何一條線，這簡稱“一筆畫”。需要解決的問題就變成了一個高度抽象的、數(shù)學化的“一筆畫”問題。在研究“一筆畫”的時候，倘若加上這樣的背景陳述，或許數(shù)學文化的味道就油然而生了，就可以幫助學生理解數(shù)學抽象的意義，感受到數(shù)學抽象的強大威力。很多數(shù)學問題的產生本身就是由生活問題抽象而成的，這也許就是大家常說的數(shù)學化。所以在引入這些數(shù)學問題的時候，應盡可能從問題的源頭入手來切入，而不能僅僅滿足于就事論事的描述。因為數(shù)學的抽象大大高于其他的學科，在數(shù)學中不僅概念是抽象的，而且方法、手段、結論也是抽象的。

2.剖析數(shù)學家的品格

數(shù)學教育應關注學生的探究欲望、理性精神、堅韌品格，涵養(yǎng)學生的健全人格。數(shù)學故事，尤其是很多數(shù)學家的故事，能給學生很多的啟迪與教育。所以，我們在教學中要有意識地引領學生關注這些數(shù)學家的故事，看看數(shù)學家是如何讀書、如何學習、如何研究、如何思考的。數(shù)學家的故事蘊含著豐富的數(shù)學文化意蘊，就以大家都非常熟悉的高斯求和的故事為例，大數(shù)學家高斯在少年時老師給大家出了一道數(shù)學題：1+2+3+4+5+6+7+……+97+98+99+100=？當大家都在伏案計算的時候，小高斯迅速計算出結果是5050。為什么高斯能計算得如此迅速？因為依次加下去太煩瑣了。所以，高斯沒有急于計算，而是首先分析算式的特征，然后巧妙地將數(shù)字兩兩配對得到50個101，這樣100個數(shù)連加就轉化成兩個數(shù)相乘101×50=5050。這個故事很簡單，但高斯創(chuàng)造的熱情、靈巧的思維、良好的習慣，卻能夠給學生帶來很好的啟發(fā)。數(shù)學史上還有很多數(shù)學家，他們的趣聞軼事都常常能夠帶給學生啟迪與教育，教學中要充分發(fā)掘和使用這些素材，甚至可以嘗試開發(fā)一門課程就是《數(shù)學家的故事》。數(shù)學家本身就是數(shù)學文化的化身，什么是數(shù)學學科的核心素養(yǎng)？筆者以為就是能夠像數(shù)學家那樣去思考問題的能力和品格，這就是數(shù)學文化的精髓。

3.詮釋數(shù)學思想的內涵

南開大學顧沛教授說：一個人的學歷教育中，一般要上13年的數(shù)學課程，只有語文課能與之相比。但許多人并未因為學時長就掌握了數(shù)學的精髓。很多人參加工作后，可能一個定理也用不到，數(shù)學白學了？不是，因為數(shù)學素養(yǎng)才是讓人終身受益的精華，基本的數(shù)學思想無疑是核心素養(yǎng)中最核心的部分。以化歸的思想為例，它不僅僅是解決數(shù)學問題的基本路徑，也是解決其他問題的基本路徑。說起化歸的思想，就不得不提起那則“燒開水”的案例：給你一個煤氣灶、一個水龍頭、一盒火柴、一個空水壺，讓你燒一壺水，你應該怎么做？答案是顯然的：把空水壺放到水龍頭下，打開水龍頭，灌滿一壺水，再把水壺放到煤氣灶上，點燃煤氣灶，把水燒開?，F(xiàn)在再給你一個問題：給你一個煤氣灶、一個水龍頭、一盒火柴、一個已裝了半壺水的水壺，讓你燒一滿壺的水，你應該怎么辦？物理學家會回答：把裝了半壺水的水壺放到水龍頭下，打開水龍頭，灌成一滿壺水，再把水壺放到煤氣灶上，點燃煤氣灶，把水燒開。但數(shù)學家的回答卻是：把半壺水倒空，就化歸為剛才已經解決過的問題了。在數(shù)學問題中實施等價轉換的時候，我們應該遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉化變成我們比較熟悉的問題來處理;或者將較為煩瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題，以便準確把握問題的求解過程，按照這樣的原則進行轉化，省時省力。經常滲透等價轉化的思想，可以提高解決問題的能力和水平。上面燒開水的例子既加深了對轉化思想的內涵理解，同時也拓寬了轉化思想的外延和邊界。不僅解決數(shù)學問題是如此，其實解決生活中的其他問題道理也是一樣的。

4.豐富數(shù)學原理的變式

數(shù)學是模式的科學，數(shù)學的本質特征是數(shù)學的抽象的，是形式建構的性質。數(shù)學上證明一個事物的存在可以有兩種途徑：一是構造性證明，即用某種方式把該事物構造出來;另一種是純存在性證明，即用邏輯推理的方式證明該事物一定存在。人們很容易接受構造性證明，但不太容易接受純存在性證明，小學兒童尤其如此，但這恰恰是數(shù)學的神奇之處。以抽屜原理為例，把4個蘋果放到3個抽屜里，至少會有一個抽屜里有兩個或者兩個以上的蘋果。在這個基本問題中，其結果是可以構造出來的。學生可以通過操作、演示看到實實在在的存在，抽屜中的蘋果有兩個或者兩個以上。但真正理解這個問題就不能停留在構造性證明的階段。換一個命題：南京市的常住人口中里至少有40個人的頭發(fā)根數(shù)是一樣多的。假如掌握了抽屜原理的數(shù)學本質，就可以通過嚴密的邏輯推理得出結論。因為一個人的頭發(fā)根數(shù)不會超過20萬根，而最新數(shù)據(jù)顯示南京市的常住人口有810多萬，運用抽屜原理可得，因為810÷20=40……10，所以南京市至少有40個人的頭發(fā)根數(shù)一樣多。這就是純存在性證明，它證明了命題的正確性，但并未指出哪40個人的頭發(fā)一樣多。這比通過數(shù)頭發(fā)的根數(shù)去找出頭發(fā)根數(shù)相同的兩個人的構造性證明要深刻得多，因為頭發(fā)的根數(shù)很容易數(shù)錯，更不用說由于時間過長，在數(shù)的過程中還可能掉頭發(fā)等其他因素的干擾。通過這個例子，一方面可以讓學生知道純存在性證明是怎么回事，另一方面也讓學生感覺到數(shù)學邏輯推理的強大威力，感受數(shù)學自身的文化魅力。

三

以上梳理了幾條在數(shù)學教學中融入數(shù)學文化的策略，并以熟悉的案例做了簡要的闡述。最后，筆者還想就此話題做三點說明。

第一，關注數(shù)學文化在數(shù)學教學中的融入，關鍵是教師要樹立正確的數(shù)學價值觀和數(shù)學課程觀。從教學的角度來分析，教師的數(shù)學價值觀和數(shù)學課程觀會深刻影響教師的教學，影響著數(shù)學文化的浸潤。數(shù)學教師的價值觀可分三種形態(tài)：工具取向的價值觀、能力取向的價值觀、文化取向的價值觀，顯然持有文化取向價值觀的教師在教學中更能夠自覺關注數(shù)學文化的浸潤。教師自身所持的課程觀大體可分為整體主義課程觀和結構主義課程觀。整體主義課程觀是把課程置身于歷史長河之中動態(tài)生成來看的，考慮學生整體發(fā)展;結構主義課程觀則更多從靜態(tài)的結果來看，著重關注學生對知識的建構。顯然，持整體主義課程觀的教師更能夠關注數(shù)學文化的融入。

第二，只要教師的課程觀與教學觀真正發(fā)生了改變，對于數(shù)學文化的滲透就有可能體現(xiàn)在課程實施的每一處細節(jié)當中，并不拘泥于上文所列舉的幾條典型路徑。例如，對于“無限”的教學。無限是一個普通的數(shù)學名詞，小學數(shù)學教學中常常會講：自然數(shù)是無限的，同一平面內的兩條線段無限延長不相交稱為相互平行，無限不循環(huán)小數(shù)等。常常直接使用無限的這一用語，但并沒有特別的定義。教學中，如果我們能夠引入“無邊落木蕭蕭下，不盡長江滾滾來”“夕陽無限好，只是近黃昏”等詞句，用文學的意向來幫助學生實現(xiàn)對數(shù)學無限的理解，那么在自然語言與數(shù)學語言的交互作用中，就可能讓這段學習歷程產生一種特有的文化意蘊。

第三，數(shù)學文化的至高境界應該人們對于數(shù)學美的追求。數(shù)學美是事物可被人們的直覺所認識的感性形式的一種性質，這種性質表現(xiàn)出了人的意志、智慧、才能和創(chuàng)造的力量，表現(xiàn)出了對未來的渴望和理想，因而使人們感到喜悅。對此，古今中外的哲學家、數(shù)學家們都有論述。羅素就曾說過：數(shù)學，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也有至高的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美。數(shù)學的美既具有抽象性、邏輯性、有序性等基本特征，又具有簡單性、對稱性、統(tǒng)一性等個性標志。數(shù)學教學中美的滲透，可以舉出很多案例。譬如，教學“比”這一概念，講到黃金分割點，自然就會想到美。當然，這還只是外顯的形式美。更重要的是，數(shù)學內在的美，阿達瑪?shù)闹鳌稊?shù)學領域里的發(fā)明心理學》中有一個重要的觀點：發(fā)明就是選擇，選擇就是被科學的美感所控制的。數(shù)學發(fā)明經歷了準備、醞釀、頓悟、整理階段，最關鍵的頓悟階段與數(shù)學美直接相連。

數(shù)學教育作為一項具有建構生命意義的活動，理應使用學生享受學習生活的樂趣，關注個體素質的提高，關注人的社會發(fā)展、社會生存、人格發(fā)展以及社會責任等。數(shù)學不僅僅是一種重要的工具或方法，更是一種思維模式，即數(shù)學方式的理性思維;數(shù)學不僅是一門科學，更是一種文化，即數(shù)學文化;數(shù)學不僅是一些知識，更是一種素養(yǎng)，即數(shù)學素養(yǎng)。數(shù)學素養(yǎng)主要體現(xiàn)在以下四個方面：看問題的數(shù)學角度、有條理的理性思維、邏輯推理的能力和習慣、合理化地量化和簡化的素質。充滿文化意趣的數(shù)學教學活動，就是通過教師為學生提供富有挑戰(zhàn)性的問題，并科學而藝術地進行組織和調控，使學生經歷一個圓滿的數(shù)學學習過程，最終讓數(shù)學成為一種文化流淌并內化于學生的心靈深處。

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[3]李鐵安.如何理解“數(shù)學文化課”的內涵與價值[J].小學教學，2018（1）.

【作者簡介】 儲冬生，南京市游府西街小學副校長，江蘇省特級教師，中學高級教師，全國優(yōu)課評比一等獎獲得者，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”中青年科學技術帶頭人，《小學教學》《小學數(shù)學教師》《小學教師培訓》等刊物封面人物。積極倡導“問題驅動式數(shù)學教學”，潛心打造“生動且深刻”的活力課堂，2017年獲江蘇省基礎教育教學成果獎。

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