基于Hertz接觸理論的葉片-機(jī)匣碰摩模型

趙 洋， 華一雄， 張執(zhí)南， 柴象海

(1. 上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院， 上海 200240; 2. 中國航空發(fā)動(dòng)機(jī)集團(tuán) 商用航空發(fā)動(dòng)機(jī)有限責(zé)任公司， 上海 200241)

為了滿足航空發(fā)動(dòng)機(jī)對整體結(jié)構(gòu)緊湊、氣動(dòng)效率高、耗油率低等結(jié)構(gòu)性能方面的要求，葉尖間隙通常被設(shè)計(jì)得非常小[1]，但這種設(shè)計(jì)同時(shí)也提高了葉片和機(jī)匣之間發(fā)生碰摩的概率.由于航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速高、葉尖線速度大，一旦發(fā)生碰摩現(xiàn)象，可能會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)，進(jìn)而造成重大安全事故[2].因此，對于航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片-機(jī)匣碰摩現(xiàn)象的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

國內(nèi)外學(xué)者從不同角度建立了各種碰摩模型以表征葉片-機(jī)匣碰摩現(xiàn)象.Padovan等[3]將葉片簡化為等截面的懸臂梁，考慮葉片的一階模態(tài)彎曲，推導(dǎo)出葉片與剛性機(jī)匣碰摩時(shí)的法向碰摩力模型，并給出了考慮多葉片同時(shí)發(fā)生不同碰摩時(shí)的計(jì)算公式.劉楊等[4]基于Hertz接觸理論的非線性碰摩力模型建模并進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，研究了不同剛度下的故障轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)在碰摩剛度較大時(shí)Hertz模型能更好地表征碰摩現(xiàn)象.Jiang等[5]基于文獻(xiàn)[3]提出的模型，在假設(shè)機(jī)匣變形為剛性的前提下，考慮葉片旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致的離心剛化影響，將轉(zhuǎn)速參數(shù)加入表達(dá)式中，修訂了旋轉(zhuǎn)葉片-機(jī)匣法向碰摩力模型.Ma等[6]從能量守恒的角度出發(fā)，建立了一種新型葉片-機(jī)匣碰摩模型，對比了各結(jié)構(gòu)參數(shù)對侵入量的影響，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模型的可行性.賴少將等[7]通過建立熱結(jié)構(gòu)耦合碰摩模型，分析了葉片-機(jī)匣碰摩時(shí)的摩擦熱分布，發(fā)現(xiàn)在實(shí)際工程問題中,需考慮摩擦熱效應(yīng)對葉尖表面損傷的影響.

由于葉片-機(jī)匣之間的碰撞可以看作柔性體與致密彈性體或者柔性體與柔性體之間的接觸[8]，所以在建模時(shí)除了需要考慮葉片-機(jī)匣碰摩過程中葉片和機(jī)匣的彈性變形外，還要同時(shí)考慮摩擦熱效應(yīng)導(dǎo)致的熱變形.綜上所述，現(xiàn)有的葉片-機(jī)匣表征模型均存在一定的局限性，即假設(shè)機(jī)匣為剛性體,且忽略了葉片形狀及局部接觸時(shí)的接觸力和變形之間的非線性關(guān)系.針對上述問題，本文推導(dǎo)出一種新的葉片-機(jī)匣Hertz(BC-Hertz)碰摩模型.該模型考慮了碰摩力在接觸區(qū)域內(nèi)的非線性變化，從而使其能夠適用于不同的機(jī)匣碰摩情況.在此基礎(chǔ)上通過熱固耦合仿真，分析摩擦熱效應(yīng)對碰摩產(chǎn)生的部件徑向形變量的影響.

圖1 葉片-機(jī)匣碰摩示意圖[6]Fig.1 Schematic of blade-casing rubbing[6]

1 葉片-機(jī)匣碰摩模型

葉片-機(jī)匣碰摩示意圖如圖1所示.其中，Rd為輪盤半徑；L為葉片長度；ω為轉(zhuǎn)子角速度；ub為葉尖位移；Ft為切向碰摩力；ucr為機(jī)匣徑向位移；ubr為葉尖徑向位移；δ為碰摩侵入量.現(xiàn)提出如下假設(shè)：

(1) 將葉片-機(jī)匣碰摩過程簡化為準(zhǔn)靜態(tài)接觸過程，發(fā)生碰摩時(shí)葉片-機(jī)匣的動(dòng)能以及應(yīng)變不再改變；

(2) 忽略碰摩過程中軸向壓縮勢能的影響；

(3) 輪盤為剛性體，葉片為懸臂梁，葉片材料各向同性；

(4) 各材料參數(shù)不隨溫度而改變；

(5) 忽略葉片-機(jī)匣在擠壓過程中的阻尼效應(yīng).

1.1 葉片彈性變形

將葉片看作懸臂梁，則葉尖的彎曲勢能應(yīng)滿足

(1)

式中：E為葉片的彈性模量；I0為葉片慣性矩；ε,h分別為葉片厚度及寬度.

葉片的離心勢能表達(dá)式為

(2)

式中：A0為葉片橫截面面積；ρ為葉片的材料密度.

葉尖法向碰摩力Fn和切向碰摩力Ft所做的功采用庫侖摩擦模型來描述，則葉尖碰摩力所做的功為

(3)

由彎曲導(dǎo)致的葉尖徑向位移ubr表達(dá)式為

(4)

1.2 葉片-機(jī)匣接觸理論

基于Hertz理論，兩彈性體碰撞所引起的法向碰摩力滿足

(5)

式中：kh為Hertz接觸剛度系數(shù)，由轉(zhuǎn)子-靜子部件的材料特性和幾何尺寸所確定；μ1和μ2分別為轉(zhuǎn)子和靜子的泊松比；E1和E2分別為轉(zhuǎn)子和靜子的彈性模量；R1和R2分別為轉(zhuǎn)子和靜子在接觸區(qū)域的曲率半徑.

1.3 摩擦熱效應(yīng)

考慮切向碰摩力的熱效應(yīng)，對部件接觸區(qū)域進(jìn)行熱固耦合分析，提出如下假設(shè)：

(1) 忽略熱輻射以及熱對流引起的熱損失；

(2) 碰摩的摩擦熱全部轉(zhuǎn)化成溫度的變化；

(3) 材料均為各向同性；

(4) 摩擦因數(shù)不隨溫度發(fā)生變化.

基于上述假設(shè)建立模型.柱坐標(biāo)系下準(zhǔn)靜態(tài)熱傳導(dǎo)方程為

(6)

(7)

kμ為摩擦因數(shù).

1.4 葉片機(jī)匣變形

對于純彈性碰摩模型，葉片-機(jī)匣碰摩侵入量為兩者純彈性徑向位移的總和，滿足

δ=ubr+ucr

(8)

考慮摩擦熱效應(yīng)時(shí)，碰摩侵入量為彈性和熱應(yīng)變下徑向位移的總和，即

(9)

2 葉片-機(jī)匣Hertz模型

2.1 葉片-機(jī)匣碰摩模型對比

針對葉片-機(jī)匣碰摩現(xiàn)象，本文只考慮純彈性形變，建立了一種新的BC-Hertz碰摩模型.根據(jù)式(4)、(5)和(8)，對侵入量與法向碰摩力、碰摩剛度、旋轉(zhuǎn)角速度、葉片厚度等參數(shù)間的關(guān)系進(jìn)行分析.基于Ma等[6]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對比驗(yàn)證BC-Hertz模型與Jiang模型[5]、Ma模型[6]的準(zhǔn)確性.其中，葉片厚度ε分別取3 mm(薄葉片)和5 mm(厚葉片)，轉(zhuǎn)速為 1 000 r/min.

圖2所示為法向碰摩力與侵入量的關(guān)系.對比結(jié)果表明：對于薄葉片，Jiang模型，Ma模型，BC-Hertz模型與文獻(xiàn)[6]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果均吻合較好；而對于厚葉片，Jiang模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差較大，BC-Hertz模型在侵入深度較小時(shí)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差較小，而在侵入深度較大時(shí)也具有較好的一致性.由于Jiang模型考慮機(jī)匣為剛性體，當(dāng)葉片厚度較小時(shí)，葉片剛度與機(jī)匣剛度相比而言其值較小，機(jī)匣的變形不明顯，所以在薄葉片的情況下誤差較??；當(dāng)葉片厚度增加時(shí)，葉片剛度變大，機(jī)匣變形不能忽略，而BC-Hertz模型和Ma模型均考慮了機(jī)匣變形對法向碰摩力的影響，所以在厚葉片的情況下也與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好.

圖2 法向碰摩力與侵入量的關(guān)系Fig.2 Normal rubbing force under different penetration depth

2.2 工況參數(shù)對碰摩力的影響

在發(fā)動(dòng)機(jī)葉片-機(jī)匣碰摩過程中，F(xiàn)n與kμ、δ、kh及ω之間的變化關(guān)系如圖3～6所示.由圖可知，F(xiàn)n隨kμ的增大而減小，隨kh、ω及δ的增大而增大.

圖3 法向碰摩力與摩擦因數(shù)和侵入量的關(guān)系Fig.3 Normal rubbing force under parameters of penetration depth and friction coefficient

在不同侵入深度下，kμ和kh與Fn之間的關(guān)系分別如圖3和4所示.由圖3可見：Fn及其曲線斜率隨kμ的增大而逐漸減小，即Fn變化趨緩；當(dāng)kμ=0.1～0.2 時(shí)，F(xiàn)n降幅明顯；當(dāng)kμ>0.2 時(shí)，F(xiàn)n降幅減小.另外，當(dāng)δ較大時(shí)，F(xiàn)n受kμ影響顯著；當(dāng)kμ較小時(shí)，F(xiàn)n受δ影響顯著.

由圖4可見：隨著kh的增大，F(xiàn)n增大，而其曲線斜率逐漸減小，即Fn變化趨緩，并趨于定值；當(dāng)δ較大時(shí)，F(xiàn)n受kh影響顯著；當(dāng)kh較大時(shí)，F(xiàn)n受δ影響顯著.

圖4 法向碰摩力與剛度系數(shù)和侵入量的關(guān)系Fig.4 Normal rubbing force under parameters of penetration depth and stiffness coefficient

圖5 法向碰摩力與侵入深度和旋轉(zhuǎn)速度的關(guān)系Fig.5 Normal rubbing force under parameters of penetration depth and rotation speed

圖6 法向碰摩力與剛度系數(shù)和旋轉(zhuǎn)速度的關(guān)系Fig.6 Normal rubbing force under parameters of stiffness coefficient and stiffness coefficient

在不同ω下，δ和kh與Fn之間的關(guān)系分別如圖5和6所示.由圖5可見：當(dāng)ω增加時(shí)，F(xiàn)n增大，且隨著ω增加，F(xiàn)n增幅變大；當(dāng)δ較大時(shí)，F(xiàn)n受ω影響顯著；當(dāng)ω較大時(shí)，F(xiàn)n受δ影響顯著.

由圖6可見：當(dāng)kh較大時(shí)，F(xiàn)n受ω影響顯著；當(dāng)ω較小時(shí)，F(xiàn)n幾乎不受kh的影響；當(dāng)ω較大時(shí)，F(xiàn)n受kh影響顯著.

3 摩擦熱效應(yīng)

假定葉片和機(jī)匣之間的熱分布權(quán)重系數(shù)為 0.5，在Abaqus軟件中建立仿真模型，對葉片進(jìn)行熱固耦合分析.設(shè)葉片轉(zhuǎn)速ω=3 000 r/min，法向碰摩力Fn=1 kN，摩擦因數(shù)kμ=0.2，葉片厚度ε=3 mm.葉片的摩擦熱效應(yīng)材料參數(shù)如表1所示，其中：λ為熱導(dǎo)率；α為膨脹系數(shù)；C為比熱容.

表1 摩擦熱效應(yīng)材料參數(shù)表Tab.1 Parameters for calculating friction thermal effect

圖7 葉片應(yīng)力云圖(Pa)Fig.7 Mises of blade (Pa)

圖8 葉片徑向變形量(m)Fig.8 Radial deformation of blade (m)

純彈性和考慮熱效應(yīng)下的葉片應(yīng)力分布如圖7所示.由圖7(a)可知，純彈性載荷下葉片的最大應(yīng)力發(fā)生在葉根背部；由圖7(b)可知，考慮摩擦熱時(shí)的最大應(yīng)力發(fā)生在碰摩接觸區(qū)域.純彈性和考慮熱效應(yīng)下的葉片徑向變形情況如圖8所示.由圖8(a)可知，純彈性變形下的最大徑向變形量為 3.13 μm；由圖8(b)可知，考慮摩擦熱效應(yīng)下的最大徑向變形量為 3.56 μm.因此，在分析碰摩模型中徑向形變量與碰摩力、轉(zhuǎn)速等因素的關(guān)系時(shí)，摩擦熱效應(yīng)的影響不可忽略，并且需考慮摩擦熱效應(yīng)對葉片材料結(jié)構(gòu)的影響.

4 結(jié)論

基于Hertz接觸理論推導(dǎo)了葉片-機(jī)匣碰摩模型，相比于現(xiàn)有模型，該模型考慮了葉片彎曲變形、旋轉(zhuǎn)特性對碰摩力的影響以及在發(fā)生碰摩時(shí)法向碰摩力與變形量的非線性關(guān)系；通過對比其他學(xué)者的模型及其相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證了BC-Hertz碰摩模型的準(zhǔn)確性.基于BC-Hertz模型可獲得法向碰摩力與不同參數(shù)的三維曲面圖，并可分析不同參數(shù)對法向碰摩力的影響；建立葉片熱固耦合仿真模型，對比了純彈性碰摩模型和熱碰摩模型的差異.主要結(jié)論如下：

(1) 當(dāng)摩擦因數(shù)增加時(shí)，法向碰摩力逐漸減小，且曲線斜率逐漸減小；當(dāng)摩擦因數(shù)在 0.1～0.2 之間時(shí)，法向碰摩力降幅明顯；當(dāng)摩擦因數(shù)大于 0.2 時(shí)，法向碰摩力降幅減小.

(2) 當(dāng)剛度系數(shù)變大時(shí)，法向碰摩力增大，且曲線斜率逐漸減小，法向碰摩力的增幅逐漸減??；當(dāng)剛度系數(shù)達(dá)到一定程度后，法向碰摩力趨于固定值.

(3) 摩擦熱效應(yīng)將在接觸區(qū)域附近產(chǎn)生較大的熱應(yīng)力，增大部件的徑向位移，在實(shí)際工程中應(yīng)考慮葉片-機(jī)匣碰摩產(chǎn)生的摩擦熱對葉尖間隙以及葉片材料結(jié)構(gòu)的影響.