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    幾個代數(shù)不等式猜想的證明

    2019-07-08 10:45:08廣東廣雅中學(xué)510160
    關(guān)鍵詞:廣雅等價結(jié)論

    廣東廣雅中學(xué) (510160)

    楊志明

    文[1]提出4個不等式猜想,其中猜想3是:

    筆者在文[2]中證明了此猜想,最后提出了與之相關(guān)的4個猜想:

    文[3]試圖采用正切代換給出(1)和(4)的一種證明,可惜,作者犯了一個低級錯誤.由于(1)和(4)式均是關(guān)于a,b,c的輪換對稱不等式,所以只能指定a,b,c的最大值或最小值,而不能指定a,b,c的大小順序.因此,文[3]中的所有結(jié)論均未證明成功.

    事實上,文[3]除了試圖證明(1)和(4)式外,還給出了如下幾個結(jié)論:

    事實上,定理1-3均成立,而且可以統(tǒng)一推廣為:

    故原不等式等價于ap(x-1)+bp(y-1)+cp(z-1)≥0.

    不妨設(shè)a=max{a,b,c},則x≥1.

    當(dāng)a≥b≥c≥0時,ap≥bp≥cp≥0,y≥1,z≤1.

    由x+y+z≥3知,z≥3-(x+y).

    ap(x-1)+bp(y-1)+cp(z-1)≥ap(x-1)+bp(y-1)+cp[3-(x+y)-1]=ap(x-1)+bp(y-1)+cp[(1-x)+(1-y)]=(ap-cp)(x-1)+(bp-cp)(y-1)≥0.

    當(dāng)a≥c≥b≥0時,ap≥cp≥bp≥0,y≤1,z≤1.

    由x+y+z≥3知,z≥3-(x+y).

    ap(x-1)+bp(y-1)+cp(z-1)≥ap(x-1)+ap(y-1)+ap(z-1)=ap[(x-1)+(y-1)+(z-1)]=ap[(x+y+z)-3]≥0.

    綜上可知,ap(x-1)+bp(y-1)+cp(z-1)≥0.

    故不等式成立.

    當(dāng)p=1,k=1,m=1,n=1時,即得定理3.

    至此,文[3]中的定理1-3已經(jīng)全部證明了,剩下定理4沒有解決,這留給有興趣的讀者.

    事實上,我們還可以給出定理3的另一種推廣.

    證明:不妨設(shè)c=min {a,b,c},a=c+x,b=c+y(x,y≥0),則原不等式等價于f(c)=2(k+1)(x2-xy+y2)c2+[(x2-xy+y2)k2+[(x3+y3+2x2y-xy2)+4(x2-xy+y2)]k+(x3+y3+2xy2-x2y)+3(x2-xy+y2)]c+(x2y+x2-xy+y2)k2[(x3y+x3+y3+xy2+2(x2-xy+y2)]k+xy3+(x3+y3+xy2-x2y)+(x2-xy+y2)≥0.

    由均值不等式知,x2+y2≥2xy,即x2-xy+y2≥xy≥0,x3+xy2≥2x2y,故x3+xy2-x2y≥x2y≥0,從而x3+y3+2xy2-x2y≥0,因此,關(guān)于f(c)的每項系數(shù)均為非負,命題得證.

    特別地,當(dāng)k=0,由命題2即得定理3.

    需要特別說明的是,對本文中的命題1和2中的各個變量進行賦值,可以生產(chǎn)出成千上萬的三元不等式,有興趣的讀者不妨一試.

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