基于核空間加權(quán)稀疏表示的滾動(dòng)軸承故障診斷

錢 猛,呂衛(wèi)民

(海軍航空大學(xué) 岸防兵學(xué)院, 山東 煙臺(tái) 264001)

滾動(dòng)軸承是汽車傳動(dòng)系統(tǒng)，風(fēng)力發(fā)電機(jī)組，航空發(fā)動(dòng)機(jī)，機(jī)床等電機(jī)和旋轉(zhuǎn)機(jī)械的關(guān)鍵部件。這些裝置通常在高速，重載，高低溫和污染的惡劣的工作條件下工作，希望執(zhí)行在線狀態(tài)監(jiān)測(cè)以提高其可用性，安全性和可靠性，降低運(yùn)行和維護(hù)成本，并實(shí)現(xiàn)停機(jī)時(shí)間最小化和生產(chǎn)力最大化。 由于這些設(shè)備中的許多故障可能從滾動(dòng)軸承故障開始，因此有效的故障診斷可以防止災(zāi)難性事故。

目前主要有兩類故障診斷模型：基于故障物理模型和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型?；诠收衔锢淼墓收显\斷方法試圖解構(gòu)軸承的機(jī)制來(lái)確定故障類型。 由于復(fù)雜的故障誘因，故障模式可能是強(qiáng)非線性甚至混沌的。在這種情況下，很難建立基于物理的故障診斷模型。與基于物理的模型不同，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法僅依賴于監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)和構(gòu)建模型來(lái)反映歷史數(shù)據(jù)與故障類型之間的關(guān)系。由于傳感器的發(fā)展，可以實(shí)現(xiàn)大量的測(cè)量數(shù)據(jù)。使用這些數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的模型可以提取反映受監(jiān)控組件運(yùn)行狀態(tài)的信息。與基于物理的模型相比，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法對(duì)故障機(jī)制或操作條件的依賴性較小，因此在沒(méi)有專業(yè)知識(shí)的情況下構(gòu)建它們會(huì)更簡(jiǎn)單但更普遍。

主成分分析[1]和Fisher線性判別方法作為數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法首先被引入故障診斷。然而，這兩種方法都是線性方法，強(qiáng)烈的非線性故障增長(zhǎng)機(jī)制使得在軸承診斷中表現(xiàn)不佳。人們進(jìn)而提出了一些非線性方法，如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)[2]和隱馬爾可夫模型(HMM)[3]。然而，這些方法需要大量具有各種故障類型的歷史數(shù)據(jù)來(lái)訓(xùn)練這些模型，這在航空航天等一些關(guān)鍵領(lǐng)域中并不實(shí)用。不同于傳統(tǒng)診斷方法，稀疏表示(SR)[4]具有良好的適應(yīng)性和高度的靈活性，能夠在冗余和過(guò)完備的字典上基于原子分解描述任意復(fù)雜信號(hào)，因此不受正交基限制，并且提供了一種有效的特征提取方法。SR理論為我們提供了一種新的特征提取模式，并在機(jī)器學(xué)習(xí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)，圖像處理等許多應(yīng)用領(lǐng)域得到了廣泛的研究。稀疏表示理論具有強(qiáng)大的自適應(yīng)提取特征能力，為解決初期軸承故障診斷問(wèn)題提供了一條有效途徑。

傳統(tǒng)的SRC模型忽略了測(cè)試樣本和每個(gè)字典原子之間的距離相似性。和訓(xùn)練樣本更近或者更相似的訓(xùn)練樣本在表示測(cè)試樣本時(shí)起到更重要的作用。為了提高原始SRC模型的判別能力，盧燦義通過(guò)將樣本的局部結(jié)構(gòu)信息集成到一個(gè)統(tǒng)一的公式中，擴(kuò)展了原始的SRC模型，并提出了加權(quán)稀疏表示(WSRC)模型[5]。WSRC自適應(yīng)地利用測(cè)試樣本和每個(gè)字典原子之間的相似性來(lái)表示測(cè)試樣本。但是軸承振動(dòng)信號(hào)中包含大量的非線性振動(dòng)信號(hào)，這給SRC和WSRC帶來(lái)了不小的挑戰(zhàn)。相關(guān)文獻(xiàn)表明基于核技巧的算法能夠有效地解決非線性問(wèn)題。 支持向量機(jī)是最著名的基于內(nèi)核的方法，它結(jié)合了稀疏誘導(dǎo)技術(shù)和內(nèi)核技巧。通過(guò)內(nèi)核技巧，通過(guò)將非線性可分離特征映射到高維特征空間，基于內(nèi)核稀疏表示的分類(KSRC)[6]算法被提了出來(lái)。 KSRC克服了SRC不能處理非線性信號(hào)的問(wèn)題，具有更好的分類能力。

本研究在稀疏表示的基礎(chǔ)上提出一種新的故障診斷方法，克服了上述故障診斷方法的不足，有效地提高了故障診斷的準(zhǔn)確率。作為稀疏分類方法的延伸，基于核空間稀疏分類方法(KSRC)將非線性振動(dòng)數(shù)據(jù)映射到高維空間來(lái)提高分類準(zhǔn)確率，在基于稀疏表示理論的滾動(dòng)軸承故障診斷應(yīng)用中起到了顯著的作用；然而該方法卻忽略了振動(dòng)信號(hào)局部結(jié)構(gòu)所包含更多的區(qū)分性信息，本文分提出一種基于核空間的加權(quán)稀疏表示軸承故障診斷方法(LMNN-WKSRC)。首先通過(guò)核函數(shù)將非線性振動(dòng)信號(hào)映射到高維空間；然后通過(guò)LMNN方法提取振動(dòng)數(shù)據(jù)的局部信息并求得相似度加權(quán)矩陣；最后通過(guò)優(yōu)化方法求解測(cè)試樣本的稀疏系數(shù)，并通過(guò)最小化原始樣本與重構(gòu)樣本之間的誤差獲得分類結(jié)果。通過(guò)軸承實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的有效性。

1 稀疏分類模型和核稀疏分類模型

稀疏表示作為一種信號(hào)重構(gòu)的方法，在人臉識(shí)別和檢測(cè)等應(yīng)用領(lǐng)域成為研究的熱點(diǎn)。設(shè)Xi=「Xi,1,Xi,2,…Xi, j…Xi,ni?由第i類(共k類)訓(xùn)練樣本組成的集合，ni為類內(nèi)樣本總數(shù)。其中xi, j∈Rm，m為樣本維數(shù)。如果第i類訓(xùn)練樣本充足，則任意屬于第i類且不在訓(xùn)練集中的樣本信號(hào)可由同類訓(xùn)練樣本線性表示，即：

y=αi,1xi,1…+αi, jxi, j…+αi,nixi,ni

(1)

其中：αi, j為線性表示系數(shù)；k為訓(xùn)練樣本總類別數(shù)?？蓪⑸鲜龉娇芍匦卤硎緸閥=Xα0，其中α0=「0,…,0,αi,1,αi,2…,0,…0?∈Rn，α0的維數(shù)為訓(xùn)練樣本個(gè)數(shù)總和，而且α0中只有與第i類訓(xùn)練樣本相關(guān)的系數(shù)是非零的，即在整體訓(xùn)練集X上的稀疏系數(shù)是稀疏向量。

對(duì)于包含n組基(每組基作為一列)的超完備字典X∈Rm×n(n?m)，給定的信號(hào)y可以由這些基的稀疏線性組合所表示:y≈Xα，并且滿足||y-Xα||2≤ε。由于X是過(guò)完備的，所以滿足||y-Xα||2≤ε的解有無(wú)數(shù)個(gè)。因此，可以引入一個(gè)約束來(lái)獲得唯一的解。優(yōu)化模型可表示為：

(2)

在滿足RIP條件下將上述優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為以下優(yōu)化模型：

(3)

對(duì)于k類問(wèn)題，將n列m維特征向量構(gòu)成訓(xùn)練字典X∈Rm×n，用Xk代表字典X的k類nk個(gè)列向量。對(duì)于給定y∈Rm，可以由上述模型求解最優(yōu)解α。進(jìn)而通過(guò)下式求得y所屬類別：

(4)

其中，αk是對(duì)應(yīng)于類k的α中的分量。稀疏表示模型和判決標(biāo)準(zhǔn)在人臉識(shí)別中被稱為基于稀疏表示的分類(SRC)[7]。

盡管SRC在軸承故障診斷中取得不錯(cuò)的效果，但SRC無(wú)法針對(duì)滾動(dòng)軸承高維非線性信號(hào)做出更進(jìn)一步的識(shí)別。KSRC作為SRC的非線性擴(kuò)展，通過(guò)將原始數(shù)據(jù)映射到內(nèi)核空間，在滾動(dòng)軸承故障診斷方面取得了不錯(cuò)的效果。在基于內(nèi)核的算法中，無(wú)需知道具體映射函數(shù)，最重要的是將數(shù)據(jù)映射到高維內(nèi)核空間的內(nèi)核技巧。一般情況下，Mercer核K∈Rn×n被用于計(jì)算內(nèi)核矩陣K∈Rn×n和向量k(·，·)∈Rn，如式(5)、式(6)所示

Ki, j=k(xi,xj)

(5)

k(·,y)=[k(x1,y),…,k(xn,y)]T

(6)

xi和xj都代表訓(xùn)練集。對(duì)于大量的訓(xùn)練樣本，核空間較高的維度會(huì)增大計(jì)算的復(fù)雜度。因此，一般用KPCA或KLDA來(lái)降低KSRC中的維數(shù)，并且獲得變換矩陣B∈Rn×d，其中d是減小了的特征空間的維數(shù)。系數(shù)向量可以在低維核特征空間中計(jì)算，如式(7)所示

(7)

(8)

2 基于核空間加權(quán)稀疏表示的信號(hào)分類

在故障診斷中，一個(gè)好的分類方法應(yīng)該具有魯棒性并且能夠從振動(dòng)信號(hào)中獲得較多的區(qū)分性信息進(jìn)行分類。本節(jié)提出了稀疏分類算法(SRC)的延伸算法，加權(quán)內(nèi)核稀疏表示分類(LMNN-WKSRC)。該算法利用更多的區(qū)分信息來(lái)識(shí)別測(cè)試樣本。

2.1 非線性映射

與傳統(tǒng)的線性算法相比，在模式識(shí)別和機(jī)器學(xué)習(xí)方面對(duì)它們進(jìn)行非線性轉(zhuǎn)換能對(duì)顯著提高算法的效果。非線性變換中，基于內(nèi)核的方法由于具有對(duì)非線性數(shù)據(jù)的處理能力而受到廣泛的研究。對(duì)于訓(xùn)練樣本X和任何測(cè)試樣本y的集合，采用非線性映射函數(shù)φ將輸入數(shù)據(jù)映射到核特征空間。由于非線性映射函數(shù)φ不容易確定，基于內(nèi)核技術(shù)的方法使用Mercer內(nèi)核k(·,·)來(lái)獲得高維內(nèi)核特征空間中的映射數(shù)據(jù)。對(duì)于任何樣本z1和z2，具體可以表示如下

k(z1,z2)=φ(z1)Tφ(z2)

(9)

線性核和高斯徑向基函數(shù)和是用的最多的兩種Mercer內(nèi)核方法。 線性核是非參數(shù)核，而高斯徑向基函數(shù)(RBF)具有可以調(diào)整核矩陣的參數(shù)

(10)

(11)

核特征空間較高的維度使得計(jì)算稀疏系數(shù)變得困難，因此通過(guò)降維方法來(lái)提高計(jì)算效率。在WKSRC中，可以使用KPCA來(lái)降低核心特征空間的維度。在KPCA中，如果設(shè)定降維后的特征空間維數(shù)為d，則變換矩陣B可以表示為B=[β1,…βj…βd]∈Rn×d；對(duì)于j=1,…,d，每個(gè)向量βj是對(duì)應(yīng)于非零特征值的標(biāo)準(zhǔn)特征向量，通常選擇前d個(gè)最大特征值。通過(guò)變換矩陣B，上述問(wèn)題可以表示如下

s.t.BTk(·,y)=BTKα

(12)

因此在原始特征空間中線性不可分的問(wèn)題得以解決，樣本在高維特征空間中變得線性可分。在核特征空間中，使用降維方法來(lái)減小維度。與映射函數(shù)一樣，在線性降維方法中也可以用核技巧來(lái)獲得非線性數(shù)據(jù)。 核特征空間的非線性特征得以保留并用于解決分類問(wèn)題。

2.2 局部結(jié)構(gòu)信息

傳統(tǒng)的加權(quán)稀疏分類方法已經(jīng)應(yīng)用于人臉識(shí)別和在軸承故障診斷中，相比傳統(tǒng)的稀疏分類算法擁有更高的分類準(zhǔn)確率。對(duì)于某些非線性信號(hào)，基于歐幾里得距離的加權(quán)稀疏分類方法往往不能獲得較好的分類效果

(16)

(17)

使用歐幾里得度量計(jì)算距離時(shí)，組間的距離會(huì)小于組內(nèi)距離。利用最大間隔最小鄰居(LMNN)可以克服上述不足。

大間隔最近鄰[7](Large margin nearest neighbor)分類算法是統(tǒng)計(jì)學(xué)的一種機(jī)器學(xué)習(xí)算法。該距離度量方法充分利用先驗(yàn)知識(shí)來(lái)從標(biāo)記的樣本中學(xué)習(xí)馬哈拉諾比斯距離度量。通過(guò)訓(xùn)練使得k最近鄰歸屬于同一類，而來(lái)自不同類的樣本以較大的余量分開。輸入空間的這種全局線性變換確保了同一類中的較小距離和不同類之間的較大距離。LMNN最初旨在提高K最近鄰(KNN)分類性能。從字面上理解，同一種類的輸入訓(xùn)練集應(yīng)該足夠接近；其次，不同種類的輸入訓(xùn)練樣本應(yīng)該足夠地分開。

基于上述理解，LMNN的損失函數(shù)由兩個(gè)項(xiàng)組成，一個(gè)用于將目標(biāo)鄰居拉近，另一個(gè)用于將不同類別的樣本距離更遠(yuǎn)。懲罰每個(gè)輸入與其最近鄰之間較大距離的項(xiàng)定義如下

(13)

懲罰不同類別樣本之間的距離的項(xiàng)被定義為

(14)

這里的yil=1，當(dāng)且僅當(dāng)yi=yl，yil=0；否則，xl表示來(lái)自xi的不同類別樣本。最后，結(jié)合上述兩項(xiàng)并定義一個(gè)損失函數(shù)如下，其中μ∈[0,1]是平衡上述兩項(xiàng)的權(quán)重參數(shù)

ε(L)=(1-μ)εpull(L)+ηεpush(L)

(15)

該種距離度量充分利用先驗(yàn)知識(shí)使得k近鄰總是歸屬于同一類，而來(lái)自不同類別的樣本被大間隔分隔。輸入空間的這種全局線性變換確保了同一類中的較小距離以及不同類之間的較大距離。在本文中塊對(duì)角矩陣可以定義如下：

diag(W)=[dist(y,x1),…,dist(y,xn)]T

(18)

用馬氏距離來(lái)計(jì)算兩個(gè)向量之間的距離

(19)

其中M=LTL由LMNN得到。如果測(cè)試樣本y與訓(xùn)練樣本xi之間的大距離Wi表明它們不太可能屬于同一類別，并且相應(yīng)的αi往往很小，這也表明xi不能較好地表示y。在使用歐幾里得度量時(shí)，由于表示全局距離并且對(duì)噪聲敏感，所以如果y和xi實(shí)際上屬于不同的類別時(shí)y和xi之間的距離很小，則相應(yīng)的αi往往很大，這會(huì)導(dǎo)致稀疏表示不準(zhǔn)確。通過(guò)學(xué)習(xí)方法來(lái)測(cè)量距離。具體而言，訓(xùn)練集包括相同類別樣本中的噪聲變化。在訓(xùn)練詞組中，線性變換矩陣L可以學(xué)習(xí)這些模式。通過(guò)這種投影，輸出空間對(duì)不相關(guān)的噪音不敏感。因此，LMNN距離度量更可能呈現(xiàn)兩個(gè)信號(hào)之間的正確距離。

2.3 基于核空間稀疏表示的信號(hào)分類模型

本節(jié)提出的LMNN-WKSRC將局部適配矩陣應(yīng)用于核函數(shù)空間中的L1最小化問(wèn)題，得到了核函數(shù)空間中的加權(quán)L1最小化問(wèn)題。求解系數(shù)向量的問(wèn)題可以被表述為以下加權(quán)L1最小化問(wèn)題：

(20)

(21)

(22)

其中k(X,y)=[k(x1,y),…k(xn,y)]T∈Rn×1表示核空間內(nèi)的核向量；K∈Rn×n表示相對(duì)應(yīng)的核度量矩陣，其中Ki, j=k(xi,xj)。||Wα||1代指加權(quán)L1正則化項(xiàng)；dist(y,xi)表示每個(gè)原子與測(cè)試樣本之間的距離或相似度；λ控制表示誤差項(xiàng)||φ(y)-φ(X)α||2和加權(quán)正則化項(xiàng)間的權(quán)重。通過(guò)式(22)得到系數(shù)向量之后。將計(jì)算c類訓(xùn)練樣本的重建誤差來(lái)確定測(cè)試樣本的標(biāo)簽。與SRC和KSRC類似，除了與測(cè)試樣本所屬類別相關(guān)的部分外，系數(shù)向量將是稀疏的，大多數(shù)α的項(xiàng)為零

ri=||〗BTk(X,y)-BTKα||2

(23)

(24)

算法流程如表1所示。

表1 算法流程

3 驗(yàn)證

本研究在軸承振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)庫(kù)和航空發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)信號(hào)上對(duì)所提出的算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該分類算法的有效性。為了充分驗(yàn)證所提出的算法的分類效果，將WKSRC與3個(gè)現(xiàn)有的算法SRC，WSRC和KSRC在數(shù)據(jù)庫(kù)上進(jìn)行比較。在KSRC和WKSRC中，需要將原始樣本映射進(jìn)入高維內(nèi)核空間。使用線性核作為非參數(shù)內(nèi)核來(lái)獲取內(nèi)核特征空間。然后，使用KPCA來(lái)減小特征維度降低系數(shù)向量的計(jì)算復(fù)雜度。在所有實(shí)驗(yàn)中，使用SPAMS(SPAMS是用于解決涉及稀疏的機(jī)器學(xué)習(xí)和信號(hào)處理問(wèn)題正則化的開源工具箱)軟件包來(lái)解決內(nèi)核特征空間中的加權(quán)L1最小化問(wèn)題。稀疏求解的系數(shù)λ的值取5，以保證非零系數(shù)不超過(guò)20個(gè)(共100組數(shù)據(jù))。

采用西儲(chǔ)大學(xué)公開的軸承數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。表2所示為軸承故障類別。從圖1所示的振動(dòng)幅值圖可以看出：即便注入損傷大小各異，但振動(dòng)信號(hào)的振動(dòng)模態(tài)卻相差無(wú)幾，比如0.84 cm的內(nèi)滾道損傷與0.42 cm的外滾道損傷的振動(dòng)模態(tài)極為相近，這給準(zhǔn)確區(qū)分出故障類型增加了難度。對(duì)于上述每一種故障類型，從原始振動(dòng)信號(hào)中采集并構(gòu)造100組數(shù)據(jù)，每一組數(shù)據(jù)的維數(shù)均為2 048。將全部的1 200個(gè)樣本構(gòu)造成一個(gè)2 048行1 200列的矩陣D，矩陣中的每一列都代一種故障

D=[D0,D1,…,D11] (25)

由于信號(hào)中不可避免存在噪聲干擾，因此第一步對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行中值濾波。提出矩陣每一列的多尺度熵和傅里葉系數(shù)作為特征來(lái)進(jìn)行分類。接下來(lái)則對(duì)特征歸一化以防止某幾維數(shù)值過(guò)大或過(guò)小而影響分類準(zhǔn)確率；本文采用通常的歸一化方法：

(26)

其中fij是第j個(gè)樣本特征向量的第i個(gè)特征值，歸一化之后的特征值區(qū)間為[ymin,ymax]。在特征歸一化過(guò)程中，采用與特征選擇相同的反饋機(jī)制確定歸一化的區(qū)間。相關(guān)實(shí)驗(yàn)表明當(dāng)歸一化區(qū)間為[-1,1]時(shí)，后續(xù)的故障診斷準(zhǔn)確率最高。

每一組實(shí)驗(yàn)均從100組樣本中隨機(jī)選出P組樣本作為訓(xùn)練樣本，剩余樣本作為測(cè)試樣本。降維后的信號(hào)維數(shù)d分別取1 000和1 100。為了驗(yàn)證本文算法的有效性。本文將所提出的算法與常見(jiàn)的稀疏分類算法進(jìn)行識(shí)別率的對(duì)比；加權(quán)稀疏分類算法和核稀疏分類算法是本文算法在分類精度相對(duì)較高的兩種算法，本文同樣進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)照；SVM是常用的分類算法，多數(shù)用于小子樣的分類。將上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)輸入到相應(yīng)的算法中得到識(shí)別率折線圖2。

圖2 不同分類方法的故障識(shí)別率對(duì)比

4 結(jié)論

1) 本研究所提出的模型具有較高的故障識(shí)別率；當(dāng)d=1 000時(shí)，平均識(shí)別率比單獨(dú)的稀疏分類算法高出將近9個(gè)百分點(diǎn)，比常用的支持向量機(jī)高出3個(gè)百分點(diǎn)；當(dāng)d=1 100時(shí)，平均識(shí)別率比單獨(dú)的稀疏分類算法高出將近9.8個(gè)百分點(diǎn)，比常用的支持向量機(jī)高出3.8個(gè)百分點(diǎn)。

2) 振動(dòng)信號(hào)的局部結(jié)構(gòu)信號(hào)對(duì)振動(dòng)信號(hào)故障分類有著重要的意義。由于WSRC將振動(dòng)數(shù)據(jù)的局部結(jié)構(gòu)信息與SRC結(jié)合起來(lái)，取得了比SRC更好地分類效果。

3) 核技巧根據(jù)軸承振動(dòng)信號(hào)強(qiáng)烈非線性的特點(diǎn)將數(shù)據(jù)映射到高維核空間，提高了故障識(shí)別率。

4) 當(dāng)對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行編碼時(shí)，在一個(gè)過(guò)完備字典上，對(duì)于相似振動(dòng)信號(hào)SRC或KSRC會(huì)選擇相當(dāng)一部分相同的基；而選擇LMNN方法作為信號(hào)之間的度量能夠更加準(zhǔn)確地計(jì)算兩列信號(hào)信號(hào)之間的距離，從而獲得更高的故障識(shí)別率。