全國名校拋物線技高卷（B卷）

劉俊報

一、選擇題

1.拋物線y=-x2的準線方程是（）。

A.

B.

C.

D.

2.拋物線上的動點Q到其焦點的距離的最小值為1，則p=（）。

A.

B.

C.

D.

3.如圖1，在同一平面內，A、B為兩個不同的定點，圓A和圓B的半徑都為r，射線AB交圓A于點P，過P作圓A的切線l，當變化時，切線l與圓B的公共點的軌跡是（）。

A.圓

B.橢圓

C.雙曲線的一支

D.拋物線

4.已知m，n∈R，則“mn<0”是“拋物線mx2+ny=0的焦點在y軸正半軸上”的（）。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

5.已知拋物線y2=4x，過焦點F作直線與拋物線交于點A，B，設|AF|=m，|BF|=n，則m+n的最小值為（）。

A.2

B.3

C.√23

D.4

6.已知拋物線的焦點為F，準線為l，A，B是拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=60°。設線段AB的中點M在準線l上的投影為N，則（）。

A.|AB|≥2|MN|

B.2|AB|≥3|MN|

C.|AB|≥3|MN|

D.|AB|≥|MN|

7.拋物線x2=8y的焦點為F，過點F的直線交拋物線于M、N兩點，點P為x軸正半軸上任意一點，則（OP+PM）·（PO-PN）=（）。

A.-20

B.12

C.-12

D.20

8.如果P1，P2，…Pn，是拋物線上的點，它們的橫坐標依次為x1，x2，…，xn，點F是拋物線C的焦點，若x1+x2+…+xn=10，則|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=（）。

A.n+10

B.n+20

C.2n+10

D.2n+20

9.F是拋物線y2=2x的焦點，以F為端點的射線與拋物線相交于A，與拋物線的準線相交于B，若FB=4FA，則FA·FB=（）。

A.1

B.3/2

C.2

D.9

10.過拋物線的焦點且垂直于y軸的直線與拋物線C交于A，B兩點。關于拋物線C在A，B兩點處的切線，有下列四個命題，其中真命題有（）。

①兩切線互相垂直;②兩切線關于y軸對稱;③過兩切點的直線方程為;④兩切線方程為。

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

11.已知點A是拋物線上的一點，若以其焦點F為圓心，以|FA|為半徑的圓交拋物線的準線于B、C兩點，設∠BFC=θ且滿足2sin2θ+sinθ—sin20=3cosθ，當△ABC的面積為時，則實數(shù)p的值為（）。

A.4

B.

C.8

D.

12.已知拋物線的焦點為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點，|AB|=6，則AB中點到y(tǒng)軸的距離是（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

13.若拋物線的焦點是F，準線是l，點M（4，m）是拋物線上一點，則經(jīng)過點F、M且與l相切的圓共有（）。

A.0個

B.1個

C.2個

D.4個

14.已知點F為拋物線的焦點，O為原點，點P是拋物線準線上一動點，點A在拋物線上，且|AF|=4，則|PA|+|PO|的最小值為（）。

A.6

B.2+4√2

C.2√13

D.4+2√5

15.點P在直線l：y=x-1上，若存在過P的直線交拋物線y=x2于A、B兩點，且|PA|=2|AB|，則稱點P為“δ點”。下列結論中正確的是（）。

A.直線l上的所有點都是“δ點”

B.直線l上僅有有限個點是“δ點”

C.直線l上的所有點都不是“8點”

D.直線l上有無窮多個點是“δ點”，但不是所有的都是“δ點"

16.過拋物線y2=x的焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點，且直線l的傾斜角，點A在x軸上方，則|FA|的取值范圍是（），

A.

B.

C.

D.

17.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點F作斜率為1的直線l交拋物線C于P，Q兩點，則-的值為（）。

A.

B.

C.1

D.2

18.已知拋物線y2=4x的焦點為F，點P為拋物線上的動點，點M為其準線上的動點，當△FPM是以點P為直角頂點的等腰直角三角形時，其面積為（）。

A.

B.

C.

D.

19.如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是上底面A1B1C1D1內一動點，PM垂直AD于M，|PM|=|PB|，則點P的軌跡為（）。

A.線段

B.橢圓的一部分

C.拋物線的一部分

D.雙曲線的一部分

20.已知直線y=k（x+2）（k>0）與拋物線C：y2=8x相交于A、B兩點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，若|FA|=2|FB|，則k的值為（）。

A.

B.

C.

D.

21.已知點A是拋物線M：y2=2px（p>0）與圓C：x2+（y-4）2=a2在第一象限的公共點，且點A到拋物線M的焦點F的距離等于a，若拋物線M上一動點到其準線與到點C的距離之和的最小值為2a，O為坐標原點，則直線OA被圓C所截得的弦長為（）。

A.2

B.

C.

D.

22.過拋物線y2=2px（p>0）焦點F的直線與拋物線交于點A、B，O是坐標原點，且滿足AF=2FB，則拋物線的標準方程為（）。

A.

B.

C.

D.

23.已知拋物線的焦點F是橢圓（a>b>0）的一個焦點，且該拋物線的準線與橢圓相交于A、B兩點，若△FAB是正三角形，則橢圓的離心率為（）。

A.

B.

C.

D.

24.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，準線為l，P為拋物線C上一點，PQ垂直l于點Q，M，N分別為PQ，PF的中點，MN與x軸相交于點R，若NRF=60°，則|FR|等于（）。

A.1/2

B.1

C.2

D.4

25.拋物線C：y2=4x與直線l：y=k（x-2）交于點M、N兩點，過點M作x軸的平行線與ON交于A點，過點A作拋物線C的切線，切點為B，切線AB與直線l：x=2交于D點。已知點E（2，0），則|DE|2-|AE|2=（）。

A.8

B.-8

C.16

D.-16

26.拋物線C1：y2=4x和圓C2：（x-1）2+y2=1，直線l經(jīng)過拋物線C1的焦點F，依次交拋物線C1，圓C2于A，B，C，D四點，則AB·CD的值為（）。

A.

B.1

C.2

D.4

27.已知拋物線C：y2=4x，若過點P（-2，0）作直線l與拋物線C交A，B兩個不同點，且直線l的斜率為k，則k的取值范圍是（

A.

B.

C.

D.

28.若A、B是拋物線y2=x上關于直線x-y-3=0對稱的相異兩點，則|AB|=（）。

A.3

B.4

C.

D.

29.已知拋物線C：y2=x，過點P（a，0）的直線與拋物線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA·OB<0，則a的取值范圍是（）。

A.（-∞，0）

B.（0，1）

C.（1，+∞）

D.{1}

30.已知F為拋物線M：y2=4x的焦點，A，B，C為拋物線M上三點，當FA+FB+FC=0時，稱△ABC為“和諧三角形”，則拋物線上的點可構成的“和諧三角形”有（）。

A.0個

B.1個

C.3個

D.無數(shù)個

31.斜率為k的直線l過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F，交拋物線于A，B兩點，點P（x0，y0）為AB的中點，作OQAB，垂足為Q，則下列結論中不正確的是（）。

A.ky0為定值

B.OA·OB為定值

C.點P的軌跡為圓的一部分

D.點Q的軌跡是圓的一部分

32.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F的直線l交拋物線C于A、B兩點，弦AB的中點M到拋物線C的準線的距離為5，則直線l的斜率為（）。

A.±

B.±1

C.±

D.±

33.過拋物線x2=2y上兩點A、B分別作切線，若兩條切線互相垂直，則線段AB的中點到拋物線準線的距離的最小值為（）。

A.

B.1

C.

D.2

34.已知拋物線x2=4y的焦點為F，準線為l，拋物線的對稱軸與準線交于點Q，P為拋物線上的動點，|PF|=t|PQ|，當t最小時，點P恰好在以F，Q為焦點的橢圓上，則橢圓的長軸長為（）。

A.

B.

C.

D.

二、填空題

35.已知直線l：y=mx-4m與拋物線y2=2px（p>0）交于點A、B，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，則拋物線的方程為____。

36.已知拋物線的方程為y2=2px（p>0），0為坐標原點，A，B為拋物線上的點，若△OAB為等邊三角形，且面積為48√3，則p的值為____。

37.已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，M是拋物線C上一點，若FM的延長線交x.軸的正半軸于點N，交拋物線C的準線l于點T，且FM=MN，則|NT|=____。

38.已知一條拋物線的焦點是直線l：y=-x-t（t>0）與x軸的交點，若拋物線與直線l交于點A、B，且|AB|=2/6，則t=____。

39.已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，E是拋物線C的準線上位于x軸上方的一點，直線EF與拋物線C在第一象限交于點M，在第四象限交于點N，且|EM|=2|MF|=2，則點N到y(tǒng)軸的距離為____。

40.已知拋物線y2=2px的準線方程為-2，點P為拋物線上的一點，則點P到直線y=x+3的距離的最小值為____。

41.已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，過點F的直線與拋物線C相交于點M（點M位于第一象限），與它的準線相交于點N，且點N的縱坐標為4，|FM|：|MN|=1：3，則實數(shù)p=____。

42.已知拋物線與圓有公共點P，若拋物線在P點處的切線與圓C也相切，則____。

43.若P是拋物線y2=8x上的動點，點Q在以點C（2，0）為圓心，半徑長等于1的圓上運動，則|PQ|+|PC|的最小值為____。

44.已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，過F的直線交拋物線C于A、B兩點，以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準線切于M（），且△AOB的面積為.√13，則拋物線C的方程為____。

45.如圖3，從點M（x0，4）發(fā)出的光線，沿平行于拋物線y2=8x的對稱軸方向射向此拋物線上的點P，經(jīng)拋物線反射后，穿過焦點射向拋物線上的點Q，再經(jīng)拋物線反射后射向直線l：x-y-10=0上的點N，經(jīng)直線反射后又回到點M，則x0等于____。

46.拋物線y2=2px（p>0）的準線與雙曲線的兩條漸近線圍成的三角形的面積等于2，則p=____。

47.M為拋物線y2=4x上一點，且在第一象限，過點M作MN垂直該拋物線的準線于點N，F(xiàn)為拋物線的焦點，O為坐標原點，若四邊形OFMN的四個頂點在同一個圓上，則該圓的方程為____。

48.如圖4，過拋物線y，2=4x的焦點F作直線與拋物線及其準線分別交于A，B，C三點，若FC=4FB，則|AB|=____。

49.已知點A是拋物線y2=2px（p>0）上一點，F(xiàn)為其焦點，以F為圓心、|FA|為半徑的圓交準線于B，C兩點，OFBC為正三角形，且△ABC的面積是，則拋物線的方程是____。

50.已知圓C，：x2+（y-2）2=4，拋物線C2：y2=2px（p>0），圓C，與拋物線C2相交于A，B兩點，|AB|=，則拋物線C2的方程為____。

51.過點F（2，0）作直線FM交y軸于點M，過點M作MN⊥MF交x軸于點N，延長NM至點P，使得|NM|=|MP|，則P點的軌跡方程為____。

52.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l與拋物線C相切于Q點，P是l上一點（不與Q重合），若以線段PQ為直徑的圓恰好經(jīng)過F，則|PF|的最小值是____。

53.已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，且直線l與圓交于M，N兩點，若|AB|=3|MN|，則直線l的斜率為____。

54.已知斜率為2的直線l與拋物線y2=2px（p>0）交于x軸上方的兩點A，B，記直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，則k1+k2的取值范圍是____。

三、解答題

55.已知動圓E經(jīng)過定點D（1，0），且與直線x=-1相切，設動圓圓心E的軌跡為曲線C。

（1）求曲線C的方程。

（2）設過點P（1，2）的直線l1，l2分別與曲線C交于點A，B，直線l1，l2的斜率存在，且傾斜角互補，證明：直線AB的斜率為定值。

56.設O是坐標原點，F(xiàn)是拋物線xc2=2py（p>0）的焦點，C是該拋物線上的任意一點，當CF與y軸正方向的夾角為60°時，。

（1）求拋物線的方程：

（2）已知A（0，p），設B是該拋物線上的任意一點，M，N是x軸上的兩個動點，且|MN|=2p，|BM|=|BN|，當取得最大值時，求△BMN的面積。

57.如圖5，已知圓C：x2+（y-2）2=4，拋物線D的頂點為0（0，0），準線的方程為y=-1，M（x0，y0）為拋物線D上的動點，過點M作圓C的兩條切線與x軸交于A，B。

（1）求拋物線D的方程：

（2）若y0>4，求△MAB的面積S的最小值。

58.已知拋物線C的頂點在原點，焦點在y軸上，且拋物線上有一點P（m，5）到焦點的距離為6。

（1）求該拋物線C的方程;

（2）已知拋物線上一點M（4，t），過點M作拋物線的兩條弦MD和ME，且MD⊥ME，判斷直線DE是否過定點，并說明理由。

59.如圖6，過拋物線M：y=x2上一點A（點A不與原點0重合）作拋物線M的切線AB交y軸于點B，點C是拋物線M上異于點A的點，設G為△ABC的重心（三條中線的交點），直線CG交y軸于點D。

（1）設點A（x0，x）（x0≠0），求直線AB的方程：

（2）求的值。

60.已知拋物線C1的方程為x2=2py（p>0），過點M（a，-2p）（a為常數(shù)）作拋物線C1的兩條切線，切點分別為A，B。

（1）若過焦點且在x軸，上截距為2的直線l與拋物線C，交于Q，N兩點，Q，N兩點在x軸上的射影分別為Q，N，且|Q'N'|=2√5，求拋物線C、的方程;

（2）設直線AM，BM的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值。

61.已知經(jīng)過拋物線C：y2=4x的焦點F的直線l與拋物線C相交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），0為坐標原點，直線AO，BO分別交直線m：x=-1于點M，N。

（1）求證：x1x2=1，y1y2=-4：

（2）求線段MN長的最小值。

62.已知動點P到定直線l：x=-2的距離比到定點F（1/2，o）的距離大3/2。

（1）求動點P的軌跡C的方程。

（2）過點D（2，0）的直線交軌跡C于A，B兩點，直線OA，OB分別交直線l于點M，N，證明：以MN為直徑的圓被x軸截得的弦長為定值，并求出此定值。

63.已知圓N：（x+1）2+y2=2和拋物線C：y2=x，圓N的切線l與拋物線C交于不同的兩點A，B。

（1）當切線l斜率為-1時，求線段AB的長：

（2）設點M和點N關于直線y=x對稱，且MA·MB=0，求直線l的方程。