小圓用處大

吳芳蓉

(福建省龍巖市龍巖初級中學 364000)

本文以構(gòu)造輔助圓解決問題為例，闡述如何通過挖掘題目中的隱含條件，抽出能構(gòu)造輔助圓的相關(guān)基本模型，巧妙地構(gòu)造出符合題意特征的輔助圓，使問題中復雜的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的圖形中清晰地展現(xiàn)出來，達到化隱為顯，化繁為簡的解題功效.

一、根據(jù)有關(guān)線段相等構(gòu)造輔助圓(等距離型)

人教版九年級上第24.1 對圓的定義為：圓上各點到定點的距離都等于定長；到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上.

例1(2018寧德質(zhì)檢改編)如圖1，已知等腰△ABC，AB=BC，D是AC上一點，線段BE與BA關(guān)于直線BD對稱，射線CE交射線BD于點F，連接AE，AF，若∠ABC=α，則∠AEF=____.(用α的代數(shù)形式表示)

分析由AB=BC及線段BE與BA關(guān)于直線BD對稱，可得BA=BC=BE，即可構(gòu)造出以B為圓心，BA長為半徑的圓，此時A、C、E均在⊙B上，如圖，構(gòu)建⊙B的內(nèi)接四邊形AGCE，則可把∠AEF轉(zhuǎn)化為四邊形AGCE的外角，利用“圓的內(nèi)接四邊形的一個外角等于其內(nèi)對角”，把問題轉(zhuǎn)化到求圓周角∠AGC.

例2在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知A(1，1)，在x軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P的個數(shù)為____．

分析因△AOP是等腰三角形，則有兩條同頂點的線段相等，即可構(gòu)造以等腰三角形頂角的頂點為圓心，腰為半徑的輔助圓.

解如圖2，若△AOP為等腰三角形，則

(1)若AO為腰時，有兩種情況:

①當AO=AP時，點P是以A為圓心，AO為半徑的圓與x軸的交點，此時⊙A與x軸有1個交點P1；

②當OA=OP時，點P是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與x軸的交點，此時⊙O與x軸有2個交點，分別為P2、P3；

(2)若OA為底時，P是OA的中垂線與x軸的交點，有1個交點，為P4．

以上4個交點沒有重合的．故符合條件的點有4個．故填：4.

方法總結(jié)：在某些幾何問題中，當出現(xiàn)幾條共同頂點的線段相等時，可利用圓的定義，構(gòu)造出一個輔助圓，利用圓的有關(guān)性質(zhì)，使問題得以解決，可把這種情形稱為等距離型.

等距離型的基本圖形為：如圖3，若AB=AC=AD，則B、C、D在以A為圓心，AB長為半徑的圓上.

二、根據(jù)定張角構(gòu)造輔助圓(定張角型)

例3如圖4，B是線段AC的中點，過點C的直線l與AC成60°的角，在直線l上取一點P，使得∠APB=30°，則滿足條件的點P的個數(shù)是( ).

A.3個 B.2個

C.1個 D.不存在

分析由∠APB是一定角(數(shù)量相等，點P位置不固定)，AB是一定長，可構(gòu)造出輔助圓，此圓以AB為弦，圓心角∠AOB=60°，得出P點是優(yōu)弧AB上的點，進而把問題轉(zhuǎn)化到圓與直線的位置關(guān)系的問題.

解如圖4，作等邊△OAB，以O(shè)為圓心，OA長為半徑作圓，作BM⊥l于M，OH⊥l于H，

∵B是AC的中點，∴令BC=AB=m.

∴OB>OH，∴直線l與⊙O相交，∴點P的個數(shù)是2個.故選B.

我們可把有這種關(guān)系的圖形稱為定張角、定線段型，其基本圖形為：如圖5，若AB是一定值，∠C的度數(shù)是一定值，但點C是動點，則可把∠C轉(zhuǎn)化為過AB兩點的圓的圓周角(∠O=2∠C).

三、根據(jù)直角構(gòu)造圓(直角型)

直角型所用的圓的性質(zhì)為：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑，有這種關(guān)系的可稱為直角型.

直角型的基本圖形為：如圖6，若∠C=90°，則點A、B、C在以AB為直徑的圓上.

例4(2016年安徽省中考)如圖7，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為( ).

分析在此題中，先分析出∠APB=90)，則點P在以AB為直徑的⊙O上，如圖8，連接OC與⊙O交于點P，此時PC最小.

總之，構(gòu)造輔助圓解決問題的關(guān)鍵是要善于發(fā)現(xiàn)隱含于題目中與圓的有關(guān)信息，抓題目的特征，抽取出構(gòu)造圓的基本圖形，巧作一圓，把圓用“活”，實現(xiàn)小圓大用處.