空間分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程調(diào)制不穩(wěn)定性的數(shù)值研究

李文斌,王冬嶺

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

1 引言

調(diào)制不穩(wěn)定現(xiàn)象是非線性介質(zhì)中普遍存在的現(xiàn)象,該現(xiàn)象的應(yīng)用十分廣泛,如聲波的傳遞,水波的擴(kuò)散,以及光學(xué)等很多領(lǐng)域[1].研究這種現(xiàn)象常用的模型為非線性薛定諤方程,該方程是弱非線性色散波演化的通用模型.在該非線性方程中,當(dāng)滿足Benjamin-Feir-Lighthill準(zhǔn)則,即當(dāng)非線性項(xiàng)和色散對(duì)該波的頻率貢獻(xiàn)相反,就會(huì)出現(xiàn)調(diào)制不穩(wěn)定性.本文使用文獻(xiàn)[2]中線性穩(wěn)定性分析的方法來研究這種調(diào)制不穩(wěn)定性是如何產(chǎn)生的.

文獻(xiàn)[3]研究了整數(shù)階薛定諤方程的這種不穩(wěn)定現(xiàn)象,并且證實(shí)這種現(xiàn)象對(duì)于不同形式的薛定諤方程以及不同初值條件下都表現(xiàn)為相似的結(jié)構(gòu),即不穩(wěn)定區(qū)域都是由兩部分構(gòu)成:中間是一個(gè)波動(dòng)的楔形區(qū)域,兩邊分別是一個(gè)扇形的平面區(qū)域.

文獻(xiàn)[4]研究了分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的調(diào)制不穩(wěn)定性,證明了分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的指數(shù)α對(duì)帶寬,增益譜,以及最大頻率的影響.通常根據(jù)Benjamin-Feir-Lighthill準(zhǔn)則驗(yàn)證調(diào)制不穩(wěn)定性存在的條件.本文主要通過數(shù)值研究的方法把文獻(xiàn)[3]中關(guān)于經(jīng)典整數(shù)階薛定諤方程調(diào)制不穩(wěn)定性的主要結(jié)果和發(fā)現(xiàn)推廣到空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程,并且分析和比較空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階α對(duì)于不穩(wěn)定區(qū)域的各種影響.發(fā)現(xiàn),當(dāng)α=2時(shí),得到和文獻(xiàn)[3]中完全一致的結(jié)果,當(dāng)該參數(shù)改變的時(shí)候,將顯著影響不穩(wěn)定區(qū)域的大小和形狀.

首先驗(yàn)證如下整數(shù)階薛定諤方程調(diào)制不穩(wěn)定性的存在條件.

使用文獻(xiàn)[2]中線性穩(wěn)定性分析的方法來研究這種調(diào)制不穩(wěn)定性產(chǎn)生的機(jī)制.首先,假設(shè)方程(1)存在穩(wěn)態(tài)擾動(dòng)解

其中P為初始頻率,φ(x,t)為擾動(dòng)項(xiàng).將解(2)帶入方程(1)可得

其中φ?為φ的復(fù)共軛.方程(3)有形式解

其中k為擾動(dòng)波的個(gè)數(shù),ω為擾動(dòng)頻率.將解 (4)帶入方程 (3)并分離 ei(kx?ωt)和 e?i(kx?ωt)的系數(shù)可得方程組

結(jié)合兩個(gè)等式可計(jì)算出ω關(guān)于k,P的關(guān)系式

由Benjamin-Feir-Lighthill準(zhǔn)則[1]可知,當(dāng)ω為實(shí)數(shù)時(shí),該方程的穩(wěn)態(tài)解u(x,t)是穩(wěn)定的.當(dāng)參數(shù)ω為復(fù)數(shù)時(shí),該方程的狀態(tài)解u(x,t)呈指數(shù)增長,即出現(xiàn)調(diào)制不穩(wěn)定性,顯然存在P>0使得ω為復(fù)數(shù),此時(shí)該解為不穩(wěn)定的.

本文主要研究空間分?jǐn)?shù)階非線性薛定諤方程在不同初值條件下的調(diào)制不穩(wěn)定性.運(yùn)用Strang分裂方法和傅里葉譜方法求出該方程的數(shù)值解,并與整數(shù)階的方程進(jìn)行比較,可以得出空間分?jǐn)?shù)階非線性薛定諤方程同樣具有這種不穩(wěn)定性.并給出了α取不同值時(shí)的數(shù)值結(jié)果.從而證實(shí)了空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的調(diào)制不穩(wěn)定性的存在性以及這種不穩(wěn)定性的普遍行為.

近年來分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子應(yīng)用十分廣泛,因此將薛定諤方程中的拉普拉斯算子替換為分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子,分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子可以表示異常的擴(kuò)散現(xiàn)象.因此本文中研究空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程是否仍具有和整數(shù)階薛定諤方程類似的調(diào)制不穩(wěn)定性.

分?jǐn)?shù)階拉普拉斯的定義[5-6]有多種,在文獻(xiàn)[5]中,最常見的是如下的譜方法定義:

其中F,F?1為連續(xù)的傅里葉變換和傅里葉逆變換,當(dāng)α=2時(shí),即為經(jīng)典的拉普拉斯算子.當(dāng)1<α<2時(shí),可知該分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子為非局部算子.

薛定諤方程是量子力學(xué)中的一個(gè)基本方程,它描述了粒子在空間中某一位置的概率.文獻(xiàn)[7]從高斯分布,導(dǎo)出了整數(shù)階薛定諤方程.文獻(xiàn)[8]證明了存在另外的非高斯分布,即 Lévy-α穩(wěn)定的概率分布.而布朗運(yùn)動(dòng)是Lévy-α穩(wěn)定的隨機(jī)過程,Laskin導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)階薛定諤方程.描述這類過程的主要數(shù)學(xué)模型為分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子,用分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子代替整數(shù)階拉普拉斯算子可以描述異常的擴(kuò)散現(xiàn)象.由于分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的非局部性,研究空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程是否仍然具有調(diào)制不穩(wěn)定性,以及不穩(wěn)定性存在的條件.

空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程有很多的應(yīng)用,可參考文獻(xiàn)[9-11].本文主要研究空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程

當(dāng)α=2時(shí),該方程即為常見的整數(shù)階薛定諤方程.

2 空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程

本文主要研究空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程

主要研究以下三個(gè)初值

(8a),(8b),(8c)分別為三個(gè)不同的初值.由圖1可以看出(8a)為高斯型初值,(8b)為正割型初值,(8c)為盒狀初值,這三個(gè)初值都是在(?1,1)上波動(dòng),在兩邊均為常數(shù).這樣就可以隨時(shí)將中間的波動(dòng)區(qū)域與兩邊的常數(shù)區(qū)域作比較.

圖1 初值(8a),(8b),(8c)

求解該方程的數(shù)值解法本文使用Strang分裂方法[12],該方法可將非線性偏微分方程分解為一個(gè)線性方程和一個(gè)非線性方程,從而方便計(jì)算偏微分方程中出現(xiàn)的非線性問題,然后將線性問題的解與非線性問題的解結(jié)合起來即可得到該方程的解.

3 空間分?jǐn)?shù)階 Schr?dinger方程調(diào)制不穩(wěn)定分析

由文獻(xiàn)[4]的方法可知,假設(shè)方程(7)存在穩(wěn)態(tài)擾動(dòng)解

其中P為初始頻率,φ(x,t)為擾動(dòng)項(xiàng).將解(9)帶入方程(10)可得

其中φ?為φ的復(fù)共軛.方程(10)有形式解

其中k為擾動(dòng)波的個(gè)數(shù),ω為擾動(dòng)頻率.將解(11)帶入方程(10)可得

由于

因此可將等式(12)兩端作傅里葉變換后作傅里葉逆變換,并分離ei(kx?ωt)和e?i(kx?ωt)的系數(shù)可得方程組

結(jié)合兩個(gè)等式可計(jì)算出ω關(guān)于k,P的關(guān)系式

由 Benjamin-Feir-Lighthill準(zhǔn)則可知,當(dāng)ω為實(shí)數(shù)時(shí),該方程的狀態(tài)解u(x,t)是穩(wěn)定的.當(dāng)ω為復(fù)數(shù)時(shí),該方程的狀態(tài)解u(x,t)是不穩(wěn)定的,即出現(xiàn)調(diào)制不穩(wěn)定性,顯然存在P>0使得ω為復(fù)數(shù),此時(shí)解為不穩(wěn)定的,且頻率隨α的變化而變化,即該不穩(wěn)定性受α影響.

4 數(shù)值解法

應(yīng)用分裂方法[13-14],可將薛定諤方程分解為

其中(16)為線性分?jǐn)?shù)階方程,(17)為非線性方程.由Strang分裂方法[12]得出該方程的解

SA表示線性方程(16)的真解,SB表示非線性方程(17)的真解.

4.1 線性項(xiàng)處理

首先線性項(xiàng)(16),使用傅里葉級(jí)數(shù)展開形式

a,b為一個(gè)周期的兩個(gè)端點(diǎn),T表示周期,即T=[a,b],且u(a)=u(b).由文獻(xiàn)[5-6]可知可表示為

線性項(xiàng)(16)可化為

由指數(shù)函數(shù)的正交性可將上述方程化為

解常微分方程(21)可得

其中τ為時(shí)間步長,且um+1,um為第m+1和m層時(shí)間的數(shù)值解.截取令

將(22)式寫成向量的形式為

那么可以求出該線性方程的解

4.2 非線性項(xiàng)處理

首先證明|u|2是常數(shù).在方程(17)兩端同時(shí)乘以,可得

然后取方程(17)的共軛后乘以u(píng)可得

將上述兩式相加即可證得|u|2是一個(gè)常數(shù),則非線性方程(17)可看作常系數(shù)常微分方程,解該常微分方程可得

將上述線性方程的解與非線性方程的解分別帶入Strang分裂方法中,可以得到求解該方程的Strang分裂方法

5 空間分?jǐn)?shù)階 Schr?dinger方程的數(shù)值結(jié)果

根據(jù)上面的數(shù)值方法,取周期T=200,x=[?50,50],t=[0,10],N=1000.得出了初值(8a),(8b),(8c)分別取α=2,1.6,1.2時(shí)的數(shù)值結(jié)果.

圖2|U|在初值(8a),α=2,1.6,1.2的俯視圖

圖3 初值(8a),α=2,1.6,1.2,在t=10的切面圖

圖4|U|在初值(8b),α=2,1.6,1.2的俯視圖

圖5 初值(8b),α=2,1.6,1.2,在t=10的切面圖

圖6|U|在初值(8c),α=2,1.6,1.2的俯視圖

圖7 初值(8c),α=2,1.6,1.2,在t=10的切面圖

圖2,圖 4,圖 6是空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程在初值 (8a),(8b),(8c)時(shí),α分別取2,1.6,1.2時(shí)的密度圖像俯視圖,當(dāng)α=2時(shí),為整數(shù)階薛定諤方程.通過與整數(shù)階薛定諤方程的比較,可以看出該方程在初值(8a),(8b),(8c)在不同α的取值下,圖像仍是由中間的楔形區(qū)域和兩邊的扇形區(qū)域組成,可以看出楔形區(qū)域仍是振蕩的,扇形區(qū)域仍是|U|=1的平面.三個(gè)圖形整體變化趨勢仍保持相似,但是隨著α的值的變小,楔形區(qū)域的振蕩寬度變小,峰值反而變大.圖3,圖5,圖7表示該方程在初值(8a),(8b),(8c)時(shí),α分別取2,1.6,1.2且t=10時(shí)刻的切面圖像.從圖中可以看出在t=10時(shí)刻,在不同α的取值下,該方程在初值(8a),(8b),(8c)的振蕩區(qū)域和峰值,以及漸進(jìn)結(jié)果.

由以上空間分?jǐn)?shù)階的數(shù)值結(jié)果可以看出,當(dāng)從整數(shù)階薛定諤方程變化為空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程時(shí),圖像仍然由兩部分構(gòu)成,中心仍未振蕩的楔形區(qū)域,兩邊為兩個(gè)扇形平面,但隨著α變小中間楔形區(qū)域振蕩范圍變小.可以看出對(duì)于空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程來說,該不穩(wěn)定性仍然不受初值的影響,即可說明這種調(diào)制不穩(wěn)定性對(duì)于不同的背景下仍然保持相似的不穩(wěn)定性結(jié)構(gòu).

6 結(jié)論

結(jié)合整數(shù)階薛定諤方程的調(diào)制不穩(wěn)定性[3]可知,從整數(shù)階薛定諤方程在以上三個(gè)不同初值的數(shù)值結(jié)果可以看出相關(guān)散射問題的頻譜都是連續(xù)的.并且其漸進(jìn)行為,峰值,以及峰值的位置都是非常相似的.同樣,空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程對(duì)于不同的初值,不同的α取值,數(shù)值結(jié)果的整體變化過程基本上保持不變.但隨著α取值的變化,圖像的峰值以及振蕩范圍發(fā)生了明顯的變化.雖然從整數(shù)階到分?jǐn)?shù)階的變化過程中,隨著α的逐漸變小,圖形的振蕩區(qū)域變小,但整體的進(jìn)化趨勢仍然是相似的,這表明這種調(diào)制不穩(wěn)定行為是一個(gè)通用的特性,即在不同物理背景下這種不穩(wěn)定性是相似的.下一步,將進(jìn)一步從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格分析本文的發(fā)現(xiàn),推導(dǎo)出不穩(wěn)定區(qū)域和分?jǐn)?shù)階指標(biāo)α之間的關(guān)系.