例談函數(shù)零點問題中的取點策略

浙江省紹興市紹興魯迅中學 (312000)

陳少春

近幾年高考導數(shù)壓軸題一個熱點是考查函數(shù)零點(圖像交點)個數(shù)問題，代數(shù)上判斷無法求解零點的零點個數(shù)最常用的就是零點存在定理加單調(diào)性去處理，即若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是一條連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)，f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有唯一的零點.這個定理在應用時的難點是兩個端點a，b的函數(shù)值符號的確定，很多學生談“點”色變.下面筆者結合具體例子談談函數(shù)零點問題中取點策略，希望對考生備考有些許幫助.

一、直接取點

直接取點可以分成兩類：常值取點和帶參取點.不帶參函數(shù)或者代常值能把參數(shù)消去很

多時候取具體值就可以解決問題，帶參函數(shù)且不容易消參的往往要帶參取點，這類問題的處理策略是利用這個點代入之后以參數(shù)為自變量的函數(shù)的單調(diào)性，代入這個點后把高次降成低次(三次降成二次，一次)轉換成熟悉的函數(shù)再處理等等.

例1 設函數(shù)f(x)=ex-ax+a(a∈R)其圖像與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)兩點，且x1

解：f′(x)=ex-a，f(x)在區(qū)間(-∞,lna)單調(diào)遞減，(lna,+∞)單調(diào)遞增.若f(x)與x軸有兩個交點，則f(lna)=a-alna+a<0，a>e2.取x=1，f(1)=e-a+a=e>0；取x=a，f(a)=ea+a-a2>0.由零點存在定理知，在區(qū)間(1,lna),(lna,a)各存在一個唯一的零點.所以a的取值范圍a>e2.

例2 (2019屆浙江新高考聯(lián)盟22)設a∈R，已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax2-(1+a)x+1，x∈(1,+∞).

(1)若f(x)>0恒成立，求a的取值范圍；

(2)證明：存在實數(shù)a使得f(x)有唯一零點.

(1)若a=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：f(x)只有一個零點．

綜上，f(x)只有一個零點．

二、指對數(shù)放縮后取點

(1)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)處導數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)>8-8ln2；

(2)若a≤3-4ln2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點.

另一方面，由f(x)=kx+a得k=

例5 (2018年全國3理21)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x．

(1)若a=0，證明：當-10時，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的極大值點，求a．

(2)如果不等式(1+kx)f(x)>1+x對f(x)定義域內(nèi)一切值都成立，求實數(shù)k的所有可能的值.

三、冪函數(shù)放縮后取點

筆者發(fā)現(xiàn)很多模擬題往往是指對數(shù)函數(shù)放縮成冪函數(shù)，從而導致很多學生形而上學，機械操作，其實有些問題把冪函數(shù)往指對數(shù)函數(shù)轉化能使問題得到更快更好的解決.

例7 (2017年全國卷1理21)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有兩個不同的零點，求a的取值范圍.