整數(shù)乘法最后一課的教學(xué)途徑與策略

沈敏杰

[摘 要]“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是小學(xué)階段整數(shù)乘法知識的最后一個板塊，是學(xué)生在認(rèn)識、理解和掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的知識的基礎(chǔ)上進行算法遷移和理解算理，是小學(xué)階段筆算乘法的總結(jié)。通過梳理教材讀懂教學(xué)內(nèi)容，進行前測，把握學(xué)生認(rèn)知起點，把握本課教學(xué)目標(biāo)。在此基礎(chǔ)上提出有效落實教學(xué)目標(biāo)的三大策略：“計算”與“情境”相融，主動完成遷移; “算理”與“算法”相輔，自主構(gòu)建模型;“估算”和“筆算”銜接，提升運算技能。

[關(guān)鍵詞]三位數(shù)乘兩位數(shù);途徑;策略

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）17-0014-05

一、反思：“整數(shù)乘法最后一課”到底教什么

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是人教版教材四年級上冊的內(nèi)容。很多教師都認(rèn)為這節(jié)課沒什么好上的，太簡單了。打開教材，內(nèi)容非?！昂唵巍保阂粋€例題，只呈現(xiàn)了豎式計算和估算，后面加了一個練習(xí)，剛好一頁內(nèi)容。分析后發(fā)現(xiàn)：學(xué)生已經(jīng)掌握了筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的方法和算理，其兩者間的算理、算法是一致的，只要稍微提示，學(xué)生便能順利遷移。

然而，真是這么“簡單”嗎？

筆者不這么認(rèn)為。首先，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是筆算乘法的最后內(nèi)容，既是對整數(shù)乘法筆算的總結(jié)，又是后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)乘法的基礎(chǔ)。其次，學(xué)生掌握三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算的方法不難，但單純、反復(fù)進行計算訓(xùn)練單調(diào)枯燥，會降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。最后在教學(xué)中，教師處理通常會教條化：關(guān)注算理和算法，忽略整數(shù)乘法的最后一堂課的意義所在;過分重視算法多樣化和強調(diào)計算的準(zhǔn)確性等。

所有的這些，都意味著“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)絕不能簡單化。

二、三個方面：“整數(shù)乘法最后一課”學(xué)什么

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”作為義務(wù)教育階段整數(shù)乘法的最后一個知識板塊，到底要給學(xué)生留下什么？學(xué)生在整數(shù)乘法最后一節(jié)要學(xué)什么？可以從以下三個方面進行思考。

（一）梳理：讀懂教學(xué)內(nèi)容

通過梳理教材可以發(fā)現(xiàn)，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是在學(xué)生掌握了口算乘法、多位數(shù)乘一位數(shù)的口算及筆算、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的。

整數(shù)乘法其計算本質(zhì)是計數(shù)單位的累加，筆算乘法就是用豎式記錄幾個幾、幾十個幾、幾百個幾相加的和。從教材內(nèi)容上可以發(fā)現(xiàn)，四年級的學(xué)生已經(jīng)積累了相當(dāng)豐富的活動經(jīng)驗，能夠借助小棒、點子圖等理解算理，并用算理解釋算法，應(yīng)該說，學(xué)生對算理的理解和算法的掌握已經(jīng)非常好了。

（二）前測：把握認(rèn)知起點

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是以學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗為起點。學(xué)生學(xué)習(xí)新的知識和技能的遷移依靠原有的知識基礎(chǔ)、認(rèn)知能力?！叭粩?shù)乘兩位數(shù)”是在三年級學(xué)習(xí)了“多位數(shù)乘一位數(shù)”“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的筆算基礎(chǔ)上進行學(xué)習(xí)的內(nèi)容。與“多位數(shù)乘一位數(shù)”“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”相比，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”和它們的算理及算法是相同的，這是教材編寫的邏輯起點，也是教師對學(xué)生預(yù)設(shè)的認(rèn)知起點，然而，這兩個起點是不是一致？學(xué)生掌握到了什么程度？學(xué)生能否將原有的算理和算法主動遷移到新的情境中來？只有了解了這些問題，才能準(zhǔn)確定位本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

為了了解學(xué)生的真實狀況，對授課班級進行教學(xué)前測：

分析：學(xué)生基本掌握了“三位數(shù)乘一位數(shù)”，大部分學(xué)生能正確計算“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，并能夠利用之前的計算經(jīng)驗遷移計算“三位數(shù)乘兩位數(shù)”。對于正確率還是低于教師預(yù)期，有三個原因：①一小部分學(xué)生不清楚算理算法，在第二步計算時數(shù)位對齊有問題;②連續(xù)進位時漏加或加錯進位數(shù)字;③學(xué)生缺乏檢驗的意識。

（三）建構(gòu)：確定學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.要對整數(shù)乘法系統(tǒng)進行總結(jié)

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的學(xué)習(xí)建立在學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，其中的算理與算法沒有什么難度，學(xué)生能夠通過遷移進行學(xué)習(xí)。但是作為整數(shù)乘法教學(xué)的最后一塊內(nèi)容，學(xué)習(xí)目標(biāo)僅僅設(shè)定為“會算”是否夠了？筆者認(rèn)為：學(xué)生應(yīng)獲得更深的學(xué)習(xí)感悟，對整數(shù)乘法系統(tǒng)有一個總結(jié)。

2.自主遷移學(xué)習(xí)是主線

如果本節(jié)課只是單純地要求學(xué)生掌握算理和算法，那么這節(jié)課就會缺乏數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生命力。計算教學(xué)蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如轉(zhuǎn)化、歸納思想等。本節(jié)課中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的知識探究“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的方法，從而遷移到后續(xù)的“三位數(shù)乘三位數(shù)”“四位數(shù)乘三位數(shù)”的運算中，最后總結(jié)整數(shù)乘法的算理和算法，整體把握筆算乘法的內(nèi)涵?！斑w移”作為掌握新知的方法，在關(guān)注計算的教學(xué)中往往是作為暗線來處理，而本節(jié)課中可以讓其成為明線，不僅關(guān)注計算，同時注重數(shù)學(xué)方法的提煉與總結(jié)，注重提升學(xué)生運用方法的意識，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力。

最后，本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)定位如下：

知識技能：結(jié)合“三位數(shù)乘一位數(shù)”“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的知識經(jīng)驗，自主理解“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的筆算算理，類推“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的計算方法，歸納筆算乘法的算法和算理。

數(shù)學(xué)思考：通過觀察、比較、推理與概括等實踐活動，經(jīng)歷利用舊知解決新問題的過程，發(fā)展類推能力，提高估算能力和運算能力。

問題解決：在與他人交流算法的過程中，學(xué)會表達(dá)自己的想法，逐步養(yǎng)成善于傾聽、勇于質(zhì)疑的好習(xí)慣，提高問題解決的能力。

情感態(tài)度：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感受數(shù)學(xué)內(nèi)在的魅力，形成良好的計算和估算習(xí)慣。

三、三大策略：探究“整數(shù)乘法最后一課”怎么學(xué)

（一）“計算”與“情境”相融，主動完成遷移

人教版教材將運算和解決問題這兩個內(nèi)容放在一起編排，目的是把計算教學(xué)融入現(xiàn)實應(yīng)用中，讓學(xué)生在問題的現(xiàn)實背景下經(jīng)歷算法的探索過程，在解決問題中認(rèn)識計算的工具性和解決現(xiàn)實問題的價值。

1.創(chuàng)設(shè)情境融合復(fù)習(xí)鋪墊

教材中的每個例題總是配一幅生活情景主題圖，所以很多教師課堂教學(xué)的第一環(huán)節(jié)就是“創(chuàng)設(shè)情境、提出問題”，一般都是按“復(fù)習(xí)——新授——鞏固”這樣的環(huán)節(jié)走，其實可以將這些過程合并。

【教學(xué)片段1】

出示情境：請選擇其中的一個問題后列式解答。

（1）王阿姨從杭州乘高鐵去北京用了5小時，高鐵每小時行315千米。杭州到北京有多少千米？

（2）張大伯從杭州開車去青島用了11小時，汽車每小時行75千米。杭州到青島有多少千米？

交流反饋：

師：你為什么用乘法來解決？你是怎么算的？

（學(xué)生回答略）

師：你這個“5”要寫在這里？

生：是的，因為它不是5，是50。

師：那這個“75”表示什么？（75個一）這個呢？（75個十）

出示情境：（3）李叔叔從某城市乘火車去北京用了12小時，火車每小時行145千米。該城市到北京有多少千米？

師：145×12到底等于多少呢？你會算嗎？請試一試。

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”和“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的計算過程與算理在本質(zhì)上是一致的。因此，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)目標(biāo)不再是掌握算理，而是相同算理的遷移和運用，讓學(xué)生根據(jù)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法，推測、掌握三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法。通過“十一黃金周旅游”這樣一個融合新舊知識的問題情境，學(xué)生能主動喚醒原有計算經(jīng)驗，自然建立新舊知識點的聯(lián)結(jié)，體驗到成就感。

2.現(xiàn)實價值融合算理理解

課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)：計算教學(xué)應(yīng)通過解決實際問題進一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感，增進學(xué)生對運算意義的理解。

【教學(xué)片段2】

師：你們根據(jù)已有的兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的經(jīng)驗遷移得出了三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法。但是，數(shù)學(xué)是講道理的，能結(jié)合實際問題情境，說一說每一步算的是什么意思嗎？

生1：290算的是2小時行的路程，145算的是10小時行的路程。

生2（指著豎式中的“145”）：這里的“145”的意思是1450，因為10個145是1450。

師：那么1740算的是什么呢？

生（齊）：12小時行的路程。

學(xué)生結(jié)合現(xiàn)實的問題情境說清每一步算的是什么，進一步理解豎式算法，從而理解算理。情境的價值并不局限于使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，更多的是讓數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)依托現(xiàn)實，讓問題更具有現(xiàn)實的價值，并通過現(xiàn)實的價值助力學(xué)生理解。

（二）“算理”與“算法”相輔，自主建構(gòu)模型

在計算教學(xué)中，“怎么算”是基礎(chǔ)，“為什么這樣算”是依據(jù)，這兩點在計算教學(xué)中缺一不可。本節(jié)課力求在現(xiàn)實的情境中使學(xué)生主動遷移算法，在比較中明晰算理，在交流中總結(jié)和建立筆算乘法的模型。

1.遷移計算中明晰算理

【教學(xué)片段3】

師：145×12，說說你是怎么算的？

生1（如圖4）：我先用2乘5得10，寫0進1，用2乘4加1得9，用2乘1得2;再用1乘5得5，1乘4得4，1乘1得1。5和十位對齊。最后的結(jié)果是1740。

生2（如圖5）：我先算2乘145得290，再算十位上的1乘145得145，5和十位對齊。最后把兩次相乘的積相加，結(jié)果是1740。

師：他們的算法有什么相同的地方，又有什么不同的地方？

生3：相同的地方是都把12拆成了2和10，再分別去乘，最后相加。

生4：都強調(diào)了第二步的得數(shù)與十位對齊。

師：你們覺得哪一個說法更好？好在哪？

生5：生2說的更清楚和簡潔。

師：我們之前沒有學(xué)過“三位數(shù)乘兩位數(shù)”，現(xiàn)在大家已經(jīng)會算了，你們的算法根據(jù)的是什么？

生6：跟兩位數(shù)乘兩位數(shù)差不多的。

師（出示圖6）：相比之下，新知識多了百位上的1，這個1是怎樣乘的？多了多少？

生7：用乘數(shù)個位上的2與十位上的1去乘，分別多了200與1000。

師：如果與三位數(shù)乘一位數(shù)比較，多了十位上的1，這個1又是怎樣乘的？多了多少？

生8：用乘數(shù)十位上的1去乘145，多了1450。

學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)充分探討過筆算乘法的算理，作為整數(shù)乘法的最后一節(jié)課，其目的是為了讓學(xué)生經(jīng)歷算法多樣化和算法優(yōu)化的過程。多次試教本節(jié)課后發(fā)現(xiàn)，在主動嘗試環(huán)節(jié)，絕大部分學(xué)生自動選擇了豎式筆算的方法，而教師預(yù)設(shè)的口算的方法都沒有出現(xiàn)。因此，這里不再過多糾纏于算理的理解和算法的多樣化，而是在學(xué)生主動遷移算法的基礎(chǔ)上，借助現(xiàn)實情境，解釋豎式每一步算的是什么。

2.算法類推中提煉總結(jié)

【教學(xué)片段4】

師：我發(fā)現(xiàn)大家已經(jīng)會計算三位數(shù)乘兩位數(shù)。請觀察下面這些算式，在計算過程中它們有什么相同點？

生1：算法是一樣的，先用個位上的數(shù)去乘，再用十位上的數(shù)去乘，然后把兩次相乘的積再相加。

師：我知道你們?yōu)槭裁磿懔恕獙W(xué)過的知識運用到新的知識的學(xué)習(xí)中，這個方法在數(shù)學(xué)上稱為“遷移”。

師：你覺得接下來我們還會學(xué)什么？

生2：四位數(shù)乘四位數(shù)、四位數(shù)乘三位數(shù)……

師：你能舉個例子嗎？

生2：1123×123，2341×5134。

師：可惜今天是我們整數(shù)乘法的最后一節(jié)課，如果老師不教，你還會嗎？

生3：會的。

師：你打算怎么算？

生3：跟之前的算法一樣。

師（出示圖8）：請想象一下，筆算這兩題的時候，豎式會是一個什么樣子。

生4：像一個樓梯。

師：我們以后筆算乘法，其實只要先……再……

……

通過計算過程的比較，再遷移“四位數(shù)乘四位數(shù)”的算法，最后幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。作為整數(shù)乘法的最后一課，更多地需要放慢腳步，讓學(xué)生有更深的感悟，對整數(shù)乘法的學(xué)習(xí)有一個總結(jié)。

（三）“估算”和“筆算”銜接，提升運算能力

“口算、筆算、估算”被稱為計算三寶。筆算與估算能互相促進，互為檢驗手段。培養(yǎng)估算意識，要讓學(xué)生體會估算價值的同時也要認(rèn)識到估算不是獨立于筆算之外的，估算與筆算應(yīng)該是相輔相成的，最終提升學(xué)生的觀察與分析的能力、運算能力等。

1.算前估與精算后相銜接，優(yōu)化估算方法

【教學(xué)片段5】

師：請估計一下，145×12的得數(shù)大約是多少？

生1：100×10=1000。

生2：145×10=1450。

師：答案是大于1450，還是小于1450？

生3：應(yīng)該比1450要大，因為他把12估成了10，積就變小了。

生4：150×10=1500。

師：比較這三種估算的結(jié)果，你認(rèn)為哪個更接近準(zhǔn)確結(jié)果？（教師對學(xué)生的回答不做評價）

師：你對哪個估算方法有建議？為什么？

生5：對于100×10=1000，因為把倆個因數(shù)估小了，特別是145估小到100，這樣離準(zhǔn)確結(jié)果就有點遠(yuǎn)了。

在課堂上先通過估算，知道精算的大致得數(shù)范圍，最后算出結(jié)果后再和開始的估算結(jié)果進行比較，從而優(yōu)化估算的方法。顯然，“合理估算——精確計算——優(yōu)化方法”在這里并不是簡單地把估算處理成“為了估算而估算”，而是把估算的意識和習(xí)慣當(dāng)作一項重要的目標(biāo)去實施。課堂的實施中還有一個意外的收獲，一個學(xué)生在探究算法的過程中采用“145×10+290=1740”，在估算的基礎(chǔ)上，探究出了口算的方法。這樣的教學(xué)過程真正體現(xiàn)了估算的價值——培養(yǎng)良好的估算能力有助于提高學(xué)生的計算能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

2.估算與精算相銜接，提升運算能力

【教學(xué)片段6】

師：某位同學(xué)計算得出121×13=484，他算得對嗎？你是怎么判斷的？

生1：看末位，1乘3得3，肯定是錯的。

師：那改成483，對嗎？

生2：不對。因為就算是100×10也等于1000，答案應(yīng)該比1000大。這里是484，不可能。

師：那改成1483，對嗎？

生3：那要算一算了。

生4：不對。120乘10等于1200，120乘3等于360，加起來等于1560。

師：生4非常厲害，既有估算，又是精算，還能夠結(jié)合估算和精算進行判斷。

師：對于第4題，你會怎樣判斷？

生5：把983看成990，93看成100，乘一下是99000，結(jié)果應(yīng)比99000小。

師：這讓我想起了這道題目“最大的三位數(shù)999乘最大的兩位數(shù)99的積是多少，是幾位數(shù)呢？”。

生6：如果看成1000乘100，剛好是個六位數(shù)，所以999乘99是個五位數(shù)。

師：如果算一算，999乘99等98901，所以“三位數(shù)乘二位數(shù)”的積最小是10000，最大是98901。其他的積都在這個范圍內(nèi)。

在“精算”之前，先估計積的大致范圍，對計算結(jié)果做到心中有數(shù);在“精算”之后回過頭對結(jié)果進行估計，可以幫助學(xué)生檢驗計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。因為估算不僅僅是一種技能，更是一種良好的意識和習(xí)慣。

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”既是筆算乘法的新授課，也是“算理算法”的鞏固課，更是整數(shù)乘法的總結(jié)課。整數(shù)乘法是后續(xù)小數(shù)乘法的基礎(chǔ)，學(xué)生在這里對筆算乘法的算理、算法掌握的程度，都將直接影響將來的計算學(xué)習(xí)。因此讓學(xué)生借境梳理以“遷”構(gòu)“型”，是一項具有重大意義的課題。

（責(zé)編 金 鈴）