復(fù)雜抽樣情形下樣本量的確定

張幗奮

【摘要】本文討論了如何在一個抽樣調(diào)查項目中設(shè)計抽樣方案，確定樣本量，以及估計目標指標的精度的問題，并將教科書中相關(guān)問題進行總結(jié)，提出一些想法.

【關(guān)鍵詞】抽樣調(diào)查;樣本量;PPS抽樣

一、引 言

《抽樣調(diào)查》課程的基本內(nèi)容是介紹簡單隨機抽樣、分層抽樣、整群抽樣、多階段抽樣、不等概率抽樣、系統(tǒng)抽樣，以及基于這些抽樣方式下樣本量的確定問題.但在實際問題中，一個抽樣調(diào)查方案往往會將幾種抽樣方式綜合起來使用，成為一個復(fù)雜抽樣方案.如何設(shè)計抽樣方案？樣本量取多少？如何估計目標指標的精度等問題隨之產(chǎn)生.本文針對這些問題將教科書[1]中的已有結(jié)論進行綜合，并提出自己的一些想法.

二、如何抽樣

根據(jù)是否依據(jù)隨機原則抽樣可以將抽樣方式分為概率抽樣與非概率抽樣.

非概率抽樣包括方便抽樣、自愿樣本、配額抽樣等.例如，為了解杭州市民消費情況，選擇若干大超市購物中心發(fā)放問卷進行調(diào)查;為了解杭州市民對“看病難”問題的看法，選擇若干家醫(yī)院，對病人及醫(yī)護人員進行攔截式問卷調(diào)查;為了解大學生對網(wǎng)上某種現(xiàn)象的看法，在網(wǎng)上發(fā)起調(diào)查等等.這些調(diào)查都是非概率抽樣調(diào)查，其特點是能夠方便快捷獲得樣本數(shù)據(jù)，這對調(diào)查一些突發(fā)的，需要及時了解民眾態(tài)度的調(diào)查項目來說是很有必要的，從這些調(diào)查中能夠及時發(fā)現(xiàn)問題，從而提出應(yīng)對措施.但非概率抽樣效果的好壞很大程度上依賴抽樣者主觀判斷能力和經(jīng)驗，它不能計算抽樣誤差，不能從概率意義上控制誤差并以此來保證推斷的準確性[1].

為了保證抽樣的準確性，控制抽樣誤差，就需要采用概率抽樣.基本的概率抽樣方法就是前面提到的簡單隨機抽樣、分層抽樣、整群抽樣、多階段抽樣、不等概率抽樣、系統(tǒng)抽樣等.而具體在確定抽樣方案時往往要將多種抽樣方式組合使用.例如，要對杭州市高校學生進行抽樣調(diào)查，可以采用三階段PPS抽樣：第一階段列出在杭全部高校名冊抽樣框，及相應(yīng)的在校學生人數(shù)，按照與在校學生人數(shù)成比例的概率抽取n個大學，第二階段，對抽中的這n個大學，每個學校列出學院名冊的抽樣框及學院人數(shù)，按照與學院人數(shù)成比例的概率抽取m個學院（每個學校抽取的學院個數(shù)相同），第三階段，在抽中的學院中列出學院全部學生名冊抽樣框，并隨機抽取l名學生（每個學院抽取的學生數(shù)相同），這樣共抽取樣本量為lmn的學生數(shù)據(jù).而這種抽樣設(shè)計是自加權(quán)的，其優(yōu)點是在不考慮非抽樣誤差的情況下，可以認為自加權(quán)樣本完全代表了總體，此時可以用標準的統(tǒng)計方法來進行點估計，否則的話，在大規(guī)模調(diào)查中，樣本量很大，而每個單位的權(quán)數(shù)不等，計算權(quán)數(shù)的工作量很大，對參數(shù)進行估計都要加權(quán)會使得數(shù)據(jù)處理相當復(fù)雜[1].如果將高校分為本科院校與專科院校，則可以采用分層三階段PPS抽樣;如果每個年級的學生都要抽到，則可以再按年級分層;如果每個學校按宿舍樓抽樣，就要有宿舍樓的抽樣框等等.由此可見，同樣是抽取高校學生進行調(diào)查，如果根據(jù)方便選中幾個高校，然后在高校的圖書館、教室、食堂等地進行調(diào)查，就是非概率抽樣，無法計算抽樣誤差，如果按照多階段PPS抽樣（例如，按學院或者按宿舍樓），則需要每個階段的抽樣框，按一定的概率抽取樣本，此時可以計算抽樣誤差，以及根據(jù)誤差限度確定樣本量.

三、樣本量的確定

通常情況下，復(fù)雜抽樣樣本量的確定需要根據(jù)置信度1-α 以及絕對誤差限度d（或相對誤差限度r）先計算在簡單隨機抽樣情況下的樣本量，再估計設(shè)計效應(yīng)及樣本的有效率綜合而成.

如何計算簡單隨機抽樣的樣本量？我們知道，在進行抽樣調(diào)查時，調(diào)查問卷上的問題少則二三十個，多則上百個，甚至數(shù)百個，每個問題取值的離散程度是不一樣的，如果要使所有指標都達到一定的精度要求，則在考慮抽樣方案時，必須根據(jù)離散程度最大的指標來設(shè)計[2].這將導(dǎo)致很大的樣本量，也是不切實際的，所以通常的做法應(yīng)該是以調(diào)查的一兩個主要問題為目標指標進行抽樣設(shè)計.

例如，某項調(diào)查主要目標是關(guān)注滿意度這個指標，而在問卷中將該項指標設(shè)計為：1.非常不滿意，2.不滿意，3.一般，4.滿意，5.非常滿意.情形一，如果將問題轉(zhuǎn)化為考慮滿意的比例P，也就是選4和5的比例，Q=1-P，則利用公式

就可以計算樣本量n.其中N是總體數(shù)，當N很大時，n≈t2PQd2.關(guān)于t，d，P的取值，t是置信度為1-α的標準正態(tài)分布上α2分位數(shù)，通常取置信度為95%，此時t=1.96，絕對誤差限度d常取為0.05，而P在調(diào)查前未知，一種辦法是保守計算，當P=0.5時PQ達到最大值0.25;另一種辦法是進行預(yù)調(diào)查，得到P的估計值，比如，估計值P=0.8，則PQ=0.16.

情形二，如果該項指標按得分計算，根據(jù)置信度1-α以及絕對誤差限度d，則計算樣本容量的公式為

當N很大時，n≈t2S2d2;根據(jù)置信度1-α與相對誤差限度r，則計算樣本容量的公式由

確定.在公式（2）中需要估計總體方差S2，在公式（3）中需要估計總體變異系數(shù)c=SY.一般估計總體方差和總體變異系數(shù)需要進行預(yù)調(diào)查，根據(jù)預(yù)調(diào)查數(shù)據(jù)進行計算，或者是采用以往的文獻資料數(shù)據(jù)估計;絕對誤差限度d在估計比例P時常取不超過0.05，如果是1～5的計分問題可以適當放寬，比如，取0.1，0.2等，相對誤差限度r可以取10%～20%左右.

在獲得簡單隨機抽樣情況的樣本量以后，考慮復(fù)雜樣本與簡單隨機樣本之間的設(shè)計效應(yīng)deff，deff定義為任意抽樣方式下的抽樣方差除以簡單隨機抽樣方式下的抽樣方差的商.一般地，簡單隨機抽樣的deff=1，分層隨機抽樣的deff<1，整群隨機抽樣的deff>1，系統(tǒng)隨機抽樣的deff≈1[1].如前面提到的分層多階段PPS抽樣，估計設(shè)計效應(yīng)在2～3左右，再將有效問卷的比例a考慮進去，最后的樣本容量為n′=n×deffa.如果將n′分解為前面例子高校學生抽樣方案中的lmn，再將樣本量分配到各階段就可以完成抽樣.