兩種結(jié)構(gòu)小直徑TP2銅管爆破壓力的同質(zhì)性

楊 帆 劉 岑 張紅衛(wèi) 劉 兵 范有雄 劉小寧

(1.武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院 湖北 武漢：430205；2.湖北輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院 湖北 武漢：430070)

在食品、醫(yī)藥、衛(wèi)生、醫(yī)療領(lǐng)域以及工業(yè)與民用熱交換器中，經(jīng)常采用外直徑為Φ7.00～Φ12.70的小直徑軟態(tài)TP2銅管輸送有一定工作壓力的液體或氣體；為保證銅管強(qiáng)度的安全，計(jì)算其爆破壓力必須準(zhǔn)確。

銅光管與銅內(nèi)螺紋管是小直徑軟態(tài)TP2銅管常見的兩種結(jié)構(gòu)，這兩種結(jié)構(gòu)銅管爆破壓力的同質(zhì)性，是指在相同條件時(shí)，其爆破壓力試驗(yàn)數(shù)據(jù)的波動(dòng)在允許范圍內(nèi)，并能真實(shí)反映軟態(tài)TP2銅材相應(yīng)性能的性質(zhì)。顯然，同質(zhì)性不但是兩種結(jié)構(gòu)銅管爆破壓力能否采用同一公式計(jì)算的前提[1-3]，而且還是兩種結(jié)構(gòu)銅管爆破壓力概率分布分析的基礎(chǔ)[4-8]。目前尚未見到對(duì)不同結(jié)構(gòu)小直徑軟態(tài)TP2銅管爆破壓力同質(zhì)性的研究。

文中以外直徑為Φ7.00～Φ12.70的小直徑TP2銅光管與銅內(nèi)螺紋管為研究對(duì)象，分別將其實(shí)測(cè)爆破壓力與中徑公式計(jì)算值之比視為隨機(jī)變量，基于27組不同結(jié)構(gòu)銅管實(shí)測(cè)爆破壓力[3]的有效性分析[9-11]，應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論方法[12-13]，研究了兩種結(jié)構(gòu)小直徑TP2銅管爆破壓力的同質(zhì)性。

1 基本理論與方法

1.1 具有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)隨機(jī)變量的構(gòu)建

1.1.1 小直徑TP2銅管爆破壓力計(jì)算公式

假設(shè)小直徑軟態(tài)TP2銅光管與銅內(nèi)螺紋管的爆破壓力具有同質(zhì)性，對(duì)于爆破壓力不受端部結(jié)構(gòu)影響的長(zhǎng)銅管[14-16]，用中徑公式計(jì)算其爆破壓力[3]：

(1)

式中，u為銅管爆破壓力的中徑公式計(jì)算值，MPa；Rm為銅材抗拉強(qiáng)度的均值，MPa；K為銅管徑比的均值，K=D0/Di；Di、D0分別為銅管內(nèi)、外直徑的均值，mm。

1.1.2 構(gòu)建具有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的隨機(jī)變量

構(gòu)建如下具有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的隨機(jī)變量

(2)

式中，p為小直徑TP2銅管爆破壓力的實(shí)測(cè)值，MPa；r為具有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的的隨機(jī)變量。

1.2 統(tǒng)計(jì)量及其有效性

通過試驗(yàn)可得到相同結(jié)構(gòu)小直徑TP2銅管爆破壓力的n組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)pi(1≤i≤n)，根據(jù)式(1)可得到爆破壓力的中徑公式計(jì)算值ui(1≤i≤n)，對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量由式(2)可得：

(3)

式中，ui為采用中徑公式算得的第i個(gè)小直徑TP2銅管爆破壓力，MPa；pi為第i個(gè)小直徑TP2銅管爆破壓力的實(shí)測(cè)值，MPa；ri為統(tǒng)計(jì)量。

對(duì)n組爆破壓力實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到統(tǒng)計(jì)量的平均值與精密度：

(4)

(5)

應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的t分布是判別統(tǒng)計(jì)量有效性的基本方法[9-11]，在雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)，由t分布性質(zhì)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)組數(shù)n，可確定判別統(tǒng)計(jì)量有效性的t分布系數(shù)tn-1,0.5α，文中所用的t分布系數(shù)見表1[12-13]。

表1 有關(guān)分布系數(shù)

判別ri有效性的指標(biāo)為[14-17]：

(6)

若

|ti|>t0.5α,n-1

(7)

表明ri不是有效統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，需要剔除；應(yīng)從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)ri的最小值或者最大值開始剔除無效數(shù)據(jù)，每剔除1個(gè)無效數(shù)據(jù)，都必須計(jì)算其余數(shù)據(jù)的平均值與精密度，再判別其余數(shù)據(jù)的有效性；若有m個(gè)有效數(shù)據(jù)，則最后按式(4)與式(5)，重新計(jì)算m個(gè)有效數(shù)據(jù)的平均值與精密度。

若

|ti|

(8)

表明ri是有效統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

文中取α=0.05，即在雙側(cè)置信度為95%時(shí)分析統(tǒng)計(jì)量的有效性，表明有95%把握認(rèn)為剔除的無效數(shù)據(jù)是意外因素影響而形成的。

1.3 不同結(jié)構(gòu)銅管爆破壓力的同質(zhì)性

對(duì)于小直徑軟態(tài)TP2銅光管(結(jié)構(gòu)A)，具有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的隨機(jī)變量

式中，pA為小直徑軟態(tài)TP2銅光管(結(jié)構(gòu)A)實(shí)測(cè)爆破壓力，MPa；u為采用中徑公式算得的小直徑TP2銅光管(結(jié)構(gòu)A)爆破壓力，MPa。

通過試驗(yàn)，如果獲得小直徑軟態(tài)TP2銅光管(結(jié)構(gòu)A)爆破壓力pA的nA組有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)pAi(i=1，2，…，nA)，不難得到pA的統(tǒng)計(jì)量：

式中，pAi為小直徑軟態(tài)TP2銅光管的第i個(gè)有效實(shí)測(cè)爆破壓力，MPa；uAi為采用中徑公式算得的小直徑TP2銅光管的第i個(gè)爆破壓力，MPa；rAi為小直徑TP2銅光管的第i個(gè)爆破壓力與中徑公式計(jì)算值之比。

對(duì)nA組有效實(shí)測(cè)爆破壓力數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到統(tǒng)計(jì)量的平均值與精密度：

(9)

(10)

對(duì)于小直徑軟態(tài)TP2銅內(nèi)螺紋管(結(jié)構(gòu)B)，具有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的隨機(jī)變量

式中，pB為小直徑軟態(tài)TP2銅內(nèi)螺紋管(結(jié)構(gòu)B)實(shí)測(cè)爆破壓力，MPa；uB為采用中徑公式算得的小直徑TP2銅內(nèi)螺紋管(結(jié)構(gòu)B)爆破壓力，MPa。

通過試驗(yàn)，如果獲得小直徑軟態(tài)TP2銅內(nèi)螺紋管(結(jié)構(gòu)B)爆破壓力pB的nB組有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)pBi(i=1，2，…，nB)，不難得到pB的統(tǒng)計(jì)量：

式中，pBi為小直徑軟態(tài)TP2銅內(nèi)螺紋管的第i個(gè)有效實(shí)測(cè)爆破壓力，MPa；uBi為采用中徑公式算得的小直徑TP2銅內(nèi)螺紋管的第i個(gè)爆破壓力，MPa；rBi為小直徑TP2銅內(nèi)螺紋管的第i個(gè)爆破壓力與中徑公式計(jì)算值之比。

對(duì)nB組有效實(shí)測(cè)爆破壓力數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到統(tǒng)計(jì)量的平均值與精密度：

(11)

(12)

假設(shè)rA與rB都是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其均值分別為μA與μB，標(biāo)準(zhǔn)差分別為σA與σB。小直徑軟態(tài)TP2銅光管(結(jié)構(gòu)A)爆破壓力與銅內(nèi)螺紋管(結(jié)構(gòu)B)爆破壓力同質(zhì)性的判據(jù)為：

μA≈μB，σA≈σB

(13)

即rA與rB的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別無顯著差異。

1.3.1 標(biāo)準(zhǔn)差無顯著差異的判別

數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的F分布，是比較標(biāo)準(zhǔn)差σA與σB是否存在顯著差異的工具，比較依據(jù)為[17-18]：

(14)

若

F1-0.5α,nA-1,nB-1≤F≤F0.5α,nA-1,nB-1

(15)

表明在雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差σA≈σB，即標(biāo)準(zhǔn)差σA與σB無顯著差異。

其中

取α=0.02，文中所用的F分布系數(shù)見表1[12-13]。

1.3.2 均值無顯著差異的判別

數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的t分布也是比較均值μA與μB是否存在顯著差異的工具。假設(shè)σA≈σB，則均值μA與μB是否存在顯著差異的比較依據(jù)為[17]：

(16)

其中

(17)

若

|t|≤tnA+nB-2,0.5α

(18)

表明在雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)的μA≈μB，即均值μA與μB無顯著差異。

取α=0.02，文中所用的t分布系數(shù)見表1[12-13]。

1.3.3 評(píng)價(jià)

當(dāng)均值μA與μB和標(biāo)準(zhǔn)差σA與σB滿足式(13)時(shí)，表明rA與rB概率分布相同，rA與rB的分布規(guī)律一樣和分布參數(shù)相同，即小直徑軟態(tài)TP2銅光管與銅內(nèi)螺紋管的爆破壓力具有同質(zhì)性。

1.4 概率分布

由以上分析可知，可將小直徑軟態(tài)TP2銅光管與銅內(nèi)螺紋管的有效爆破壓力合并，研究隨機(jī)變量r的概率分布，概率分布包括兩個(gè)內(nèi)容，一是分布規(guī)律，二是分布參數(shù)。

1.4.1 分布規(guī)律

基于合并的同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可采用假設(shè)檢驗(yàn)的方法[17-19]，分析隨機(jī)變量r的分布規(guī)律。

1.4.2 分布參數(shù)

①均值的取值區(qū)間。雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)，r的均值μ的取值區(qū)間為：

μ∈[μmin，μmax]

(19)

其中

(20)

(21)

式中，μmin與μmax分別為均值μ在雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)的下限與上限；t0.5α，n-1為t分布系數(shù)，由自由度(n-1)與0.5α查得。

本文取α=0.02，所用的t分布系數(shù)見表1。

②標(biāo)準(zhǔn)差的取值區(qū)間。雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)，r的標(biāo)準(zhǔn)差σ取值范圍為：

σ∈[σmin，σmax]

(22)

其中

(23)

(24)

本文取α=0.02，所用的χ2分布系數(shù)見表1。

③變異系數(shù)的取值范圍。雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)，r的變異系數(shù)C取值范圍為：

C∈[Cmin，Cmax]

(25)

其中

Cmin=σmin/μmax，Cmax=σmax/μmin

(26)

式中，Cmin與Cmax分別為C在雙側(cè)置信度為(1-α)時(shí)的下限與上限。

2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)量的有效性

有關(guān)單位利用材質(zhì)為軟態(tài)TP2、外直徑為Φ7.00～Φ12.70、徑比為1.0601～1.1724的不同結(jié)構(gòu)銅管進(jìn)行室溫液壓爆破試驗(yàn)。

對(duì)于小直徑軟態(tài)TP2銅光管，獲得15組爆破壓力試驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)將爆破試驗(yàn)數(shù)據(jù)列入表2，表2中序號(hào)12～15的銅光管爆破口出現(xiàn)在釬焊處?，F(xiàn)將與爆破試驗(yàn)數(shù)據(jù)pAi及統(tǒng)計(jì)值rAi也列入表2。對(duì)于小直徑軟態(tài)TP2銅內(nèi)螺紋管，獲得了12組爆破壓力試驗(yàn)數(shù)據(jù)pBi，現(xiàn)將其及統(tǒng)計(jì)值rBi列入表3。

表2 銅光管(A)爆破壓力試驗(yàn)數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)量

表3 銅內(nèi)螺紋管(B)爆破壓力試驗(yàn)數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)量

2.1 銅光管

取試驗(yàn)數(shù)據(jù)有效性的雙側(cè)置信度為95%時(shí)，對(duì)于15組銅光管試驗(yàn)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)值的最小值為表2中序號(hào)第15的試驗(yàn)數(shù)據(jù)r15=0.7242，用式(3)與式(4) 可知判據(jù)|t15|= 2.397>t14,0.025=2.145，因此，第15號(hào)數(shù)據(jù)無效。對(duì)余下14組銅光管統(tǒng)計(jì)值重新計(jì)算平均值與精密度，統(tǒng)計(jì)值的最小值是表2中序號(hào)為第14的試驗(yàn)數(shù)據(jù)r14=0.7496，再次用式(3)與式(4)可知，|t14|=2.992>t13,0.025=2.160，因此，序號(hào)為14的數(shù)據(jù)無效。對(duì)其余的13組銅光管統(tǒng)計(jì)值再次計(jì)算平均值與精密度，用式(3)與式(4)可知，13組試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)值均有|ti|

表4 銅光管(A)統(tǒng)計(jì)量的平均值與精密度

2.2 銅內(nèi)螺紋管

對(duì)于表3中序號(hào)為1～12的12組銅內(nèi)螺紋管試驗(yàn)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)值的最小值是序號(hào)為第12的試驗(yàn)數(shù)據(jù)r12=0.8240，用式(3)與式(4)可知判據(jù)|t12|=2.612>t11,0.025=2.201，因此，第12組數(shù)據(jù)無效。對(duì)余下的11組銅內(nèi)螺紋管試驗(yàn)數(shù)據(jù)再次計(jì)算平均值與精密度，用式(3)與式(4)可知，表3中序號(hào)為1～11的11組試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)值均有|ti|

表5 銅內(nèi)螺紋管(B)統(tǒng)計(jì)量的平均值與精密度

研究表明，釬焊加熱可使焊縫附近的銅管材料退火，嚴(yán)重時(shí)會(huì)產(chǎn)生過熱和過燒，導(dǎo)致銅管爆破壓力降低[3]；文中剔除的是3組爆破壓力過低的無效數(shù)據(jù)，筆者認(rèn)為是過熱和過燒造成的，因此，過熱和過燒導(dǎo)致銅管爆破壓力降低的現(xiàn)象，應(yīng)引起學(xué)術(shù)界與工程界的高度重視。

3 同質(zhì)性分析

3.1 標(biāo)準(zhǔn)差

對(duì)于小直徑軟態(tài)TP2銅光管與銅內(nèi)螺紋管，其有效爆破壓力的統(tǒng)計(jì)值見表4與表5，由式(14)可得到標(biāo)準(zhǔn)差的比較依據(jù)：

根據(jù)表1，F(xiàn)0.99,12,10=0.206，F(xiàn)0.01,12,10=5.11，顯然F滿足式(15)，即0.206≤F≤5.11，表明在雙側(cè)置信度為98%時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差σA≈σB，即σA與σB無顯著差異。

3.2 均值

由于σA與σB無顯著差異，由式(17)可得：

=0.04220

由式(16)可得到均值的比較依據(jù)：

根據(jù)表1，t0.02, 22=2.183，顯然t滿足式(18)：|t|=0.2834

3.3 同質(zhì)性評(píng)價(jià)

根據(jù)以上分析，在雙側(cè)置信度為98%時(shí)，有μA≈μB與σA≈σB，滿足式(13)，即rA與rB具有相同的概率分布，故小直徑軟態(tài)TP2銅光管與銅內(nèi)螺紋管的爆破壓力具有同質(zhì)性。因此，采用中徑公式計(jì)算銅光管與銅內(nèi)螺紋管的爆破壓力合適。

從以上分析還可知，與銅光管相比，內(nèi)螺紋對(duì)小直徑軟態(tài)TP2銅管爆破壓力的影響不明顯。

4 概率分布

4.1 分布規(guī)律

分布規(guī)律假設(shè)檢驗(yàn)的基本方法見[4-8，19-23]。

4.1.1rA與rB的分布規(guī)律

①假設(shè)隨機(jī)變量rA與rB基本符合正態(tài)分布。rA與rB分別有13組與11組有效統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，因1+3.3lg13= 4.67與1+3.3lg11=4.44，故將其分別分為5個(gè)區(qū)間。

②計(jì)算皮爾遜統(tǒng)計(jì)量之和。rA與rB每個(gè)區(qū)間實(shí)際頻數(shù)與理論頻數(shù)差異的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量之和見表6。

表6 rA與rB的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量

③檢驗(yàn)。由于rA與rB的自由度都為f=5-1-2=2，取顯著度δ=0.05，皮爾遜統(tǒng)計(jì)量的允許值由表1得：

4.1.2 r的分布規(guī)律

①同質(zhì)性有效數(shù)據(jù)的合并。由于小直徑軟態(tài)TP2銅光管與銅內(nèi)螺紋管的有效爆破壓力是同質(zhì)的，因此，可將銅光管與銅內(nèi)螺紋管有效爆破壓力的統(tǒng)計(jì)值合并，見表7。

表7 銅光管與銅內(nèi)螺紋管統(tǒng)計(jì)量的平均值與精密度

4.2 分布參數(shù)

4.2.1rA的分布參數(shù)

雙側(cè)置信度為98%時(shí)，基于表4數(shù)據(jù)，由式(19)～式(21)可得rA均值μA的取值區(qū)間：

μA∈[0.9428，1.0120]

(27)

由式(22)～式(24)可得rA標(biāo)準(zhǔn)差σA的取值范圍：

σA∈[0.02652，0.07186]

(28)

將式(18)與式(19)代入式(25)與式(26)，可得rA變異系數(shù)CA的取值范圍：

CA∈[0.02621，0.07622]

(29)

4.2.2rB的分布參數(shù)

雙側(cè)置信度為98%時(shí)，基于表5數(shù)據(jù)，由式(19)～式(21)可得rB均值μB的取值區(qū)間：

μB∈[0.9367，1.0279]

(30)

表8 r的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量

由式(22)～式(24)可得rB標(biāo)準(zhǔn)差σB的取值范圍：

σB∈[0.02989，0.09002]

(31)

將式(18)與式(19)代入式(25)與式(26)，可得rB變異系數(shù)CB的取值范圍：

CB∈[0.02907，0.09611]

(32)

4.2.3r的分布參數(shù)

雙側(cè)置信度為98%時(shí)，基于表7數(shù)據(jù)，由式(19)～式(21)可得r均值μ的取值區(qū)間：

μ∈[0.9641，1.0083]

(33)

由式(22)～式(24)可得r標(biāo)準(zhǔn)差σ的取值范圍：

σ∈[0.03153，0.06373]

(34)

將式(18)與式(19)代入式(25)與式(26)，可得r變異系數(shù)C的取值范圍：

C∈[0.03127，0.06610]

(35)

4.2.4 關(guān)于分布參數(shù)的討論

根據(jù)以上分析，隨機(jī)變量rA與rB具有同質(zhì)性，但是，從式(27)～式(35)可知，rA與rB的分布參數(shù)取值區(qū)間存在一些差別，可認(rèn)為這是有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)的差異造成的。另外，利用兩個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量分布參數(shù)的比較方法[20]，可知隨機(jī)變量rA與rB的分布參數(shù)取值區(qū)間無顯著差異。

由于隨機(jī)變量rA與rB具有同質(zhì)性，將其有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)合并，得到隨機(jī)變量r的分布參數(shù)取值區(qū)間，比較式(27)～式(35)，即分析rA、rB與r分布參數(shù)的取值區(qū)間，可以發(fā)現(xiàn)r分布參數(shù)的取值區(qū)間是最優(yōu)的。

5 結(jié)論

應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論與方法，建立了小直徑軟態(tài)TP2銅光管與銅內(nèi)螺紋管爆破壓力同質(zhì)性的分析方法，基于24組有效實(shí)測(cè)爆破壓力數(shù)據(jù)，得到如下結(jié)論。

1)不考慮端部結(jié)構(gòu)的影響，文中兩種結(jié)構(gòu)小直徑軟態(tài)TP2銅光管與銅內(nèi)螺紋管的爆破壓力具有同質(zhì)性，內(nèi)螺紋對(duì)小直徑軟態(tài)TP2銅管爆破壓力的影響不明顯，可用中徑公式計(jì)算銅光管與銅內(nèi)螺紋管的爆破壓力。

2)在顯著度為0.05時(shí)，小直徑TP2銅管24組有效爆破壓力的實(shí)測(cè)值與中徑公式計(jì)算值之比，是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量；在雙側(cè)置信度98%時(shí)，該隨機(jī)變量的均值位于0.9641與1.0083之間，標(biāo)準(zhǔn)差位于0.03153與0.06373之間，變異系數(shù)位于0.03127與0.06610之間。