兩球同處先后落相碰反彈升多高

鄭金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽(yáng) 122500)

對(duì)有關(guān)兩個(gè)小球在同一豎直線上以大小相等、方向相反的速度發(fā)生彈性碰撞而彈起的最大高度問(wèn)題，若根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列方程解答則比較麻煩.而直接利用物理結(jié)論解答則很簡(jiǎn)捷.下面以一道高考題為例，對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行拓展，即通過(guò)改變兩球的質(zhì)量關(guān)系或碰撞點(diǎn)位置來(lái)求解最大高度的極值，由此歸納出結(jié)論并進(jìn)行靈活應(yīng)用.

1 結(jié)論推導(dǎo)

【原題】(2010年高考全國(guó)卷Ⅱ)小球A和B的質(zhì)量分別為mA和mB，且mA>mB.在某高度處將A和B先后從靜止釋放.小球A與水平地面碰撞后向上彈回，在釋放處下方與釋放處距離為H的地方恰好與正在下落的小球B發(fā)生正碰.設(shè)所有碰撞都是彈性的，碰撞時(shí)間極短.求小球A和B碰撞后B上升的最大高度.

解析：如圖1所示，兩球碰撞前瞬時(shí)，球A的速度向上，B的速度向下.由于二者是在同一高度處釋放，而所有碰撞是彈性的，則由機(jī)械能守恒定律可知，小球A與B碰撞前瞬時(shí)的速率相等，設(shè)為v0，則有

(1)

設(shè)球A與B碰撞后的速度分別為v1和v2，碰撞后球B的速度是向上的，以豎直向上為正方向，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律分別有

mAv0-mBv0=mAv1+mBv2

(2)

(3)

聯(lián)立式(2)、(3)得

(4)

圖1 兩球相碰位置示意圖

設(shè)球B從碰撞位置上升的最大高度為h，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有

(5)

利用式(1)、(4)、(5)得

(6)

拓展:(1)如果碰撞后小球A的速度突然變?yōu)榱悖敲葱∏駼上升的最大高度為多少？(2)兩球的質(zhì)量滿足什么關(guān)系時(shí)，可使小球B上升的最大高度有極大值？(3)兩球A和B在何處碰撞可使小球B上升的最大高度有極大值？

解析:(1)如果碰撞后小球A的速度突然變?yōu)榱悖敲辞駼的速度是向上的，對(duì)式(2)、(3)取v1=0，聯(lián)立方程可得

v2=2v0

利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有

可知小球B從碰撞位置上升的最大高度h=4H.

由式(2)可得質(zhì)量大小關(guān)系為

mA=3mB

代入式(6)得

h=4H

由此可知，k越大，h就越大.當(dāng)k→∞時(shí)，即當(dāng)mA?mB時(shí)，hmax≈9H.

(3)若兩個(gè)小球不同時(shí)下落，則先后下落的時(shí)間間隔越短，碰撞點(diǎn)就越低，到釋放點(diǎn)的距離H就越大，那么根據(jù)式(6)，球B上升的高度h就越大，因此當(dāng)二者同時(shí)下落時(shí)，碰撞點(diǎn)最低，H值最大，所以球B彈起后上升的高度有極大值.

可見(jiàn)，直接利用式(6)解題可化繁為簡(jiǎn).

結(jié)論:對(duì)于從水平地面上方同一位置先后自由下落的兩個(gè)小球m1和m2(m1>m2)，若相碰位置到釋放位置的高度為H，則上方小球從碰撞位置彈起的最大高度為

若下方小球與上方小球的質(zhì)量之比越大，則上方小球彈起的高度就越大，當(dāng)m1?m2時(shí)，hmax≈9H；若兩球同時(shí)下落，則上述h值最大.

2 結(jié)論應(yīng)用

直接利用上述結(jié)論解答類似的問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，可避免根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列方程以及解方程組的麻煩.

而

可得

設(shè)小球1和2碰撞前瞬時(shí)的速度分別為v1和v2，則有

v1=gtv2=v0-gt

即

由于兩球相碰前的瞬時(shí)速度大小相等，方向相反，因此可等效為兩個(gè)小球從同一高度處先后自由下落，質(zhì)量較大的球與水平地面發(fā)生彈性碰撞后彈起再與質(zhì)量較小的球發(fā)生彈性碰撞.由題意可知從釋放點(diǎn)到碰撞點(diǎn)的高度為

設(shè)

則相碰后上方小球從碰撞點(diǎn)上升的最大高度

因此當(dāng)m=9m1時(shí)，球1上升的高度最大，最大值為

對(duì)于該題，還有一種錯(cuò)誤的解法，即認(rèn)為碰撞后下方小球的速度立即為零時(shí)，把全部能量都給了上方小球，則上方小球被彈起的最大高度h=4H，可得二者的質(zhì)量關(guān)系為m=3m1.

【例2】有兩個(gè)鋼球，密度相同，其中小球的半徑為a，大球的半徑為2a，小球置于大球頂上，開(kāi)始時(shí)大球的球心到水平鋼板平臺(tái)的高度為h0，如圖2所示.若兩球從靜止開(kāi)始下落，假設(shè)兩球心始終在同一豎直線上，而且所有的碰撞都是彈性的，求碰撞后小球?qū)⑦_(dá)到的最大高度(球心到鋼板平臺(tái)的距離).

圖2 例2題圖

解析:大球與鋼板碰撞后反彈，再與小球相碰，由于二者一起下落，則相碰時(shí)的速度大小相等，那么由結(jié)論可知小球從碰撞位置上升的最大高度為

由公式m=ρV和球體積公式可知M=8m.兩球同時(shí)下落，當(dāng)大球接觸鋼板時(shí)兩球發(fā)生彈性碰撞，可知上方小球自由下落的距離等于二者一起下落的距離，即H=h0-2a，因此小球從碰撞點(diǎn)上升的最大高度h可表示為

所以小球上升的最高點(diǎn)到鋼板的距離

d=h+5a≈6.5h0-8a

點(diǎn)評(píng):當(dāng)兩球上下疊放同時(shí)下落時(shí)，只有當(dāng)下方球與鋼板碰撞反彈時(shí)，兩球才發(fā)生碰撞，由此來(lái)確定上方小球自由下落的距離，等于兩球一起下落的距離，即為下方球面的最低點(diǎn)到鋼板的距離，而不是球心到鋼板的距離.雖然兩球不在同一位置釋放，但在一起下落，若不是在一起下落，則二者相碰時(shí)的速度大小不相等，那么結(jié)論不適用.

對(duì)于兩道例題，盡管兩球不在同一高度處自由下落，但仍可利用結(jié)論來(lái)解答.要注意結(jié)論的適用條件，包括3方面：

其一，兩球正碰前的瞬時(shí)速率相等，這就要求半徑忽略不計(jì)，且在同一位置釋放，但不一定同時(shí)釋放，若半徑不能忽略，則須兩球上下疊放同時(shí)釋放，即二者一起下落；

其二，所有碰撞都是彈性的；

其三，位于上方小球的質(zhì)量較小.

還要注意結(jié)論式中各距離的含義，其中H是指相碰位置到釋放位置的距離，實(shí)際是上方小球自由下落的距離；而h是指上方小球豎直上拋運(yùn)動(dòng)的最大位移.該結(jié)論適宜解答選擇題和填空題，而對(duì)于高考題中的論述計(jì)算題，要慎用結(jié)論，但可借助結(jié)論來(lái)檢驗(yàn)常規(guī)解法所得結(jié)果是否正確.