基于Radau偽譜法的復(fù)合電源電動汽車能量管理策略優(yōu)化*

劉延偉，朱云學(xué)，林子越，趙克剛，葉 杰

（1.廣東工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣州 510006； 2.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510641）

前言

傳統(tǒng)燃油汽車在給人類生活帶來方便、舒適的同時，給全球能源與環(huán)境帶來了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，而電動汽車可大大減少車輛對化石能源的消耗，還具有零排放、噪聲小等優(yōu)點，可緩解傳統(tǒng)燃油車面臨的能源與環(huán)境問題。電動汽車需要一個高能量密度與高功率密度的電能存儲系統(tǒng)來保證車輛的續(xù)駛里程和動力性能。電池具有高能量密度，但其功率密度較低，壽命相對較短；超級電容的功率密度很高，且其使用壽命很長，但其能量密度較低。電動汽車電池-電容復(fù)合電源系統(tǒng)（hybrid energy storage system，HESS）可充分利用兩者的優(yōu)點，提高車輛的能量利用率和動力性，延長車輛的續(xù)航里程。

復(fù)合電源的能量管理策略對電動汽車的經(jīng)濟(jì)性、動力性和電池壽命等有重要影響，且電池與超級電容的動力學(xué)特性及工作模式具有很大差別，故對兩者進(jìn)行有效的能量管理十分重要，國內(nèi)外學(xué)者對此進(jìn)行了較為廣泛的研究。如利用NSGA-II多目標(biāo)算法對復(fù)合電源電動汽車的參數(shù)匹配與能量管理策略進(jìn)行優(yōu)化［1-2］；有采用凸優(yōu)化對復(fù)合電源進(jìn)行參數(shù)匹配同優(yōu)化能量管理策略［3-4］；有些文獻(xiàn)中采用模型預(yù)測控制［5-6］、基于規(guī)則控制策略、動態(tài)規(guī)劃算法［7-9］、模糊邏輯控制［10］對復(fù)合電源能量管理策略進(jìn)行優(yōu)化；上述文獻(xiàn)中，較少在仿真過程中將電池充放電時的內(nèi)阻特性考慮在內(nèi)，導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果并不符合真實情況，且在電池壽命模型中沒有加入為避免電池大電流放電的懲罰因子，造成電池大電流放電而縮短使用壽命；而遺傳算法收斂速度慢，且容易陷入局部最優(yōu)；凸優(yōu)化在應(yīng)用時需對優(yōu)化問題進(jìn)行凸化處理，對于實際問題的應(yīng)用比較困難；動態(tài)規(guī)劃算法計算復(fù)雜程度高，且求解的精度嚴(yán)重依賴于網(wǎng)絡(luò)格點的密度；模型預(yù)測法與基于規(guī)則控制策略可在線應(yīng)用，但其準(zhǔn)確度都具有很大的敏感性；模糊邏輯控制的實時性較強(qiáng)，但無法保證全局最優(yōu)。

復(fù)合電源能量管理優(yōu)化具有強(qiáng)非線性、多模式等特點，相較于現(xiàn)階段的復(fù)合電源能量管理優(yōu)化方法，偽譜法作為一種全局優(yōu)化法具有收斂速度快、收斂半徑大、初值敏感性低、求解精度高等優(yōu)點，且其優(yōu)化結(jié)果一定是全局最優(yōu)［11-12］。如利用Legendre偽譜法對無動力中斷兩擋變速器的換擋過程進(jìn)行了軌跡優(yōu)化［13］；利用Legendre偽譜法對無級變速器車輛經(jīng)濟(jì)性續(xù)航策略進(jìn)行優(yōu)化，提升了汽車的節(jié)油能力［14］；利用Gauss偽譜法得到了4擋機(jī)械式自動變速器電動汽車的最優(yōu)換擋策略［15］；還有利用Radau偽譜法對串聯(lián)式履帶車輛的能量管理策略進(jìn)行優(yōu)化［16］。

本文中以半主動式電池端負(fù)載構(gòu)型的復(fù)合電源電動汽車為研究對象，考慮電池充放電時的內(nèi)阻特性，以加入懲罰因子的電池壽命模型為目標(biāo)函數(shù)，以整車性能、電池與電容的相關(guān)參數(shù)為約束，運用Radau偽譜法對復(fù)合電源電動汽車的能量管理策略進(jìn)行優(yōu)化。

1 復(fù)合電源模型

1.1 復(fù)合電源拓?fù)鋱D

復(fù)合電源系統(tǒng)有被動式、半主動式與全主動式3種構(gòu)型。被動式復(fù)合電源特點是電池與超級電容都直接并聯(lián)在直流電母線上，其結(jié)構(gòu)簡單，成本低廉，但工作中電流不可控；全主動式構(gòu)型的特點是采用兩個DC／DC變換器，結(jié)構(gòu)和控制過于復(fù)雜，配置成本高；半主動式結(jié)構(gòu)中電池組或超級電容組通過DC／DC變換器與母線連接，電流可以由DC／DC變換器控制，復(fù)合電源靈活性得到保證。以超級電容端連接負(fù)載時，直流高壓母線直接與超級電容相連，電壓范圍波動大，難以控制；以電池組端連接負(fù)載時，系統(tǒng)更易于控制并且總線電壓更加穩(wěn)定，同時降低了系統(tǒng)成本。故本文中采用半主動式復(fù)合電源-電池端負(fù)載構(gòu)型進(jìn)行研究，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 半主動式復(fù)合電源-電池端負(fù)載構(gòu)型

1.2 電池模型

電池單體模型采用如圖2所示的內(nèi)阻模型。

圖2 動力電池單體的等效模型

圖中：ub為電池開路電壓；ub0為電池路端電壓；ib為電池電流（放電為正，充電為負(fù)）；Rb為電池的等效串聯(lián)內(nèi)阻。電池荷電狀態(tài)（battery state of charge，BSOC）采用安時積分法進(jìn)行計算。

式中：BSOC（t0）為電池初始荷電狀態(tài)的值；Qb為電池容量。開路電壓ub與荷電狀態(tài)BSOC呈非線性的關(guān)系［3］，如圖3所示，其內(nèi)阻Rb的值與其充、放電狀態(tài)有關(guān)［17］，如圖4所示。

圖3 電池開路電壓與BSOC的關(guān)系

圖4 電池充、放電電阻與BSOC的關(guān)系

1.3 超級電容模型

超級電容的單體模型如圖5所示。

圖5 超級電容單體的等效電路模型

圖中：uc為超級電容的開路電壓；uc0為超級電容的路端電壓；ic為超級電容電流（放電為正，充電為負(fù)）；Rc為超級電容的等效串聯(lián)內(nèi)阻。超級電容荷電狀態(tài)（ultracapacitor state of charge，USOC）采用如下方法進(jìn)行計算。

式中：USOC（t0）為超級電容初始荷電狀態(tài)的值；Cc為超級電容的容量；ucmax為超級電容最大電壓。

1.4 DC／DC模型

由于電池組和超級電容充放電特性不同，兩者直接并聯(lián)會出現(xiàn)電壓不匹配（電壓鉗制）等問題，使得復(fù)合電源系統(tǒng)的優(yōu)勢下降。本文中選用雙向DC／DC變換器，其作用是控制傳遞功率、調(diào)控電壓大小。而能量在經(jīng)過DC／DC變換器的傳遞過程中會出現(xiàn)損失，因此在復(fù)合電源系統(tǒng)中必須考慮其效率的影響。

1.5 母線功率平衡模型

整車的需求功率為

需求功率與直流母線的功率平衡為

直流母線與能量源之間的功率平衡為

式中：Pd為整車需求功率；PHESS為復(fù)合電源功率；Pb，out為電池功率（放電為正，充電為負(fù)）；Pc，out為超級電容功率（放電為正，充電為負(fù)）；v為車速；m為電動汽車質(zhì)量；g為重力加速度；f為滾動阻力系數(shù)；α為道路坡度，本文中取α=0；CD為空氣阻力系數(shù)；A為迎風(fēng)面積；δ為汽車旋轉(zhuǎn)質(zhì)量換算系數(shù)；ηt為傳動系統(tǒng)效率；ηDC為DC／DC變換器的效率；ηe為電機(jī)效率；ηreg為制動能量回收效率。

2 初步參數(shù)匹配

在確定復(fù)合電源系統(tǒng)構(gòu)型后，需對系統(tǒng)中電池組與超級電容進(jìn)行初步匹配，使得復(fù)合電源能夠滿足車輛的能量需求與功率需求。

2.1 電池參數(shù)

復(fù)合電源系統(tǒng)中采用的電機(jī)參數(shù)如表1所示［17］。

表1 車載永磁同步電機(jī)參數(shù)

電池單體串聯(lián)數(shù)目為

式中：nbs為電池組單體串聯(lián)數(shù)目；ub_cell為電池單體電壓；ue_nom為電機(jī)額定電壓。對電池單體串聯(lián)數(shù)取整為nbs=90。由電動車最大續(xù)航里程150 km（速度為60 km／h），可得

式中：MR為最大續(xù)航里程；nbp為電池組單體并聯(lián)數(shù)；v0為最大續(xù)航里程下的速。對電池單體并聯(lián)數(shù)取整為nbp=13，故采用13組串聯(lián)數(shù)為90電池模塊進(jìn)行并聯(lián)，在仿真過程中電池組初始BSOC設(shè)定為0.7。

2.2 超級電容參數(shù)

由于DC／DC變換器的效率與兩端電壓比值相關(guān)，當(dāng)其比值接近1時效率較高，故選取超級電容組端電壓小于并接近于電池組的電壓，即

式中：uc_cell為超級電容單體開路電壓；ncs為超級電容組單體串聯(lián)數(shù)目，取為100。車輛等速行駛時平均功率為

式中：v為行駛速度，取為60 km／h。超級電容應(yīng)滿足電池組平均功率之外的需求功率，且應(yīng)滿足tp=10 s峰值助力需求，則其并聯(lián)數(shù)按式（10）計算。

式中：ΔEc為超級電容能量需求；Pe_max為電機(jī)峰值功率；ncp為超級電容并聯(lián)數(shù)；uc_max為超級電容單體電壓上限；Cc_cell為超級電容單體容量。根據(jù)式（10）求出ncp≈1，故超級電容組由100個超級電容單體直接串聯(lián)而成，在仿真過程中超級電容初始USOC設(shè)定為0.7。

3 偽譜法優(yōu)化步驟

本文中選取BSOC和USOC為優(yōu)化過程中的狀態(tài)變量，Pb，out為優(yōu)化過程中的控制變量。電池的功率按式（11）計算。

聯(lián)立式（1）和式（11），電池荷電狀態(tài)BSOC對時間的1階微分可表示為

由于超級電容的開路電壓uc與其荷電狀態(tài)USOC呈線性關(guān)系，則超級電容的能量Ec按式（14）計算。

聯(lián)立式（2）、式（5）、式（13）和式（14）可得，超級電容荷電狀態(tài)USOC對時間的1階微分如式（15）所示，式中sign為符號函數(shù)。

Radau偽譜法將狀態(tài)變量和控制變量分別離散后，利用Lagrange插值多項式逼近狀態(tài)和控制變量，將狀態(tài)方程的微分運算和性能函數(shù)中的積分運算均轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，最終將最優(yōu)控制問題（OCP）轉(zhuǎn)化為以節(jié)點處的狀態(tài)變量、配點處的控制變量為待優(yōu)化參量的非線性規(guī)劃問題（NLP），具體步驟如下。

將復(fù)合電源電動汽車在NEDC工況下行駛分為Q個階段，其初始時間點及Q-1個分段點分別記為T0，T1，…，TQ，且T0＜T1＜…＜TQ。

（1）時域的變換，將整個時域中的每個時間段［Tq-1，Tq］（其中q∈[ 1，Q] ∩Z＋）轉(zhuǎn)換到區(qū)間［-1，1］，使其滿足Legendre正交多項式的定義區(qū)間。

（2）配點與離散化，Radau偽譜法的配點為LGR點，即取值區(qū)間為τ∈（-1，1］或τ∈［-1，1），本文中選取τ∈（-1，1］作為配點區(qū)間，其為多項式PN（τ）-PN-1（τ）的根，PN（τ）為N階Legendre正交多項式，即

Radau偽譜法的節(jié)點為N個LGR配點加初始時間點τ0=-1，故其節(jié)點數(shù)為N＋1。對于含Q個階段的偽譜拼接法，每個階段內(nèi)的節(jié)點數(shù)可以不同，記為Nq＋1，并將第q個階段內(nèi)的節(jié)點記為 τq，i，其中i=0，1，…，Nq。將電池荷電狀態(tài)（BSOC）與超級電容的荷電狀態(tài)（USOC）作為仿真過程中的狀態(tài)變量，在節(jié)點處將其離散化，每個階段內(nèi)的狀態(tài)變量可表示為

則每個階段下狀態(tài)變量的時間歷程曲線可通過Nq＋1個Lagrange插值多項式來逼近。

式中Li（τ）為Nq次Lagrange插值基函數(shù)。

將電池功率Pb，out作為優(yōu)化過程中的控制變量，只在配點處將其離散化，每個階段內(nèi)控制變量可表示為

則每個階段下控制變量的時間歷程曲線可通過Nq個Lagrange插值多項式來逼近。

（3）狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)約束，經(jīng)過配點與離散化后，狀態(tài)變量由全局插值多項式逼近，因此其微分可通過對式（19）插值多項式求導(dǎo)來表示，即

式中：τq，k為第q階段的配點，其中為Nq·（Nq＋1）的微分矩陣，表示第q階段的Lagrange插值基函數(shù)在各配點處的微分值，可由式（25）得出。

式中：g（τq，i）=（1＋τq，i）［PNq（τq，i）-PNq-1（τq，i）］。結(jié)合式（12）、式（15）、式（24）和式（25）則復(fù)合電源汽車能量管理最優(yōu)控制問題在第q階段的動力學(xué)方程約束轉(zhuǎn)化成在配點τq，k處的代數(shù)約束：

（4）性能函數(shù)的轉(zhuǎn)化，在復(fù)合電源汽車的能量管理最優(yōu)控制問題中，性能指標(biāo)由電池的安時流通組成，其中為避免電池大電流放電，在目標(biāo)函數(shù)中加入懲罰因子［18］，如式（28）所示。

式中σ為懲罰因子，其主要決定因素取決于充放電倍率kb、溫度和放電深度。

式中：ib為充放電電流；Qb為電池額定容量。性能函數(shù)中僅含有積分項（Lagrange型性能指標(biāo)），可通過Gauss-Radau積分方法近似為

式中 ωq，k為積分權(quán)重。

（5）OCP問題轉(zhuǎn)化為NLP問題，通過以上步驟，原復(fù)合電源能量管理最優(yōu)控制問題可轉(zhuǎn)化為待優(yōu)化變量的NLP問題，即

狀態(tài)方程如式（26）和式（27）所示，其中的約束條件為

該NLP問題的待優(yōu)化變量為LGR點處的電池組荷電狀態(tài)BSOC、超級電容組荷電狀態(tài)USOC和電池輸出功率Pb，out，可通過成熟的高維稀疏NLP求解器SNOPT進(jìn)行求解，其核心是基于線搜索且具有局部超線性收斂性的序列二次規(guī)劃法。

4 參數(shù)設(shè)置及結(jié)果分析

4.1 優(yōu)化參數(shù)設(shè)置

優(yōu)化過程中的參數(shù)如表2所示，電池型號為Panasonic NCR 18650B，超級電容型號為Maxwell BCAP3000，仿真參數(shù)參照文獻(xiàn)［3］和文獻(xiàn)［17］。

表2 仿真參數(shù)

本文中選用NEDC循環(huán)工況進(jìn)行仿真優(yōu)化，工況與整車需求功率如圖6和圖7所示。根據(jù)汽車需求功率的不同，將汽車的行駛工況分為功率上升階段（加速工況）、功率維持階段（勻速工況）、功率為負(fù)階段（減速工況）和功率為零4種情況。在復(fù)合電源電動汽車中，加速工況由電池與電容共同提供能量；勻速工況由電池提供能量；減速工況僅由電容回收制動產(chǎn)生的能量，當(dāng)其荷電狀態(tài)達(dá)到上限后不再回收能量；功率為零工況兩者均不工作。由于整個NEDC工況階段較為復(fù)雜，劃分的階段數(shù)較多（共69個階段），本文中僅以城郊工況為例，根據(jù)偽譜法劃分階段的原則，將城郊工況共分為12個階段，如表3所示。

圖6 NEDC循環(huán)工況

圖7 NEDC工況整車需求功率

表3 NEDC城郊工況階段劃分情況

4.2 優(yōu)化結(jié)果及分析

單一電池組BSOC計算結(jié)果如圖8所示，電流計算結(jié)果如圖9所示，功率計算結(jié)果如圖10所示。經(jīng)過Radau偽譜法優(yōu)化計算，復(fù)合電源SOC優(yōu)化結(jié)果如圖11所示，電流優(yōu)化結(jié)果如圖12所示，功率優(yōu)化結(jié)果如圖13所示，超級電容功率、電池組與需求功率的關(guān)系如圖14和圖15所示。以下在對單一電池組計算結(jié)果和復(fù)合電源優(yōu)化結(jié)果說明的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步進(jìn)行對比分析。

圖8 NEDC工況單一電池BSOC計算結(jié)果

圖9 NEDC工況單一電池電流計算結(jié)果

圖10 NEDC工況單一電池功率計算結(jié)果

圖11 NEDC工況復(fù)合電源SOC優(yōu)化結(jié)果

圖12 NEDC工況復(fù)合電源電流優(yōu)化結(jié)果

圖13 NEDC工況復(fù)合電源功率優(yōu)化結(jié)果

圖8為單一電池組供電BSOC的變化曲線，電池必須應(yīng)對所有的充、放電階段，BSOC既有下降階段也有上升階段，其終值為0.592 3。圖11為復(fù)合電源供電狀態(tài)變量SOC的變化曲線，電池僅應(yīng)對放電階段，BSOC只下降，最終穩(wěn)定在0.594 5，在0-1 095 s內(nèi)，USOC在0.67上下波動，而在1 095-1 125 s時，USOC下降到其最低值0.4，最終穩(wěn)定在0.614 5。對比圖8和圖11可知，單一電池組供電BSOC的波動幅度明顯，且其終值小于復(fù)合電源中BSOC的終值，由于超級電容加入復(fù)合電源中BSOC的下降幅度較緩，且充電階段的電量全由超級電容吸收，在最后的加速階段，超級電容耗光所有電量，表明充分利用了超級電容的容量。

圖14 超級電容功率與需求功率的關(guān)系

圖15 電池功率與需求功率的關(guān)系

圖9為單一電池組供電電流變化曲線，其電流范圍為-34.76～147.7 A，電池組電流波動范圍較大，對電池組造成不可逆的損傷；圖12為復(fù)合電源供電電流變化曲線，其電流范圍為0～126.7A，電池組電流波動范圍減小。對比圖9和圖12可知，超級電容的加入防止了電池組過充、過放，緩解了電池組的工作壓力，延長了電池組的使用壽命。

圖10為單一電池組供電功率變化曲線，由于系統(tǒng)效率的原因，電池組功率在加速階段、勻速階段略大于需求功率，而在減速階段吸收部分需求功率；圖13為復(fù)合電源供電電池功率變化曲線，在加速階段超級電容應(yīng)對部分功率，減小電池組的功率輸出，勻速階段僅由電池組提供電能，在減速階段需求功率都由超級電容回收。對比圖10和圖13可知，經(jīng)過偽譜法優(yōu)化后的復(fù)合電源能量管理策略能夠在滿足整車需求功率的同時減小電池組的功率輸出，即超級電容起到了削峰填谷的作用。

圖14和圖15更為直觀地顯示了復(fù)合電源中超級電容功率與需求功率、電池組功率與需求功率的關(guān)系?？梢钥闯?，在減速階段需求功率為負(fù)時，功率都由超級電容吸收，且電池為超級電容提供不超過5 kW的功率；在勻速階段需求功率僅由電池組提供，其中勻速功率包括0.8，2，4，7.3，14和22 kW；需求功率為0-20 kW時的加速階段分為兩種，一種為較長時間的大需求功率階段電池組功率與需求功率近似線性關(guān)系，超級電容補(bǔ)充剩余功率，另一種為較短時間的小需求功率階段電池組提供不超過8 kW的功率，其余由超級電容補(bǔ)充，以上優(yōu)化結(jié)果表明了超級電容快速充放電的特性；在需求功率超過20 kW時，超級電容與需求功率呈線性關(guān)系，此時電池組補(bǔ)充剩余功率；由于偽譜法將工況分為多階段，在由加速階段變?yōu)槠渌A段時，電池組功率發(fā)生突變導(dǎo)致超級電容進(jìn)行功率補(bǔ)充；在超級電容耗完電量后，需求功率由電池組單獨承擔(dān)。

本文中通過電池等效壽命來比較復(fù)合電源系統(tǒng)與單一電源的優(yōu)劣，其中電池等效壽命計算公式［18］為

式中：Γ為電池的總安時流通量，其值只與電池自身因素相關(guān)，且是一個常數(shù)，當(dāng)Γ=Aheff時，電池達(dá)到壽命極限；L為等效電池壽命，本文中表示電池組在NEDC工況下可循環(huán)行駛的次數(shù)。最終得復(fù)合電源系統(tǒng)中電池組可循環(huán)行駛的次數(shù)為82 150，而單一能量源中電池組可循環(huán)行駛的次數(shù)為65 399，在加入超級電容的復(fù)合電源系統(tǒng)中，提高了電池組可循環(huán)行駛的次數(shù)。

5 結(jié)論

本文中以加入懲罰因子的電池壽命模型為目標(biāo)函數(shù)，考慮了電池充放電時的內(nèi)阻特性，利用Radau偽譜法對復(fù)合電源電動汽車的能量管理策略進(jìn)行優(yōu)化。

對比單一電池組供電，Radau偽譜法優(yōu)化后的HESS減小了電池組的安時流通，縮小了電流、功率波動范圍，且HESS中電池組功率與超級功率均與HESS功率出現(xiàn)了分段的線性關(guān)系，最優(yōu)能量管理策略能充分利用兩能量源的各自優(yōu)勢。

復(fù)合電源系統(tǒng)中電池組的等效壽命為82 150次，較單一電池組能量源中電池組的等效壽命提高了25.61%?；赗adau偽譜法的能量管理策略優(yōu)化能進(jìn)一步優(yōu)化復(fù)合電源系統(tǒng)的工作狀態(tài)，延長電池的使用壽命。本文中提出的理論為復(fù)合電源的能量管理策略提供了一種快速、穩(wěn)定的優(yōu)化方法，為匹配最優(yōu)系統(tǒng)參數(shù)奠定了工作基礎(chǔ)，還可作為其他優(yōu)化策略的評估基準(zhǔn)。