基于滑移流模型的微型箔片軸承傾斜性能研究

宋國強(qiáng)，伍 林

(上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201418)

0 引言

彈性箔片動壓氣體軸承是一種低功耗、耐高低溫、高精密的支承軸承[1]。目前在高速機(jī)床、透平壓縮機(jī)械、燃?xì)廨啓C(jī)等領(lǐng)域得到了非常成功的應(yīng)用[2-3]。然而隨著對機(jī)床加工精度、控制精度的提高，當(dāng)氣體軸承間隙尺寸處于亞微米級別時，使用傳統(tǒng)無滑移修正的模型對軸承承載估算會有些失實，對此應(yīng)使用修正后的滑移模型對軸承進(jìn)行參量特性分析。

Heshmat[4]基于Walowit[5]的波箔片剛度系數(shù)公式在不同箔片結(jié)構(gòu)參數(shù)下研究了止推箔片軸承性能； lordanoff[6]在一維情況下為氣體箔片動壓推力軸承實現(xiàn)最佳設(shè)計參數(shù)創(chuàng)建了一個目標(biāo)函數(shù)計算模型；周權(quán)博士[7]運(yùn)用有限差分法得出了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下止推箔片軸承的承載力和扭矩。

上述研究主要采用傳統(tǒng)連續(xù)模型來研究止推箔片軸承性能。而對于軸承最小間隙小于1μm傾斜狀態(tài)下的止推箔片軸承，在整個止推盤傾斜最小氣膜間隙到最大氣膜間隙過程中，可能會導(dǎo)致其氣膜克努森數(shù)值由氣流滑移區(qū)域[8](0.001

本文考慮到軸承轉(zhuǎn)子止推盤傾斜條件下氣流滑移效應(yīng)對軸承承載力的影響，在傳統(tǒng)無滑移效應(yīng)的連續(xù)模型主控雷諾方程中引入一階滑移和Wu新滑移修正項，采用有限體積法求解滑移修正后的各模型雷諾方程，并探討傾斜條件下，氣流滑移效應(yīng)對不同箔片傾斜高度、不同轉(zhuǎn)速、不同軸承間隙下的止推箔片軸承氣膜壓力分布和承載力特性的影響。

1 氣體止推箔片軸承結(jié)構(gòu)

氣體止推箔片軸承一般是由多個有預(yù)楔角的扇形軸承座瓦塊和彈性箔片元件拼合而成，其結(jié)構(gòu)如圖1所示，r1、r2分別為軸承瓦塊內(nèi)、外半徑，β為瓦塊張角，當(dāng)軸承轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)時，氣體會因自身的黏性而被帶動，并通過楔形空間被壓縮，從而獲得動壓效應(yīng)支承載荷。這種結(jié)構(gòu)不僅可以冷卻吸入的氣體，降低箔片和止推盤溫度，同時還可增大軸承柔度，避免軸承和止推盤之間發(fā)生摩擦。

圖1 氣體止推軸承結(jié)構(gòu)

2 考慮氣流滑移效應(yīng)的壓力控制方程

2.1 止推盤傾斜狀態(tài)下的修正雷諾方程

在軸承實際運(yùn)行時，轉(zhuǎn)子往往會出現(xiàn)軸承不對中、彎曲，導(dǎo)致止推盤傾斜，同時改變氣膜間隙，氣膜壓力也發(fā)生變化。如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)子止推盤傾斜狀態(tài)

在圖2所示坐標(biāo)系下，X、Y為周向坐標(biāo)，Z為軸向坐標(biāo)。假設(shè)軸承間的氣體黏度不隨溫度變化，忽略氣膜慣性力的影響，引入如下無量綱參數(shù)，各參數(shù)的物理意義見圖3。

(1)

圖3 止推箔片軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖3中，h1為扇形箔片進(jìn)口處與推力盤的間隙，h2為扇形箔片出口處與推力盤的間隙，p為止推箔片軸承間隙氣膜壓力，h為軸承間隙高度，r為軸承扇形瓦塊半徑，δh為進(jìn)、出口處箔片與推力盤間隙高度差，pa為環(huán)境氣體壓力(為101325Pa)，R2為箔片扇形瓦外徑，u表示彈性箔片的變形量，s為彈性箔片的厚度，k為止推軸承的結(jié)構(gòu)剛度，則傳統(tǒng)連續(xù)、一階滑移、及Wu新滑移修正的定常流動雷諾方程為：

(2)

不同模型對應(yīng)不同的系數(shù)bs、cs(見表1)，f=min[1/Kn0,1]為取值函數(shù)。

表1 模型系數(shù)

2.2 止推盤傾斜狀態(tài)下氣膜厚度方程

圖2中軸承沿X、Y軸傾斜的偏離角用θX、θY表示，因θX、θY過小，可將其近似為：

θX≈sinθX，θY≈sinθY

(3)

定義無量綱參數(shù)為：

(4)

則傾斜狀態(tài)下的無量綱氣膜厚度可表示為：

(5)

(6)

(7)

式中，β為扇形瓦張角，b為節(jié)距比，即傾斜面部分在扇形瓦塊中占的比例，U(R，θ)為彈性箔片在壓力作用下的無量綱變形量，α為箔片變形柔度系數(shù)，φ為離散網(wǎng)格節(jié)點到X軸正向的角度，如圖4所示。

圖4 直角坐標(biāo)系中扇形瓦分布情況

3 控制方程有限體積法數(shù)值求解

彈性箔片止推軸承的氣膜壓力主控方程是一個非線性偏微分方程。這種方程的解析解難以獲得，因此應(yīng)采用數(shù)值方法求解。因為彈性箔片止推軸承結(jié)構(gòu)上的對稱性以及各瓦塊承載性能相通，所以只需考慮單一瓦塊，便能得到軸承的整體性能。令ζ=lnR，求解區(qū)域由原來扇形變?yōu)榫匦尉W(wǎng)格，如圖5所示，Δθ為控制容積周向步長，Δζ為控制容積徑向步長，均勻劃分求解區(qū)域，矩形網(wǎng)格中陰影區(qū)域為單個離散點的控制體積單元，則P點的氣膜壓力控制方程變?yōu)?

(8)

圖5 求解區(qū)域變換圖

通過有限體積法可將(8)式離散為：

APPP=AEPE+AWPW+ANPN+ASPS+SWΔζ-SEΔζ

(9)

對式(8)求解過程中，因動壓止推軸承運(yùn)行時，扇形瓦塊的每個邊界都和環(huán)境相通，所以各個邊界都為環(huán)境邊界條件，其無量綱壓力邊界條件為：

(10)

求解過程中先給定氣膜壓力和氣膜厚度的初值，再通過SOR迭代算法求解得到軸承各點的氣膜壓力和氣膜厚度的數(shù)值解，程序算法流程圖如圖6所示。最終得到單個止推箔片軸承的軸向承載力為：

(11)

(12)

4 仿真結(jié)果驗證與分析

4.1 程序的驗證

圖6 數(shù)值求解流程圖

為驗證本文所用程序的正確性，按表2所示微型氣浮箔片止推軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)，用有限體積法計算，并與文獻(xiàn)[7]的仿真結(jié)果做對比。

圖7給出了本文使用有限體積法計算得到的軸承氣膜壓力分布圖。圖8展示了文獻(xiàn)[7]中的有限差分法和本文使用有限體積法得到的在R=2處的氣膜壓力分布圖。對比結(jié)果表明：兩種算法得到氣膜壓力分布幾乎完全一樣；使用有限體積法計算得到的無量綱承載力為15.96與文獻(xiàn)中的承載力相對誤差為1.83%。由此驗證了本文算法的準(zhǔn)確性。

表2 文獻(xiàn)[7]中止推箔片軸承的計算參數(shù)

圖7 有限體積法算得的氣膜壓力分布

圖8 兩種算法得到的在R=2處的氣膜壓力分布

4.2 轉(zhuǎn)子止推盤傾斜條件下的軸向承載力分析

本文仿真研究所用的微型箔片止推軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)如表3所示，氣膜厚度收斂精度設(shè)為10-6。

表3 止推箔片軸承的計算參數(shù)

當(dāng)扇形瓦塊張角為90°時，圖9～圖11分別為在箔片變形柔度系數(shù)α為0.060356，轉(zhuǎn)速ω=10kr/min條件下軸承止推盤沿X、Y軸方向各傾斜5×10-5rad角度的Wu新滑移修正模型止推箔片軸承壓力分布圖、三種模型在周向半徑中線處的氣膜壓力分布圖和此狀態(tài)下的Knudsen數(shù)分布圖。由圖11為可以看出位于傾斜一側(cè)扇形瓦塊潤滑氣膜的Knudsen數(shù)遠(yuǎn)大于氣流滑移區(qū)域的最大值0.1，氣膜厚度與分子自由程處于同一量級，這使得一階滑移模型已不再適用，需采用任意克努森數(shù)下適用的Wu滑移模型來研究軸承參數(shù)特性。

圖9 設(shè)計算例參數(shù)下Wu新滑移模型的氣膜壓力分布

圖10 一階滑移模型無量綱壓強(qiáng)

圖11 設(shè)計算例參數(shù)下止推箔片軸承Knudsen數(shù)分布圖

圖12展示了箔片柔度系數(shù)α=0.060356，轉(zhuǎn)速ω=10kr/min條件下，轉(zhuǎn)子止推盤在不同傾斜角度時，連續(xù)和各滑移修正模型的承載力變化規(guī)律?？梢钥闯?，隨著轉(zhuǎn)子傾斜角度增大，各模型的軸承承載力逐漸增大且有明顯差異。這是因為在傾斜角度條件下，轉(zhuǎn)子止推盤有將近1/4區(qū)域的氣膜Knudsen數(shù)大于0.1，局部氣膜厚度與氣體分子平均自由程屬于同一量級，氣體分子間的碰撞和分子與壁面的碰撞對氣流運(yùn)動的影響較大且不可忽略，連續(xù)模型和一階滑移修正模型假設(shè)對這種情況的考慮不夠完善，導(dǎo)致出現(xiàn)模型間較大的偏差。

圖12 軸承承載力隨傾斜角度的變化情況

圖13為基于連續(xù)和各滑移修正模型在傾斜角度為5×10-5rad 、箔片變形柔度α=0.060356、轉(zhuǎn)速ω=10kr/min、不同最小氣膜間隙條件下，軸承軸向承載力和箔片傾斜高度的關(guān)系。從圖中可以看出，在箔片傾斜高度增大的過程中，承載力呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢，且最小間隙越大，軸承承載力達(dá)到最高所需的箔片傾斜高度也越大；隨著最小間隙的增大，軸承承載力明顯下降，同時承載力的變化越趨平緩，軸承收斂間隙的氣膜動壓效果明顯減弱；各模型間的承載力在一定范圍內(nèi)隨著箔片傾斜高度增大有顯著偏差； 在軸承最小間隙低于1μm后，Wu新滑移模型計算得到的承載力低于一階滑移模型和連續(xù)模型，各模型間的結(jié)果偏差隨著軸承間隙的減小也越來越大，印證了文獻(xiàn)[9]中克努森數(shù)接近0.1時一階滑移不再適用的結(jié)論，需采用對分子碰撞有深入研究的Wu滑移模型來得到更加精確的軸承承載力結(jié)果。

圖13 軸承承載力隨箔片間隙高度的變化情況

表4給出了傾斜角度為5×10-5rad 、箔片變形柔度α=0.060356條件下，三種模型下的軸承軸向承載力和轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系。隨著轉(zhuǎn)速的增加，由箔片收斂間隙結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的動壓效果增強(qiáng)，軸承承載力也在不斷增大。在相同轉(zhuǎn)速條件下，考慮氣流滑移效應(yīng)后，由于滑移速度邊界條件的影響，使得軸承間隙的氣流壓力水平有所降低，導(dǎo)致軸承的軸向承載力降低。在轉(zhuǎn)速較低時，模型結(jié)果之間的相對偏差較大，但是隨著轉(zhuǎn)速繼續(xù)增加，各模型間的結(jié)果偏差接近一個恒定值。這是因為氣流滑移影響是由氣膜厚度的Knudsen數(shù)決定。隨著轉(zhuǎn)速提高，箔片材料變形程度加大，導(dǎo)致氣膜間隙增大，相應(yīng)區(qū)域的氣膜Knudsen數(shù)也降低到一階滑移模型適用范圍，同時基于合理假設(shè)的Wu新滑移模型也適用，所以模型偏差降低。這說明箔片柔度系數(shù)一定時，高轉(zhuǎn)速下產(chǎn)生的氣流滑移效應(yīng)是有限的。

表4 不同轉(zhuǎn)速下三種模型計算的承載力的對比

5 結(jié)論

針對精密磨削機(jī)床中傾斜條件下的微型止推箔片軸承結(jié)構(gòu)，分別采用連續(xù)模型、一階滑移模型和Wu新滑移模型速度邊界條件，推導(dǎo)出考慮氣流滑移效應(yīng)的修正雷諾方程。采用有限體積法對其進(jìn)行求解，得到三個模型在不同傾斜角度、不同箔片傾斜高度、不同軸承間隙高度和不同轉(zhuǎn)速下的軸承承載力結(jié)果。對比結(jié)果可得出如下結(jié)論：

相對于連續(xù)模型，利用滑移修正后的模型對傾斜條件下的微型止推箔片軸承承載力計算結(jié)果隨傾斜角度、箔片傾斜高度、最小氣膜間隙的變化有明顯改變。當(dāng)最小氣膜間隙、軸承轉(zhuǎn)速和傾斜角度降低時，滑移修正模型得到結(jié)果遠(yuǎn)小于連續(xù)模型，且模型間的結(jié)果偏差也被放大。通過有限體積法求解滑移修正模型可得到較為精確的微型止推箔片軸承參量特性，以便為相關(guān)精密磨削機(jī)床的安全運(yùn)行提供精確數(shù)據(jù)以及為精密磨削余量的的計算提供堅實的理論基礎(chǔ)。