理解結(jié)構(gòu)　建立模型　解決問題

孫祝華

[摘 要]解決數(shù)學實際問題是學生在小學階段的重要學習任務(wù)之一。以“比一個數(shù)多（少）幾的實際問題”教學片段為例，通過解決數(shù)學問題來提升學生的邏輯思維能力和抽象思維能力。

[關(guān)鍵詞]理解結(jié)構(gòu);建立模型;解決問題;思維能力

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）17-0018-03

課程標準提出：“使學生能夠解釋和掌握所學知識，并且能夠運用這些知識去解決日常生活和生產(chǎn)勞動的一些實際問題?！苯鉀Q數(shù)學問題能讓學生學會理解和分析數(shù)學信息，聯(lián)系并運用已學的數(shù)學問題、數(shù)學思想、數(shù)學技巧來找到解決實際問題的方法。

下面以“比一個數(shù)多（少）幾的實際問題”教學片段為例進行論述。

【教學片段1】復(fù)習兩個數(shù)相差多少的實際問題并用圖片展示（圖略），讓學生用學過的知識比一比、說一說。

生1：圓形比三角形多6個，列式：13-7=6。

師：說說算式13-7=6的意義和其中每個數(shù)表示的意思。

生2：這里減去的7是指7個三角形。

師：這里減去的7表示的是圓形里面與三角形個數(shù)相等的7個。

【教學片段2】題目“小英有11朵花，小華比小英多3朵，小華有多少朵花？請用圓片和三角形擺一擺?！?/p>

師（在學生一眼就看出小華有14朵后）：如果沒有圓片和三角形怎么辦？

生1：可以列式 11+3=14。

師（指著11+3=14）：說說每個數(shù)表示什么意思。

生2：這11是小英的11朵。

（雖然教師多次糾正學生的錯誤，指出這11是小華和小英同樣多的11朵，但是收效甚微，在下一個環(huán)節(jié)——學習“比一個數(shù)少幾”的問題時，學生依舊犯了同樣的錯誤。）

（整節(jié)課學生就糾結(jié)在了“此11朵非彼11朵”的意義理解里，學生在“繞口令”一樣的算理中似乎知道了“比一個數(shù)多幾用加法計算，比一個數(shù)少幾用減法計算”，但有沒有真正理解這類數(shù)學問題的本質(zhì)就要打上問號了。）

思考：學生能夠發(fā)現(xiàn)小華的朵數(shù)是在與小英的朵數(shù)比較，但在擺的過程中只是直覺感知14朵是比11朵多3朵，所以就自動認為這11朵就是條件告知的小英的11朵了，沒有真正理解小英的11朵是標準量，小華的朵數(shù)是比較量，比較量應(yīng)該分成兩部分：一部分是和標準量同樣多的部分，另一部分是比標準量多的部分。而理解“和標準同樣多的部分”對低年級學生來說是有一定的困難的，于是就出現(xiàn)了把上面小英的11朵拿來“張冠李戴”的現(xiàn)象，這歸根結(jié)底是學生沒有厘清這類數(shù)學問題的基本結(jié)構(gòu)。

策略：解決數(shù)學問題一直是數(shù)學教學改革的聚焦點之一，專家對此的研究很多，而一線教師則希望這些理念和方法更具有操作性，從而培養(yǎng)學生“解決問題”的核心素養(yǎng)。在解決“求比一個數(shù)多（少）幾”的實際問題之前，學生已經(jīng)有了解決“兩數(shù)相差多少”的實際問題的基礎(chǔ)，因此可以采用“螺旋上升”的教學方式，讓學生的思維代替簡單的重復(fù)，用深刻的思維模式達成簡約明快的教學結(jié)果，解決上述教學片段中出現(xiàn)的教學問題。

【重新設(shè)計教學】

一、喚醒舊知

1.喚起比較的有效操作

師（出示一堆圓片和一堆三角形）：這里有兩堆圖片，怎樣看一眼就知道三角形和圓片誰多誰少？多幾個？還是少幾個？

生1：可以擺一擺，一個三角形對齊一個圓片。

生2：擺完后就能一眼看出誰多誰少了。

（讓一名學生上臺擺一擺）

2.直觀感知○和△的關(guān)系

師：從擺好的圖中你知道了什么？你是怎么知道○比△多6個的？

3.理解標準量和比較量的關(guān)系

師：說一說○可以分成哪兩部分？（教師用虛線畫出）

生1：7個△和6個○。

師：7個△是圓嗎？

生2：7個○和6個○。

師：7個○和上面的7個△比，能發(fā)現(xiàn)什么？也可以說成7個○和7個△怎么樣？（同樣多）6個○是比誰多的部分？誰來完整地說說○可以分成哪兩部分？

生3：○可以分成7個和△同樣多的○和比△多的6個○。

（教師指名幾個學生說一說）

4.專項練：說說比較量可以分成哪兩部分

師：誰多？多的可以分成哪兩部分？

二、理解結(jié)構(gòu)

出示：

師：從圖中能知道什么？要求什么？

師（出示題目：紅花有11朵，黃花比紅花多3朵，黃花有多少朵？）：誰和誰比？誰多誰少？求多的數(shù)還是少的數(shù)？多的數(shù)怎么求？把哪兩部分合起來？

師：算式怎么列？

生1：11+3=14。

師：11、3分別表示什么？如果紅花變成30朵，黃花比紅花多15朵，也這樣擺一擺嗎？（學生表示這樣做太麻煩了）

師：我給你們介紹一個學習好幫手——紙條圖。

師：（1）先擺放哪種花的紙條圖？（2）黃花的紙條圖和紅花的紙條圖相比，你覺得是長還是短？為什么？（3）如果把黃花的紙條圖分成兩部分，你覺得是哪兩部分？怎么擺？

師：看著擺好的紙條圖說一說黃花的數(shù)量怎么求。

生2：把黃花和紅花（標準量）同樣多的部分和比紅花（標準量）多的部分合起來。

師：看著紙條圖說說思路，對于算式“30+15=45（朵）”，分別說說30、15分別表示什么。

師：如果沒有紙條圖，你能在腦海中想出紙條圖的擺放方式嗎？

師：請你在頭腦中想象黃花的朵數(shù)是把哪兩部分合起來。

三、建立模型

出示練習題：

白兔有15只，灰兔比白兔多5只，灰兔有多少只？

（1）讓學生在頭腦中想象條形圖。

（2）提問：怎么求灰兔的只數(shù)？也就是大數(shù)怎么求？

[板書：? ? 和標準量同樣多的部分? +? ? 比標準量多的部分] [大數(shù)]

【反思】

一、構(gòu)建橋梁，提升認知結(jié)構(gòu)

學習本節(jié)課內(nèi)容之前，學生已有的知識經(jīng)驗是會解決“求一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）幾”的實際問題，也就是“已知兩個數(shù)的大小，進行比較，求出兩數(shù)相差多少”的實際問題。其中從“大數(shù)中去掉和小數(shù)同樣多的部分”也就是從大數(shù)中去掉和標準量同樣多的部分是解決這類數(shù)學問題的核心，同時這又是解決“求一個數(shù)多（少）幾”的實際問題的基礎(chǔ)。教師通過“喚起比較”的有效操作，讓學生不僅回憶了舊知，而且構(gòu)建了走向新知的橋梁;接著通過直觀感知○和△的關(guān)系，讓學生明確這兩個量中，一個是標準量，一個是和它進行比較的，是比較量;在初步建立標準量和比較量的相對概念后，再讓學生把比較量分成兩部分，即標準量和比標準量多的部分。通過觀察實物圖，學生能清晰地感知：求多的數(shù)就是把兩部分合起來，這兩部分就是和標準量同樣多的部分和比標準量多的部分。這樣就通過構(gòu)建橋梁讓學生基于已有的舊知和經(jīng)驗逐漸生成新知。雖然這是兩類不同的解決問題類型，但是都屬于“兩數(shù)之間比較”的問題范疇，而且符合學生螺旋上升的認知結(jié)構(gòu)。心理學研究表明：學生的認知結(jié)構(gòu)就是一個不斷生成、不斷擴充、不斷完善的進行時結(jié)構(gòu)，讓學生的大腦不斷搜索，從雜亂無章的知識儲備中尋找已有的舊知基礎(chǔ)，通過橋梁作用，從已知探索未知，就能幫助學生的思維從零亂走向有序，從局部走向整體，努力讓學生做到用發(fā)展（生成）代替簡單重復(fù)，不斷完善學生的認知結(jié)構(gòu)。

二、數(shù)形結(jié)合，理解問題結(jié)構(gòu)

小學生的思維是從簡單、具體的形象逐步向復(fù)雜、抽象的概括發(fā)展的過程，要讓學生的思維不斷深刻和深入，教師就要想辦法讓學生逐步擺脫實物和操作活動：先借助數(shù)和圖形的有機結(jié)合，讓學生從紛繁雜亂的物體、顏色、形狀等干擾中走出來，知道“已知什么，要求什么”，從而理解這類問題的基本結(jié)構(gòu);接著把數(shù)據(jù)改大，讓學生覺得繼續(xù)用擺一擺的方法太麻煩，從而水到渠成地介紹如何用紙條圖來解決問題。為了讓學生把紙條圖和數(shù)據(jù)對應(yīng)起來，教師還要讓學生深入思考：①先擺放哪種花的紙條圖（已知紅花30朵）？②黃花的紙條圖和紅花的紙條圖相比，你覺得是長還是短？為什么？③如果把黃花的紙條圖分成兩部分，你覺得是哪兩部分？怎么擺？這樣，數(shù)量的多少與圖形的長短形成了一一對應(yīng)關(guān)系，紙條圖之間的組合方式和它們之間的數(shù)量關(guān)系也建立了一一對應(yīng)關(guān)系，學生的思維很快就在簡單具體的紅花、黃花的比較事件中逐漸淡化，轉(zhuǎn)移到兩條紙條圖相應(yīng)數(shù)據(jù)對比的數(shù)學問題中來。這時，學生的具象思維逐漸向表象思維發(fā)展，通過想象“黃花的朵數(shù)是把哪兩部分合起來？”進一步抽象概括，學生就能理解這類問題的結(jié)構(gòu)，即和標準量同樣多的部分和多的部分合起來就是大數(shù)，建立解決這類問題的初步模型。

三、建立模型，完善整體結(jié)構(gòu)

在學生的思維從簡單走向深刻，從具象逐步向表象發(fā)展時，教師還應(yīng)幫助學生建立解決實際問題的模型，不斷讓學生有意無意地把數(shù)學知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化和整體化，既讓學生在探索中學習和成長，又讓學生形成自主探索、總結(jié)歸納的學習方法。

在練習板塊中，教師出示題目后不擺紙條圖了，直接讓學生在頭腦中想象紙條圖及對應(yīng)的數(shù)據(jù)，這無疑提高了思維的難度和抽象性，迫使一部分學生產(chǎn)生用數(shù)學模型來解決這類問題的需求，所以有學生直接說出了“和標準量同樣多的部分+比標準量多的部分=要求的大數(shù)”這樣的初步數(shù)學模型。教師通過板書，把數(shù)學模型再進一步結(jié)構(gòu)化，并由此推出求小數(shù)的數(shù)學模型;接著讓學生看到題目后首先判斷是求大數(shù)還是小數(shù)，大數(shù)怎么求（說出數(shù)學模型），小數(shù)怎么求（說出數(shù)學模型）;最后引導(dǎo)學生將其和已學的“求相差問題”進行比較，對如何解決已學的相差問題也建立數(shù)學模型，把它們都整合到“兩數(shù)比多少問題”這一類解決問題中來，完善這類問題的知識結(jié)構(gòu)，學生以后看到這類問題就會自覺地將其歸為一類，并用數(shù)學模型來解決。

綜上，解決實際問題的教學，應(yīng)引導(dǎo)學生用全局的觀念、整體的結(jié)構(gòu)進行分析和思考，通過聯(lián)系前后知識，弄清知識結(jié)構(gòu)間的內(nèi)在脈絡(luò);從低年級開始逐步引入紙條圖模式來幫助學生解決問題，為以后進一步學習“兩數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系”問題和“兩數(shù)之間的分數(shù)（小數(shù)）關(guān)系”問題做鋪墊。學生初步學會建立數(shù)學模型后，認識將不斷發(fā)展，思維將不斷深入和深刻，學生的認知將從局部性的“生成性認識”逐步向整體性的“結(jié)構(gòu)性認識”模式發(fā)展。

（責編 金 鈴）