輪控小行星探測器建模及跳躍移動仿真

龔宇鵬，謝 天，林曉輝

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，黑龍江 哈爾濱 150080)

0 引言

隨著航天技術(shù)的飛速發(fā)展，各航天大國開展了一系列深空探測活動，并將目光投向了太陽系中的小行星、彗星等小型天體。這些天體數(shù)量眾多，對人類研究太陽系和恒星的成因及演化歷史，探索生命起源，獲取太空資源具有重要作用[1]。在深空探測中，小型天體本身的特殊形狀導(dǎo)致了其引力場的特殊性，不能將它們單純視作中心引力場，因此在航天器對其接近和著陸的過程中，可以將小型天體視作多個引力中心的組合，從而精確描述其引力特性[2]。

目前，只有美國“近地小行星交會”(NEAR)探測器、日本“隼鳥一號”探測器、歐洲太空局“羅塞塔號”彗星探測器與小行星表面有過直接接觸[3-5]。2000年2月，NEAR探測器在設(shè)計任務(wù)之外完成了在“愛神”小行星上的軟著陸，獲得了寶貴的探測資料和成果?！蚌励B一號”探測器于2005年11月在“絲川”小行星表面軟著陸并采集了土壤樣品。2014年11月，由“羅塞塔號”彗星探測器釋放的“菲萊”探測器成功登陸“67P/楚留莫夫-格拉希門克”彗星，但由于探測器著陸位置不良，導(dǎo)致其在很長時間內(nèi)處于休眠狀態(tài)。另外，美國“黎明號”探測器、日本“隼鳥二號”、中國“嫦娥二號”探測器也已成功開展了對小行星的探測任務(wù)。其中“嫦娥二號”探測器于2012年12月成功近距離飛躍“戰(zhàn)神-圖塔蒂斯”小行星，實現(xiàn)了中國首次對小行星的近距離觀測[6]，走出了中國深空探測極其重要的一步。

研究小行星探測器運動及控制方式能為小行星探測方案設(shè)計提供依據(jù)，對深空探測具有重要意義。目前國內(nèi)外成功使用的行星表面探測器均為輪式車型探測器。雖然輪式車型探測器在月球、火星等大質(zhì)量天體上的使用獲得了成功，但在小行星的微重力場下，由于探測器車輪與地面之間的接觸力非常小，使車輪打滑而移動緩慢，且在小行星粗糙的表面，一個小擾動就會使探測器脫離地面，因此，輪式車型探測器并不適用于小行星表面探測，需要尋求其他可行的方案。

美國、日本、歐洲各國和地區(qū)提出了一種新的行走方案——跳躍行走，并對其開展了相關(guān)研究[7]。跳躍行走能很好地適應(yīng)小行星表面的微重力環(huán)境。探測器從小行星表面起跳后，在空中進行彈道運動并落在另一個位置，從而實現(xiàn)了行走的目的。探測器在跳躍行走過程中能輕易越過幾倍甚至幾十倍于自身尺寸的障礙物，能適應(yīng)小行星復(fù)雜和不可預(yù)測的地形地貌，且探測器的運動范圍大，能耗低。因此，跳躍行走是小行星表面巡游探測比較可行的方案。

國內(nèi)外針對探測器在小行星表面跳躍行走的實現(xiàn)開展了大量研究。如HANAZAWA等[6-7]設(shè)計了一種輻條輪機構(gòu)，可在松軟的行星表面進行移動；柏龍等[9]設(shè)計了用于小行星探測的跳躍機構(gòu)，通過折疊機構(gòu)將彈性勢能轉(zhuǎn)變?yōu)樘綔y器彈跳的動能，具有極強的越障和行走能力；GAJAMOHAN等[10-11]提出了利用反作用飛輪進行跳躍的立方體模型，可通過飛輪制動，短時間內(nèi)獲得可使探測器起跳的較大力矩，但其對起跳后探測器的姿態(tài)、跳躍過程的控制問題沒有深入研究；PAVONE等[12-13]設(shè)計了一款仿刺猬機器人，其通過剛性桿與地面接觸，并通過反作用飛輪實現(xiàn)對起跳和移動的控制，但未對機器人的移動策略進行進一步研究；SHEN等[14-15]針對探測器在小行星表面的跳躍運動進行了研究，但未考慮探測器在運動過程中的控制問題。

采用跳躍機構(gòu)會增加小行星探測器質(zhì)量及成本，容易降低探測器可靠性，在不增加額外跳躍執(zhí)行機構(gòu)的情況下，基于反作用飛輪的小行星跳躍探測器具有結(jié)構(gòu)簡單、可靠性強的優(yōu)勢。為此，本文針對輪控探測器建模及跳躍過程的控制進行研究。

1 跳躍移動原理

目前，對小行星跳躍探測器跳躍機理的研究主要分為兩類：一是通過跳躍機構(gòu)將擠壓力作用于行星表面，使探測器獲得水平速度的彈跳跳躍方式；二是通過反作用飛輪的加速改變探測器與地面的接觸力，使探測器起跳。

1.1 彈跳跳躍原理

彈跳跳躍的靈感主要來源于將跳躍移動作為主要移動方式的跳蚤、青蛙、袋鼠等動物。它們一般具有強壯的下肢，在跳躍時依靠下肢折疊產(chǎn)生彈力，并利用上肢調(diào)整跳躍姿態(tài)，以實現(xiàn)跳躍移動[8-9]。

彈跳探測器的跳躍移動需要通過跳躍機構(gòu)來執(zhí)行，其原理為：跳躍機構(gòu)通過自身折疊儲存彈性勢能，積累后迅速釋放，使地面支持力增加，同時產(chǎn)生前向的地面摩擦力，使探測器躍起并向前移動。

圖1 彈跳跳躍原理示意Fig.1 Principle of bounce hopping motion

根據(jù)不同的工程應(yīng)用，彈跳探測器所采用的跳躍機構(gòu)或運動方式各有不同，但總結(jié)其運動特性，可以得知彈跳跳躍方式有以下幾個特點：

1)具有極強的越障能力，可以越過相較于自身尺寸數(shù)十倍的障礙物，落腳面小，能夠適應(yīng)復(fù)雜地形與未知環(huán)境。

2)能更好地適應(yīng)小行星的微重力環(huán)境，彈跳行走過程能耗較小，并能夠解決地面摩擦力不足的問題。

3)彈跳探測器一般具有較輕的質(zhì)量和較大的底面，可有效減小壓強，在松軟的行星表面跳躍效果較好。

盡管彈跳跳躍能很好解決探測器在微重力環(huán)境中的移動問題，但由于引入了跳躍機構(gòu)，增加了探測器的結(jié)構(gòu)質(zhì)量，降低了可靠性，且難以在跳躍過程中對探測器姿態(tài)、運動方向進行控制，無法保證其穩(wěn)定性，容易發(fā)生傾翻，造成儀器及設(shè)備的損壞。

1.2 基于反作用飛輪的跳躍原理

基于反作用飛輪跳躍的起跳過程如圖2所示，主要包括：

1)反作用飛輪從初始狀態(tài)開始加速，隨著飛輪力矩的逐漸增大，為平衡飛輪力矩，地面等效支持力的作用點將逐漸向探測器起跳支點D處移動。當?shù)孛嬷С至ν耆饔糜谄鹛c且重力力矩無法與飛輪力矩相平衡時，與倒立擺起擺時的原理相似，探測器將繞起跳支點發(fā)生轉(zhuǎn)動。

2)當探測器發(fā)生傾斜后，重力相對于支點處的力矩將隨傾角的增加而減小，而飛輪仍處于加速狀態(tài)，因此探測器將繞其支點加速旋轉(zhuǎn)。此時，探測器質(zhì)心的水平速度與豎直速度都將逐漸增加，直到探測器重力不足以作為以支點D為圓心的加速圓周運動的向心力時，探測器躍起。

3)在探測器躍起后，由于其在旋轉(zhuǎn)過程中已獲得了一定的水平及豎直速度，探測器將脫離小行星表面進行拋體運動。在探測器起跳后，飛輪可以逐漸減速，提供反作用力矩，使探測器姿態(tài)恢復(fù)平穩(wěn)。

圖2 探測器起跳過程的二維模型Fig.2 2D model of probe takeoff process

探測器的成功起跳是在小行星表面進行跳躍探測的基礎(chǔ)。為了研究起跳過程，需要探討能夠使探測器產(chǎn)生翻滾或跳躍的飛輪力矩最小值，并且需要知道施加力矩與探測器跳躍瞬間運動參數(shù)的關(guān)系。對探測器起跳的二維動力學(xué)模型進行分析。根據(jù)牛頓第二定律和動量矩原理，得到飛輪起跳過程中相對于起跳支點D的動力學(xué)方程，即

(1)

假設(shè)探測器兩頂點之間的夾角為2β，則由式(1)可得探測器所需最小起跳控制力矩的公式，即

Tmin>mgLsinβ

(2)

式(2)也是跳躍探測器能夠起跳的條件。假設(shè)探測器模型為質(zhì)量分布對稱的均勻立方體，則L為立方體半對角線的長度。由式(2)可知：L越大，則飛輪起跳所需的控制力矩就越大；同時，探測器起跳所需的控制力矩也與探測器2個頂點之間的夾角有關(guān)，當L不變時，該夾角越大，探測器起跳所需要的飛輪輸出力矩也就越大。

2 探測器動力學(xué)建模

2.1 探測器姿態(tài)動力學(xué)模型

將小行星跳躍探測器假設(shè)為1個剛性立方體(見圖3)，探測器的質(zhì)量均勻分布，在質(zhì)心處有三軸正交安裝的反作用飛輪，通過飛輪加速及制動改變探測器的姿態(tài)，實現(xiàn)跳躍移動。

圖3 小行星跳躍探測器三維模型Fig.3 3D model of asteroid hopping probe

為明確反作用飛輪對于探測器姿態(tài)的控制作用，需要推導(dǎo)飛輪與探測器的姿態(tài)動力學(xué)方程。根據(jù)歐拉方程可得

(3)

式中：下標“I”代表探測器在慣性坐標系下的時間導(dǎo)數(shù)；下標“B”代表探測器在本體坐標系下的時間導(dǎo)數(shù)；H為探測器的角動量。

由歐拉方程可以推導(dǎo)得到在系統(tǒng)質(zhì)心坐標系Os-xsyszs下帶慣性輪的多剛體姿態(tài)動力學(xué)方程，即

(4)

式中：I為系統(tǒng)關(guān)于其質(zhì)心的慣性張量在系統(tǒng)質(zhì)心坐標系下的矩陣；ω為探測器的角速度矢量在系統(tǒng)質(zhì)心坐標系下的矩陣；U為各動量輪組成的安裝矩陣；Jw為各動量輪轉(zhuǎn)動慣量組成的對角陣；Ωw為各動量輪的轉(zhuǎn)速組成的列陣；Tb為外力矩在系統(tǒng)質(zhì)心坐標系下的分量列陣，Tb=[TxTyTz]T=rOsX×F，rOsX為小行星坐標系下探測器質(zhì)心到與地面碰撞點的向量,F為探測器所受的合外力。

探測器內(nèi)部的3個飛輪是正交安裝的，安裝矩陣U為單位陣，則

(5)

(6)

式中：Mk為飛輪k的控制輸入力矩，k=B，C，D。通過控制Mk可執(zhí)行不同探測器控制策略。

2.2 反作用飛輪模型

反作用飛輪的工作原理是動量矩定理，即星體的總動量矩矢量對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用于星體上外力矩矢量的總和。反作用飛輪通常作為執(zhí)行機構(gòu)對航天器進行姿態(tài)控制，本文中反作用飛輪是探測器姿態(tài)控制及跳躍運動的唯一執(zhí)行機構(gòu)，即采用飛輪加速既能使探測器具有運動速度，還可利用其進行姿態(tài)調(diào)整和控制。

反作用飛輪系統(tǒng)通?？珊喕癁橐浑A系統(tǒng)進行控制，即

(7)

式中：Tw=RJ/(KeKm)為飛輪電動機的機電時間常數(shù)；R為電動機阻抗；J為反作用飛輪轉(zhuǎn)動慣量；Ke為電勢常數(shù)；Km為力矩常數(shù)；Kw=1/Ke為飛輪電動機的增益系數(shù)。

輪控系統(tǒng)的實際應(yīng)用一般更關(guān)心反作用飛輪產(chǎn)生的實際力矩M對期望控制信號Tc的響應(yīng)，因此希望將控制器環(huán)境生成的期望控制力矩，作為飛輪的輸入(控制)信號進行輸入。在飛輪電機的模型中加入電樞電流反饋，調(diào)節(jié)電機電樞電流，產(chǎn)生所需要的電磁驅(qū)動力矩，它們之間的關(guān)系為

(8)

(9)

式中：Tc(t)為飛輪的期望控制力矩函數(shù)；i(t)為電樞電流；T′w=R/KP；KP為比例系數(shù)。式(9)為力矩模式飛輪的基本數(shù)學(xué)模型，可看成1個慣性環(huán)節(jié)。對于性能較好的慣性輪，慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)可達到毫秒級。本文選取T′w為0.01 s。

本文選用的反作用飛輪性能指標見表1。

表1 反作用飛輪的性能指標

2.3 探測器與地面的接觸力模型

由于在飛輪加速使探測器起跳的過程中需要計算碰撞時間和碰撞力等信息，而傳統(tǒng)的瞬間碰撞模型無法揭示這些信息，因此采用等效彈簧阻尼模型，將探測器與地面之間的接觸等效為1個彈簧阻尼模型。在等效彈簧阻尼模型中，法向受力由基于Hertz定律和非線性阻尼函數(shù)的非線性彈簧-阻尼模型計算得到[16-17]。切向力由簡化的Karnopp摩擦力模型計算得到[18]。

探測器與地面的法向碰撞力用彈簧接觸力來描述，由Hertz定律確定力的大小，用阻尼系數(shù)表征接觸過程的能量損失。基于Hertz定律和非線性阻尼函數(shù)的非線性彈簧-阻尼模型表達式為

(10)

(11)

(12)

為描述探測器的切向碰撞力，需要考慮到探測器在跳躍過程中可能發(fā)生的粘滯與滑動兩種運動狀態(tài)，因此引入簡化的Karnopp模型對探測器切向摩擦力進行描述。Karnopp首先定義了一個速度轉(zhuǎn)換容限VD，當切向速度小于VD時，將探測器狀態(tài)視為粘滯，否則為滑動狀態(tài)。因此，針對簡化后的切向碰撞力為

(13)

式中：Fs=μ0Fn為靜摩擦力。

3 探測器控制過程及控制律設(shè)計

跳躍探測器在小行星表面的跳躍運動主要依靠其內(nèi)部的飛輪來驅(qū)動，飛輪的控制力矩是整個跳躍系統(tǒng)的控制輸入。在開環(huán)條件下，探測器能在一定程度上適應(yīng)地形變化，但探測器的路徑會與預(yù)定的路徑有較大偏差，無法準確到達預(yù)定地點進行探測。通過合理的控制算法控制飛輪的輸入力矩，就能夠控制飛輪的轉(zhuǎn)速和角加速度，實現(xiàn)對探測器跳躍的速度、方向等的控制，實現(xiàn)探測器對行星表面多個預(yù)定地點的準確到達。在整個探測過程中，需要控制探測器的速度不能過大，防止由于速度超過小行星逃逸速度而脫離小行星的引力場，也要注意飛輪的飽和及卸載問題。另外，跳躍探測器從地面躍起后，由于其具有初始旋轉(zhuǎn)速度，會在空中進行旋轉(zhuǎn)和翻滾。如果不對其進行控制，則探測器落地時隨機的姿態(tài)會使下次跳躍變得十分復(fù)雜。因此，在實際應(yīng)用中期望每次都以固定的姿態(tài)及角速度落回地面，這就需要在每次探測器跳躍的過程中通過飛輪的控制來調(diào)整其姿態(tài)，以控制探測器落地姿態(tài)。

探測器起跳或與地面發(fā)生碰撞后，均會產(chǎn)生一定的角速度。若探測器內(nèi)部角速度具有耦合時，探測器還可能具有角加速度，這會使探測器的姿態(tài)運動變得復(fù)雜，不利于探測器的控制，因此主要在探測器滯空時對探測器姿態(tài)進行調(diào)整。

為了對探測器進行姿態(tài)穩(wěn)定控制，需要引入探測器本體坐標系與目標姿態(tài)坐標系間的誤差四元數(shù)Qe=[qe0qe]T∈R4×1，假設(shè)小行星本體系下的探測器當前姿態(tài)四元數(shù)為Q，目標姿態(tài)四元數(shù)Qf=[qf0qf]T，則誤差四元數(shù)

Qe=Q-1Qf

(14)

式中：Qe滿足的約束條件為

qe02+qe12+qe22+qe32=1

(15)

(16)

目標姿態(tài)四元數(shù)可根據(jù)不同的姿態(tài)任務(wù)確定，當前姿態(tài)四元數(shù)可由姿態(tài)測量系統(tǒng)測量得到。假設(shè)探測器當前的姿態(tài)角速度為ω，目標角速度為ωf，均定義在航天器本體坐標系中，則定義誤差角速度

ωe=ω-ωf

(17)

將式(17)代入式(4)，可得到誤差動力學(xué)與運動學(xué)方程，即

(ωe+ωf)×[I(ωe+ωf)+JwΩw]+

(18)

(19)

本節(jié)中探測器的姿態(tài)機動控制問題就是在給定目標姿態(tài)四元數(shù)下，設(shè)計控制律使得當前姿態(tài)四元數(shù)在系統(tǒng)存在參數(shù)攝動及外界干擾的情況下，能在有限時間內(nèi)Qe→[±1 0 0 0]T，ωe→0。

為了達到更好的控制效果，考慮到飛輪慣性環(huán)節(jié)及克服摩擦力矩的干擾，本文在控制環(huán)節(jié)采取的控制率為

(20)

式中：KL為控制器的回路增益矩陣；k1，k2，k3分別為比例、微分、積分控制項。經(jīng)調(diào)試，k1=0.02，k2=0.09，k3=0.000 1。

4 跳躍移動仿真校驗

為驗證探測器基于反作用飛輪進行跳躍移動方案的可行性，需要對其跳躍過程進行仿真。假設(shè)探測器飛輪通過施加控制使探測器起跳后保持勻速前進，仿真條件設(shè)置如下。

1)小行星表面環(huán)境及物理參數(shù)。根據(jù)現(xiàn)有的小行星環(huán)境，假設(shè)小行星表面重力加速度g=0.001 m/s2，逃逸速度vescape=2.5 m/s，探測器與小行星表面摩擦系數(shù)μ=0.45，靜摩擦系數(shù)μ0=0.47，恢復(fù)系數(shù)e=0.95，剛度系數(shù)K=0.5 GPa。

2)探測器的基本參數(shù)。質(zhì)量為5 kg，轉(zhuǎn)動慣量I=diag([0.055 0.055 0.055])kg·m2，探測器邊長2l=0.4 m。沿探測器3個飛輪轉(zhuǎn)軸施加的最大飛輪力矩大小Tc=0.01 N·m。

3)仿真初始條件。探測器初始角速度ω0=[0 0 0]Trad/s，反作用飛輪初始轉(zhuǎn)速Ω=[0 0 0]Trad/s，探測器初始姿態(tài)參數(shù)Q=[1 0 0 0]T。

圖4為通過飛輪加速起跳后的探測器質(zhì)心運動軌跡。由圖可見，對反作用飛輪施加控制，可實現(xiàn)探測器在小行星表面跳躍行走。行走過程仿真時間為800 s，得到探測器的起跳時間為3.16 s，跳躍的最大高度為1.33 m。

圖4 探測器質(zhì)心運動軌跡Fig.4 Trajectory of probe centroid

探測器質(zhì)心高度變化如圖5所示。從圖中可以清晰看出探測器每一次跳躍的過程。探測器在起跳后達到了最高跳躍高度，繼續(xù)跳躍移動后，其滯空時間與跳躍高度逐漸減小，直至達到穩(wěn)定的前向跳躍。

圖5 探測器質(zhì)心高度變化Fig.5 Variation of probe’s centroid height

圖6 探測器質(zhì)心速度變化Fig.6 Variation of probe’s centroid velocity

探測器各方向速度分量隨時間的變化情況如圖6所示。圖中：水平方向速度分量vx與vy的變化曲線形狀為階梯形。由于跳躍探測器在空中飛行時只受到法向重力作用，切向受力為0，因此速度大小和方向都未發(fā)生改變。但當探測器與地面發(fā)生碰撞時，在水平方向上受到了摩擦力的作用，使質(zhì)心水平速度在短時間內(nèi)發(fā)生了較大變化；豎直方向速度分量vz的曲線為鋸齒形，這是因為在空中飛行時探測器受到的重力作用、與地面碰撞時受到豎直方向接觸力的作用導(dǎo)致的。由于與地面碰撞的時間很短，因此每次碰撞時質(zhì)心速度和角速度均會出現(xiàn)突變。

由以上結(jié)果可看出，小行星探測器可以僅通過飛輪在小行星表面微重力的環(huán)境下實現(xiàn)跳躍移動。對跳躍時的探測器姿態(tài)施加控制，可維持或改變跳躍方向，達到向不同方向移動的目的。由于每次跳躍的距離及跳躍高度相對穩(wěn)定，使用反作用飛輪與使用彈跳機構(gòu)的跳躍移動相比，可以更好地對探測器的飛行姿態(tài)及跳躍過程施加控制，更適合于微重力環(huán)境下的小行星探測任務(wù)的執(zhí)行。

5 結(jié)束語

本文針對小行星探測器跳躍行走方案的動力學(xué)和控制策略開展研究。分析了國內(nèi)外小行星跳躍探測器的發(fā)展現(xiàn)狀，建立了跳躍探測器的動力學(xué)模型，給出了反作用飛輪在探測器跳躍移動中所需提供的最小力矩，設(shè)計了探測器姿態(tài)控制律，進行了仿真檢驗。結(jié)果表明：探測器能進行完整的姿態(tài)控制過程，可以執(zhí)行小行星表面的探測任務(wù)。對跳躍探測器跳躍行走過程進行了仿真，探測器通過反作用飛輪加速提供的力矩產(chǎn)生跳躍運動，驗證了方案的可行性?？紤]到小行星表面的地形變化及非均勻的重力場環(huán)境，未來將研究跳躍探測器在不同地形環(huán)境及非均勻重力場下的跳躍運動，針對不同地形下所采取的跳躍移動策略及相應(yīng)的控制方法進行設(shè)計，以滿足不同條件下小行星著陸探測任務(wù)的需求。