數(shù)控機(jī)床熱誤差的溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化方法*

謝 飛，王 玲，殷 鳴，譚 峰，殷國(guó)富

(1.四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065；2.重慶郵電大學(xué) 先進(jìn)制造工程學(xué)院，重慶 400065)

0 引言

熱誤差是影響機(jī)床加工精度的主要因素之一，其誤差占比最高達(dá)到機(jī)床加工總誤差的70%。在精密機(jī)床加工過程中，熱誤差已經(jīng)成為最主要的誤差來源[1-2]。減小熱誤差一般可采用硬件消除和軟件補(bǔ)償。硬件消除主要針對(duì)機(jī)床結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)；軟件補(bǔ)償則是通過實(shí)時(shí)修改機(jī)床原點(diǎn)的方法進(jìn)行補(bǔ)償[3]。

國(guó)內(nèi)外研究人員針對(duì)熱誤差測(cè)點(diǎn)優(yōu)化與建模進(jìn)行了深入的研究。林偉青等[4]利用最小二乘支持向量機(jī)結(jié)合遺傳算法，提出了一種篩選及優(yōu)化溫度傳感器的方法，使得軸向、徑向建模平均絕對(duì)百分比誤差低于2.04%。苗恩銘等[5]研究發(fā)現(xiàn)溫度敏感點(diǎn)存在變動(dòng)性特征并采用主成分回歸算法建模，降低了溫度敏感點(diǎn)變動(dòng)對(duì)模型預(yù)測(cè)精度的影響。李艷等[6]提出了一種基于互信息法及改進(jìn)模糊聚類的機(jī)床溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化方法。馬躍等[7]采用改進(jìn)的模糊C-均值聚類算法及灰色綜合關(guān)聯(lián)度對(duì)熱誤差的溫度測(cè)點(diǎn)進(jìn)行了優(yōu)化選擇。崔崗衛(wèi)等[8]基于線性回歸對(duì)機(jī)床的幾何誤差及熱誤差進(jìn)行了分離與建模，結(jié)合主因素與互不相關(guān)等優(yōu)化策略優(yōu)化測(cè)點(diǎn)，將機(jī)床熱誤差減小了64%以上。趙昌龍[9]通過數(shù)控機(jī)床的測(cè)溫實(shí)驗(yàn)，利用灰色關(guān)聯(lián)度分析對(duì)溫度測(cè)點(diǎn)進(jìn)行了優(yōu)化，將實(shí)驗(yàn)測(cè)點(diǎn)由初始的8個(gè)減小為3個(gè)。Lee等[10]采用相關(guān)系數(shù)結(jié)合多元線性回歸對(duì)溫度測(cè)點(diǎn)進(jìn)行了優(yōu)化。此外還有基于逐步回歸[11]、模糊C-均值聚類[12]、Fisher最優(yōu)分割法[13]及粗糙集[14]等理論所得測(cè)點(diǎn)優(yōu)化方法。以上方法雖然都采用了不同的聚類算法，但是在聚類數(shù)目的確定方面卻仍然需要依靠人為經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于系統(tǒng)地選擇聚類數(shù)目及測(cè)點(diǎn)的實(shí)際選擇也缺乏完整清晰的思路，所建立的預(yù)測(cè)模型的泛化性能往往缺乏驗(yàn)證，很難確定預(yù)測(cè)模型的實(shí)用性。

本文以THM6380臥式加工中心為對(duì)象，進(jìn)行了溫度場(chǎng)及熱誤差的測(cè)量實(shí)驗(yàn)，分析了機(jī)床的溫度場(chǎng)分布及其成因，采用系統(tǒng)聚類、灰色關(guān)聯(lián)度及本文提出的測(cè)點(diǎn)篩選原則，整合了聚類數(shù)的確定及測(cè)點(diǎn)選擇方法，最終對(duì)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行了系統(tǒng)優(yōu)化。對(duì)比不同測(cè)點(diǎn)選擇方法、不同預(yù)測(cè)模型的結(jié)果，結(jié)果表明采用此方法能夠獲得很好的模型預(yù)測(cè)精度及泛化性能。

1 溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化選取算法

機(jī)床上的溫度測(cè)點(diǎn)大多依靠工程經(jīng)驗(yàn)人為選擇，溫度測(cè)點(diǎn)之間的距離相對(duì)靠近，以至于各測(cè)點(diǎn)的溫度變化規(guī)律存在著相似性。若直接采用這些測(cè)點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)建模，不但經(jīng)濟(jì)成本高，而且各測(cè)點(diǎn)之間的多重共線性也會(huì)使得模型的預(yù)測(cè)精度下降。因此，對(duì)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化選擇是很有必要的。

本文測(cè)點(diǎn)優(yōu)化算法綜合利用了系統(tǒng)聚類、灰色關(guān)聯(lián)度及測(cè)點(diǎn)篩選原則，測(cè)點(diǎn)優(yōu)化流程如圖1所示。

圖1 測(cè)點(diǎn)優(yōu)化流程

優(yōu)化算法步驟如下：

(1)首先進(jìn)行系統(tǒng)聚類，將溫度測(cè)點(diǎn)分為N類，N≥2；

(2)其次對(duì)新類進(jìn)行灰色關(guān)聯(lián)度分析，獲得所有測(cè)點(diǎn)關(guān)于熱誤差的灰色關(guān)聯(lián)度，并在每一類測(cè)點(diǎn)中按關(guān)聯(lián)度從大到小進(jìn)行排序；

(3)對(duì)每一新類測(cè)點(diǎn)，保留前M個(gè)排序后的測(cè)點(diǎn)，M≥1；

(4)當(dāng)N≤2時(shí)，對(duì)N類中N×M個(gè)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行組合，并建立多元線性回歸模型，選擇具有最小預(yù)測(cè)殘差的測(cè)點(diǎn)組合為第N-1步的最佳測(cè)點(diǎn)組合。當(dāng)N>2時(shí)，將單步最佳測(cè)點(diǎn)組合與新類測(cè)點(diǎn)進(jìn)行交叉組合，建立回歸模型，取殘差最小組合為第N-1步的最佳測(cè)點(diǎn)組合；

(5)N=N+1；重復(fù)步驟(3)、(4)，直到N=測(cè)點(diǎn)數(shù)；

(6)將所有前N-1步最佳測(cè)點(diǎn)組合進(jìn)行對(duì)比，選擇具有最大殘差下降比的組合為最終的優(yōu)化測(cè)點(diǎn)。

1.1 系統(tǒng)聚類

系統(tǒng)聚類分析法[15]是一種可以對(duì)溫度測(cè)點(diǎn)進(jìn)行高效分類的一種方法。其基本思想是：先將各樣本看成一類，然后計(jì)算各類與類之間的距離，選擇距離最小的一對(duì)合并為一類，并計(jì)算新的類與類之間的距離，再將距離最近的兩類合并為一類，如此每次縮小一類，直到所有的類合并為一類。最終得到的聚類樹就是這一過程的完整體現(xiàn)。本文采用基于歐氏距離的類平均法進(jìn)行距離定義。

通過歐式范數(shù)定義Rn上的距離函數(shù)為：

(1)

這個(gè)距離稱為歐幾里得度量，也稱歐式距離。類平均法：定義類與類之間的距離為兩類樣本對(duì)之間的平均距離或兩類樣本對(duì)之間平均距離的平均值。

1.2 灰色關(guān)聯(lián)度

灰色關(guān)聯(lián)分析[16]的基本思想是根據(jù)序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷其聯(lián)系是否緊密。曲線越接近，相應(yīng)序列之間關(guān)聯(lián)度越高，反之越小。

設(shè)X0=(x0(1),x0(2),…,x0(n))為系統(tǒng)特征行為序列，且

X1=(x1(1),x1(2),…,x1(n))

……

Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))

……

Xm=(xm(1),xm(2),…,xm(n))

(2)

為相關(guān)因素序列。對(duì)于ξ∈(0,1)，令：

r(x0(k),xi(k))=

(3)

(4)

則r(X0,Xi)稱為X0與Xi的灰色關(guān)聯(lián)度，其中ξ為分辨系數(shù)，一般取0.5。

灰色關(guān)聯(lián)度的計(jì)算步驟如下：

第1步求各序列的初值像(或均值像)。令：

(5)

第2步求差序列。記：

Δi=(Δi(1),Δi(2),…,Δi(n))，i=1,2,…,m

(6)

第3步求兩極最大差與最小差。記：

(7)

第4步求關(guān)聯(lián)系數(shù)。

ξ∈(0,1)，k=1,2,…,n，i=1,2,…m

(8)

第5步計(jì)算關(guān)聯(lián)度。

(9)

1.3 多元線性回歸

多元線性回歸模型是熱誤差建模中常見的一種，其方法簡(jiǎn)單易行、計(jì)算量小且準(zhǔn)確度高，基于最小二乘法的多元線性回歸模型一般形式為:

i=1,2,…,n

(10)

模型中各系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)利用最小二乘法求得。

2 溫度測(cè)點(diǎn)優(yōu)化選取實(shí)驗(yàn)

2.1 溫度場(chǎng)及熱誤差數(shù)據(jù)采集

以某機(jī)床廠生產(chǎn)的THM6380高精度臥式加工中心為研究對(duì)象，采用Fluke公司的PT100溫度傳感器及Fluke2638A 20通道溫度采集器測(cè)量機(jī)床主要部位的溫度場(chǎng)。采用API主軸測(cè)試系統(tǒng)測(cè)量機(jī)床主軸的三向定位誤差。測(cè)量時(shí)機(jī)床空載運(yùn)行，每1min記錄一次溫度場(chǎng)及熱誤差數(shù)據(jù)，分別測(cè)量主軸轉(zhuǎn)速為2000rpm，4000rpm，6000rpm及混合轉(zhuǎn)速的溫度場(chǎng),熱誤差溫度傳感器的布置如表1所示。

表1 溫度傳感器的布置

溫度測(cè)點(diǎn)的具體位置如圖2所示，圖3為熱誤差實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)圖。

圖2 溫度測(cè)點(diǎn)位置 圖3 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)圖

由此測(cè)得的機(jī)床熱誤差曲線如圖4所示，溫升曲線(6000rpm)如圖5所示。由圖可知該機(jī)床工作時(shí)熱誤差以Z軸(軸向)熱誤差為主，其余兩軸熱誤差小于10μm，因此本文僅以Z軸熱誤差為主要研究對(duì)象。

圖4 機(jī)床熱誤差曲線 圖5 測(cè)點(diǎn)溫升曲線

由以上數(shù)據(jù)可知，大部分溫度數(shù)據(jù)具有相似性。其中位于主軸后軸承端蓋處的T8～T10是溫升最大的部分，因?yàn)楹筝S承高速旋轉(zhuǎn)，為機(jī)床最大熱源，故而溫升最大與理論相符。T2～T7具有極大的相似性則主要是因?yàn)闇y(cè)點(diǎn)均與主軸相關(guān)，T11～T13由于依次靠近熱源呈現(xiàn)依次增大的趨勢(shì)，T14～T19由于遠(yuǎn)離熱源的緣故，使得溫升很小且?guī)缀踔睾?，T20為環(huán)境溫度變化無規(guī)律，T1處于主軸最遠(yuǎn)端，由于端部散熱情況的不同而呈現(xiàn)出不同的上升趨勢(shì)。

2.2 系統(tǒng)聚類

圖6 測(cè)點(diǎn)聚類樹

2.3 灰色關(guān)聯(lián)度分析

對(duì)所有測(cè)點(diǎn)溫升與熱誤差進(jìn)行灰色關(guān)聯(lián)度分析，并按照灰色關(guān)聯(lián)度從大到小的順序排列，如表2所示。

表2 測(cè)點(diǎn)灰色關(guān)聯(lián)度排序

2.4 測(cè)點(diǎn)選擇

當(dāng)聚類數(shù)N=2時(shí)，選擇每一類測(cè)點(diǎn)中灰色關(guān)聯(lián)度最高的前M個(gè)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行組合(M=2)，建立多元線性回歸模型，選取最大預(yù)測(cè)殘差最小的組合為第1步最佳組合，最佳組合為ΔT2，ΔT18，預(yù)測(cè)模型最大殘差為4.1873μm；當(dāng)聚類數(shù)N=3時(shí)，選取新類測(cè)點(diǎn)中灰色關(guān)聯(lián)度最高的前2個(gè)測(cè)點(diǎn)，并與第1步最佳組合進(jìn)行組合，建立多元線性回歸模型，選取最大預(yù)測(cè)殘差最小的組合為第2步最佳組合，最佳組合為ΔT2，ΔT8，ΔT18，預(yù)測(cè)模型最大殘差為3.6542μm。依此類推，所有測(cè)點(diǎn)組合預(yù)測(cè)性能曲線如圖7所示。

圖7 測(cè)點(diǎn)組合性能圖

通過此優(yōu)化方法獲得的測(cè)點(diǎn)組合模型的預(yù)測(cè)性能曲線，可以看出當(dāng)聚類數(shù)最小為2時(shí)最大殘差已經(jīng)從127.1μm降低為4.1873μm，即熱誤差降低了96.7%，預(yù)測(cè)性能優(yōu)異。但是測(cè)點(diǎn)數(shù)目過少容易丟失機(jī)床整體溫度場(chǎng)信息及預(yù)測(cè)模型的穩(wěn)健性，文獻(xiàn)[5]亦表明對(duì)于不同轉(zhuǎn)速的熱誤差預(yù)測(cè)，溫度敏感點(diǎn)存在變動(dòng)性特點(diǎn)，而過多的測(cè)點(diǎn)又會(huì)導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)成本的增加，測(cè)點(diǎn)之間出現(xiàn)多重共線性。因此針對(duì)以上結(jié)果提出測(cè)點(diǎn)篩選原則：在測(cè)點(diǎn)優(yōu)化模型的預(yù)測(cè)性能足夠的前提下，選取殘差下降比最大的測(cè)點(diǎn)組合為最終測(cè)點(diǎn)組合。殘差下降比最大表明此測(cè)點(diǎn)組合模型在增加測(cè)點(diǎn)時(shí)獲得了最大的性能提升，也即是實(shí)現(xiàn)了測(cè)點(diǎn)的最大“性價(jià)比”。

由圖7可知，隨著測(cè)點(diǎn)數(shù)的增加，預(yù)測(cè)模型最大殘差逐漸減小，但是下降斜率卻在不斷變化。當(dāng)聚類數(shù)為4時(shí)，預(yù)測(cè)性能曲線殘差下降比最大，之后殘差下降明顯減慢，說明此時(shí)的測(cè)點(diǎn)組合實(shí)現(xiàn)了預(yù)測(cè)性能最大化。因此，選擇此4測(cè)點(diǎn)(ΔT2，ΔT7，ΔT8，ΔT18)為最終優(yōu)化測(cè)點(diǎn)組合，分別位于主軸前端、主軸后軸承端蓋以及床身處，其溫升隨時(shí)間變化如圖8所示。

圖8 優(yōu)化測(cè)點(diǎn)組合

并進(jìn)行基于最小二乘的多元線性回歸建模。優(yōu)化預(yù)測(cè)模型為：

(14)

3 熱誤差建模及對(duì)比

3.1 預(yù)測(cè)性能對(duì)比

為了驗(yàn)證優(yōu)化模型是否能較好預(yù)測(cè)機(jī)床的熱誤差，使用該優(yōu)化模型對(duì)轉(zhuǎn)速為6000rpm下的機(jī)床進(jìn)行熱誤差預(yù)測(cè)。為研究不同測(cè)點(diǎn)優(yōu)化算法及誤差建模算法的預(yù)測(cè)性能，設(shè)置如下對(duì)比預(yù)測(cè)模型：

(1)預(yù)測(cè)模型1：MLR——20測(cè)點(diǎn)。使用所有20測(cè)點(diǎn)的溫升作為模型輸入，進(jìn)行最小二乘多元線性回歸；

(2)預(yù)測(cè)模型2：GC-MLR——4測(cè)點(diǎn)。以所有測(cè)點(diǎn)中灰色關(guān)聯(lián)度最高的前4個(gè)測(cè)點(diǎn)的溫升(ΔT2，ΔT7，ΔT18，ΔT19)作為模型輸入，進(jìn)行最小二乘多元線性回歸；

(3)預(yù)測(cè)模型3：FCM-MLR——4測(cè)點(diǎn)。以模糊C-均值聚類法，將測(cè)點(diǎn)溫升聚為4類，取每一類具有最大灰色關(guān)聯(lián)度的測(cè)點(diǎn)溫升(ΔT6，ΔT8，ΔT13，ΔT14)作為輸入，再進(jìn)行最小二乘多元線性回歸；

(4)預(yù)測(cè)模型4：FCM-GM——4測(cè)點(diǎn)。以預(yù)測(cè)模型3的測(cè)點(diǎn)溫升作為輸入，利用全信息灰色模型GM(1，5)進(jìn)行建模；

(5)預(yù)測(cè)模型5：SC-GM——4測(cè)點(diǎn)。以優(yōu)化算法選取的4個(gè)測(cè)點(diǎn)溫升(ΔT2，ΔT7，ΔT8，ΔT18)作為輸入，利用全信息灰色模型GM(1，5)進(jìn)行建模。

將以上對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果及優(yōu)化模型的熱誤差預(yù)測(cè)殘差值進(jìn)行對(duì)比，如圖9所示。

圖9 轉(zhuǎn)速為6000rpm時(shí)，各預(yù)測(cè)模型熱誤差預(yù)測(cè)殘差

對(duì)于預(yù)測(cè)模型的性能驗(yàn)證，本文采用最大殘差、殘差范圍及均方根誤差等進(jìn)行衡量，其中最大殘差取殘差絕對(duì)值最大者，值越小則預(yù)測(cè)性能越好；均方根誤差RMSE即預(yù)測(cè)值與期望值之差的平方和的根，其值越小則預(yù)測(cè)精度越高。

表3 轉(zhuǎn)速為6000rpm時(shí)，各預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)性能對(duì)比

由圖9及表3可知：

(1)當(dāng)溫度測(cè)點(diǎn)數(shù)由20優(yōu)化為4時(shí)，優(yōu)化模型的最大殘差e、殘差范圍R及均方根誤差RMSE均最小，優(yōu)化模型對(duì)熱誤差能夠進(jìn)行較好的預(yù)測(cè)，可將熱誤差從127.1μm降低到2.254μm。說明優(yōu)化選點(diǎn)算法優(yōu)于模糊C-均值聚類及灰色關(guān)聯(lián)度選點(diǎn)；

(2)對(duì)比FCM-MLR和FCM-GM及SC-GM和SC-GC-MLR的預(yù)測(cè)結(jié)果可知，以相同溫度測(cè)點(diǎn)作為輸入時(shí)，多元線性回歸模型MLR的各項(xiàng)預(yù)測(cè)性能均高于灰色模型GM(1,5)，其均方根誤差RMSE僅為灰色預(yù)測(cè)模型的1/3。說明多元線性回歸比灰色模型預(yù)測(cè)性能更好，更適合本文測(cè)點(diǎn)優(yōu)化算法后的熱誤差建模。

3.2 泛化性能的對(duì)比

將轉(zhuǎn)速為6000rpm的所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，而轉(zhuǎn)速為2000rpm的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為驗(yàn)證集。對(duì)比實(shí)驗(yàn)同3.1節(jié)。對(duì)比結(jié)果見圖10及表4。

圖10 轉(zhuǎn)速為2000rpm時(shí)，各預(yù)測(cè)模型熱誤差預(yù)測(cè)殘差

預(yù)測(cè)模型最大殘差e/μm殘差范圍R/μm均方根誤差RMSE/μmMLR4.7365[-4.7365,2.2993]3.1237GC-MLR5.7708[-5.7708,4.5762]9.6185FCM-MLR4.4139[-4.1343,4.4139]3.8359FCM-GM7.8426[-7.8426,0.2323]11.5086SC-GM4.1802[-4.1802,3.4288]5.0597優(yōu)化模型(SC-GC-MLR)3.0650[-2.1351,3.0650]1.6465

由圖10及表4可知：

(1)以相同測(cè)點(diǎn)作為輸入時(shí)，灰色模型GM的預(yù)測(cè)性能比多元線性回歸MLR更差。以MLR建立熱誤差預(yù)測(cè)模型時(shí)，優(yōu)化模型選點(diǎn)的泛化性能比僅通過GC、FCM-GC或GC-CA進(jìn)行選點(diǎn)效果更好，能夠?qū)⒆畲鬅嵴`差降低95.78%。

(2)各預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)性能均有所降低，但優(yōu)化模型SC-GC-MLR的最大殘差e、殘差范圍R及均方根誤差RMSE均最小，泛化性能最好，均方根誤差僅為1.6465μm。優(yōu)化選點(diǎn)比全測(cè)點(diǎn)模型預(yù)測(cè)精度更好，說明測(cè)點(diǎn)優(yōu)化算法可行，不僅能減少溫度測(cè)點(diǎn)數(shù)更能提高預(yù)測(cè)模型的泛化性能。

4 結(jié)論

本文針對(duì)THM6380臥式數(shù)控加工中心進(jìn)行了溫度場(chǎng)及熱誤差的測(cè)量實(shí)驗(yàn)，分析了機(jī)床溫度場(chǎng)特點(diǎn)，基于系統(tǒng)聚類法、灰色關(guān)聯(lián)度分析及測(cè)點(diǎn)篩選原則優(yōu)化了溫度測(cè)點(diǎn)的選擇，并通過預(yù)測(cè)建模降低了機(jī)床的熱誤差。結(jié)論如下：

(1)優(yōu)化模型測(cè)點(diǎn)優(yōu)化性能顯著，使得溫度測(cè)點(diǎn)從20個(gè)減少為4個(gè)。通過MLR建模，雖然優(yōu)化模型的預(yù)測(cè)性能稍低于全點(diǎn)預(yù)測(cè)模型，但是泛化性能提升效果顯著，綜合預(yù)測(cè)性能最好。

(2)全信息GM(1,5)模型預(yù)測(cè)性能及泛化性能均不如MLR模型，由于對(duì)初始聚類中心敏感的特性，F(xiàn)CM聚類容易陷入局部最優(yōu)，測(cè)點(diǎn)優(yōu)化效果不如本文所提優(yōu)化方法。

(3)采用系統(tǒng)聚類、灰色關(guān)聯(lián)度分析及本文提出的測(cè)點(diǎn)篩選原則，可以獲得機(jī)床熱誤差預(yù)測(cè)模型的最優(yōu)測(cè)點(diǎn)組合，且能夠避免自變量之間的多重共線性，實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)性能及泛化性能的均衡。有望應(yīng)用于類似機(jī)床熱誤差的預(yù)測(cè)，進(jìn)行系統(tǒng)的溫度測(cè)點(diǎn)選擇及誤差建模。