深證股指收益率的預(yù)測(cè)
——基于ARIMA-GARCH模型

(西北師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 甘肅 蘭州 730070)

一、研究現(xiàn)狀

黃永興[1]也做了股票的相關(guān)分析。他利用以往的上證指數(shù)和深證指數(shù)的數(shù)據(jù)，建立了我國(guó)滬深兩市的ARIMA模型和AR-EGARCH模型來(lái)研究?jī)墒泄芍竷r(jià)格非線性規(guī)律的變動(dòng)，通過(guò)對(duì)兩個(gè)模型的比較，發(fā)現(xiàn) AR-EGARCH模型對(duì)滬深兩市的股價(jià)非線性規(guī)律的變化有更好的預(yù)測(cè)效果。趙志峰[6]主要考慮了政府這個(gè)因素。他利用98年到00年的深證指數(shù)數(shù)據(jù)分析了在政府干預(yù)的情況下比較ARIMA模型和干預(yù)模型哪個(gè)更適用，得出結(jié)果，在選取的數(shù)據(jù)較少時(shí)，傳統(tǒng)模型不如干預(yù)模型，并且干預(yù)模型能比其他模型更好的解決序列發(fā)生突變時(shí)的問(wèn)題；鄭梅[3]等人也運(yùn)用ARCH族模型對(duì)上海、深圳股市的波動(dòng)性做了研究。他們?cè)谖闹惺褂昧巳N不同的ARCH族模型并比較出了三種模型的優(yōu)劣，結(jié)果發(fā)現(xiàn)EGARCH和TGARCH模型的預(yù)測(cè)效果比GARCH(1，1)模型的要好的多，他們還發(fā)現(xiàn)，在研究非對(duì)稱(chēng)預(yù)測(cè)指標(biāo)方面，每個(gè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果可能滿足不同投資者人群的需求,有的人傾向于考慮第一種模型預(yù)測(cè)的結(jié)果，有的投資者更愿意將第二種模型的結(jié)果作為參考，但大部分人還是對(duì)最優(yōu)的模型的預(yù)測(cè)結(jié)果更為相信。從而可以看出，模型對(duì)未來(lái)股價(jià)的預(yù)測(cè)只能作為一種比較合理的參考，對(duì)不同的投資者人群而言，還要根據(jù)他們自身的需要進(jìn)行選擇性的投資。楊帷[2]基于時(shí)間序列分析的理論對(duì)上證指數(shù)收益率進(jìn)行了模型的建立，通過(guò)對(duì)自相關(guān)和偏自相關(guān)圖的觀察，建立了ARMA(6,0)模型，對(duì)殘差進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，最后通過(guò)建立GARCH模型，消除了異方差性，此外，他還建立了EGARCH(1,1)模型驗(yàn)證了波動(dòng)率序列具有“杠桿效應(yīng)”。仲陽(yáng)[5]利用1992年至2004年的上證綜指收盤(pán)價(jià)為樣本數(shù)據(jù)，并通過(guò)對(duì)其對(duì)數(shù)收益率建立ARCH族模型研究上證綜指收益率波動(dòng)非對(duì)稱(chēng)性和長(zhǎng)短期效應(yīng)特征。張楠[4]對(duì)上證股票時(shí)間序列建立了ARIMA模型，并進(jìn)行了預(yù)測(cè)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)模型較長(zhǎng)期來(lái)說(shuō)對(duì)短期的預(yù)測(cè)效果更好。

以上學(xué)者的研究在股票市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)分析及其預(yù)測(cè)方面做出了很大的貢獻(xiàn)，這一方面表明了傳統(tǒng)的ARIMA等模型有一定的局限性，它們已經(jīng)不能滿足我國(guó)股市發(fā)展現(xiàn)狀，需要更加適用的模型來(lái)對(duì)其進(jìn)行研究，另一方面隨著數(shù)學(xué)模型種類(lèi)增多、完善和發(fā)展，以及統(tǒng)計(jì)軟件的開(kāi)發(fā)，使得我們的研究越來(lái)越有理論指導(dǎo)意義。

二、研究的理論基礎(chǔ)

(一)ARIMA模型。當(dāng)我們?cè)趯?duì)序列做模型的時(shí)候，大多數(shù)情況下序列并不都是平穩(wěn)的，這時(shí)候ARMA(p,q)模型已不再適用，在這種情況下我們需要對(duì)所分析的序列做有限次的差分，此時(shí)本文采用ARIMA(p,d,q)模型，其中模型中的d表示差分次數(shù)。

因此我們構(gòu)建模型如下：

(2-1)

為ARIMA(p,d,q)(求和自回歸移動(dòng)平均模型)。

式中：

▽d=(1-B)d;Φ(B)=1-φ1B-...-φPBP

(2-2)

為ARMA(p,q)模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式；

式：

Θ(B)=1-θ1B-...-θqBq

(2-3)

為ARMA(p,q)模型的移動(dòng)平滑系數(shù)多項(xiàng)式。

d階差分后序列可以表示為：

(2-4)

(二)時(shí)間序列建模步驟

(1)考察序列的平穩(wěn)性；

(2)如果序列是平穩(wěn)的，再來(lái)考察序列的自相關(guān)與偏自相關(guān)是否有顯著性，如果不平穩(wěn)，需要對(duì)序列進(jìn)行一階差分以及檢驗(yàn)平穩(wěn)性，當(dāng)這個(gè)序列檢驗(yàn)結(jié)果是平穩(wěn)時(shí)，需要繼續(xù)下一個(gè)步驟，但如果結(jié)果仍然是不平穩(wěn)的，那么我們選擇繼續(xù)進(jìn)行差分運(yùn)算；

(3)根據(jù)自相關(guān)和偏自相關(guān)圖對(duì)模型定階；

(4)估計(jì)并檢驗(yàn)所選序列構(gòu)造出的模型未知參數(shù)；

(5)最后對(duì)選取的最優(yōu)模型做預(yù)測(cè)。

(三)R語(yǔ)言軟件介紹

統(tǒng)計(jì)是數(shù)據(jù)科學(xué)，而分析數(shù)據(jù)必須要用到分析工具，俗話說(shuō)："工欲善其事，必先利其器"，在學(xué)術(shù)界者這句話也是相當(dāng)適用的，目前統(tǒng)計(jì)分析方面所用到的軟件有很多，由最初比較簡(jiǎn)便的SPSS、EVIEWS等軟件到現(xiàn)今可以編程的MATLAB、R語(yǔ)言，這些工具給我們作分析提供了很大的方便，近幾年R軟件的興起，使得我們的分析越來(lái)越簡(jiǎn)便、實(shí)用。

R軟件用是免費(fèi)自由的軟件，它的代碼公開(kāi)，可以修改，我們可以借鑒別人已做出的程序代碼結(jié)合自己的數(shù)據(jù)加以分析，運(yùn)用起來(lái)十分的方便，除此之外它還有強(qiáng)大的幫助系統(tǒng)，當(dāng)在運(yùn)行程序的時(shí)候遇到不懂的函數(shù)或者出錯(cuò)的地方，我們可以尋求幫助；R語(yǔ)言最實(shí)用的一點(diǎn)就是當(dāng)我們運(yùn)行代碼的時(shí)候可以將自己已經(jīng)運(yùn)行成功的代碼保存下來(lái)，等到下次做相同的分析的時(shí)候可以直接應(yīng)用之前的代碼，只需要將做簡(jiǎn)單的修改即可，非常的智能，并且R語(yǔ)言所需的各種安裝包都可以在網(wǎng)上下載在得到，是一款功能十分強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)分析軟件，由于它的便捷實(shí)用，受到越來(lái)越多學(xué)者的青睞。故本文我們也使用R語(yǔ)言作為分析軟件。

三、時(shí)間序列建模

本文選取了深證指數(shù)日收盤(pán)價(jià)格(1991年4月3日起，截止至2018年12月13日，共計(jì)6749組數(shù)據(jù))，以R語(yǔ)言為主要分析工具，通過(guò)對(duì)股票的對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行建模，最后用模型來(lái)預(yù)測(cè)短時(shí)期內(nèi)收益率的變動(dòng)趨勢(shì)。

(一)平穩(wěn)性檢驗(yàn)

首先求得深證指數(shù)日收盤(pán)價(jià)的對(duì)數(shù)收益率序列，通過(guò)R語(yǔ)言軟件看其是否平穩(wěn)。

輸入代碼得到運(yùn)行結(jié)果：

data: r.x

Dickey-Fuller = -16.714, Lag order = 18, p-value = 0.01

從結(jié)果中可以看到，檢驗(yàn)的P值為0.01<0.05，故拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，表明深證指數(shù)對(duì)數(shù)收益率序列是平穩(wěn)的。

(二)建立模型

1、建立ARIMA模型

通過(guò)觀察序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)在前幾階的值均比較大，在七階以后的值逐漸變小，說(shuō)明在前幾階序列相關(guān)是顯著的，所以我們?cè)赗語(yǔ)言軟件上建立了ARIMA(1,1,1)至ARIMA(6,1,6)之間的每一個(gè)模型來(lái)擬合收益率序列，通過(guò)比較AIC和BC的值，以及建立模型后的殘差序列的自相關(guān)圖，最終確定了最優(yōu)的模型ARIMA(3,1,4)。得到的殘差的序列圖和自相關(guān)圖如圖1所示：

圖1 殘差的序列圖和ACF圖

從所做模型的殘差的自相關(guān)圖中可以看到，在第24階和第27階處殘差的自相關(guān)系數(shù)超過(guò)了2倍標(biāo)準(zhǔn)差[5]，具有相關(guān)性，其余階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)值均很小，由于自相關(guān)系數(shù)較大的部分滯后的階數(shù)都比較大，我們可以近似地認(rèn)為殘差不具有相關(guān)性，模型的建立是成功的。由于我們?nèi)藶榈刈龀隽私频慕Y(jié)論，我們需要再對(duì)所做模型的殘差做白噪聲檢驗(yàn)，看其是否和我們預(yù)測(cè)的結(jié)論一致，通過(guò)在軟件中輸入代碼，輸出結(jié)果顯示p值為0.7037>0.05，通過(guò)白噪聲檢驗(yàn)，說(shuō)明所做模型的殘差不具有相關(guān)性，和我們所得出的結(jié)論一致。

從上圖中我們可以看到，殘差的序列圖有較強(qiáng)的波動(dòng)性，可能存在異方差性。

2、建立GARCH模型

通過(guò)對(duì)擬合的模型ARIMA(3,1,4)進(jìn)行殘差做Melcod.Li檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)具有異方差性，因此我們需要建立GARCH模型，來(lái)消除異方差性。

利用R軟件對(duì)序列進(jìn)行整體ARIMA(3,1,4)-GARCH(1,1)建模,我們得到系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表：

表1 系數(shù)顯著性檢驗(yàn)結(jié)果

從上表中的檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，我們建立的模型中除了MA(4)處的系數(shù)不顯著外，其余階數(shù)的系數(shù)均顯著，并且在模型的殘差檢驗(yàn)中每個(gè)Q統(tǒng)計(jì)量所對(duì)應(yīng)的P值都大于0.05，說(shuō)明擬合后的模型的很好的描述了序列的自相關(guān)性和異方差性；ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)中，對(duì)應(yīng)的P為0.9888616，遠(yuǎn)大于0.05，故拒絕原假設(shè)，我們所建立的模型殘差不再具有ARCH效應(yīng)。

因此我們最終建立的模型方程為：

αt=σtεt

3、模型預(yù)測(cè)

通過(guò)軟件得到預(yù)測(cè)結(jié)果如圖2所示：

圖2 預(yù)測(cè)結(jié)果圖

四、結(jié)論

本文以1991年4月3日至2018年12月13日的深證綜合指數(shù)日收盤(pán)價(jià)格作為原始數(shù)據(jù)，求取了其對(duì)數(shù)收益率序列最為研究數(shù)據(jù)，最終建立了ARIMA(3,1,4)-GARCH(1,1)模型，并對(duì)序列進(jìn)行了短期預(yù)測(cè)，在進(jìn)行建模的過(guò)程中，我們根據(jù)收益率序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖對(duì)序列進(jìn)行了模型的擬合，對(duì)序列進(jìn)行了探究，我們得到了以下結(jié)論：通過(guò)對(duì)深證指數(shù)收益率序列的研究，起初我們用ARIMA模型進(jìn)行建模，發(fā)現(xiàn)其殘差雖然是白噪聲序列，但是模型的殘差平方具有明顯的ARCH效應(yīng)，因此我們又建立了GARCH模型，來(lái)消除序列的異方差性，最終建立了ARIMA(3,1,4)-GARCH(1,1)模型，并根據(jù)所做模型對(duì)深圳股市未來(lái)短時(shí)間內(nèi)股票收益率做了預(yù)測(cè)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在未來(lái)的短期內(nèi)股票收益率變動(dòng)幅度不大，投資者和管理者可以做出合理的決策。