HilbertC?-模中K-框架的對(duì)偶性

相中啟,石黃萍

(上饒師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西 上饒334001)

1.引言

Hilbert空間中框架(經(jīng)典框架)概念的出現(xiàn)可以追溯到上世紀(jì)50年代[1],當(dāng)時(shí)它被用來處理非調(diào)和Fourier數(shù)中的一些深刻問題.1986年,Daubechies等[2]重新引入并進(jìn)一步發(fā)展了框架理論,他們的開創(chuàng)性工作使得沉寂了30多年的框架理論再次進(jìn)入人們的視野并引起了廣泛關(guān)注.因許多好的性質(zhì),目前框架已在理論和應(yīng)用領(lǐng)域中發(fā)揮著重要的作用,更多詳情參看文[3-9].在研究算子的原子分解時(shí),G?avrut?a[10]引入了K-框架的概念.由文[11-14]可知,盡管K-框架是框架的推廣,但是由于有界線性算子K的制約,其性質(zhì)幾乎完全不同于框架.

最近,K-框架的概念被推廣到了HilbertC?-模中[15?16].雖然HilbertC?-模是Hilbert空間的一般化,但是由于二者之間的一些本質(zhì)差異(比如HilbertC?-模中的閉子模未必正交可補(bǔ);其上存在不可伴的有界算子,等),HilbertC?-模上的C?-代數(shù)的復(fù)雜性以及Hilbert空間中的一些有用的技巧不再適用于HilbertC?-模,致使HilbertC?-模中的K-框架問題要比Hilbert空間情形復(fù)雜很多,所以K-框架理論由Hilbert空間到HilbertC?-模的推廣工作并非平凡.

由于框架算子一般不可逆,所以HilbertC?-模中的K-框架沒有經(jīng)典的典范對(duì)偶,這導(dǎo)致其對(duì)偶性問題研究起來相當(dāng)困難,關(guān)于這方面的成果很少.本文從新的角度刻畫了HilbertC?-模中K-框架的對(duì)偶性.首先給出HilbertC?-模中的序列成為給定K-框架的K-對(duì)偶Bessel序列的充分必要條件; 其次得到K-對(duì)偶Bessel序列的等價(jià)條件,使得K-框架及由其K-對(duì)偶Bessel序列誘導(dǎo)的Bessel序列可以在一個(gè)閉子模上交換位置; 最后給出條件使得給定K-框架存在唯一的、其解析算子取得最小范數(shù)的K-對(duì)偶Bessel序列,這為尋求HilbertC?-模中K-框架的典范對(duì)偶的定義方式提供了一些思路.

2.準(zhǔn)備工作

本節(jié)回顧一些記號(hào)、定義及下節(jié)所要用到的一些結(jié)果.

全文采用如下記號(hào):A表示有單位元的C?-代數(shù),J有限或可數(shù)指標(biāo)集.用F,H和K表示A上的有限或可數(shù)生成HilbertC?-模,End?A(H ,K)表示H到K的可伴算子的全體,End?A(H ,H)縮寫為End?A(H).

定義2.1[15]設(shè)K ∈End?A(H),{fj}j∈J是H中的序列,若存在常數(shù)C,D >0使得

則稱{fj}j∈J是H的K-框架,C,D分別稱為{fj}j∈J的下、上K-框架界.如果只有(2.1)右側(cè)的不等式成立,則稱{fj}j∈J是H的Bessel序列,D稱為Bessel界.

設(shè)K ∈End?A(H),{fj}j∈J是H中的序列,如果

則稱{fj}j∈J是H的ParsevalK-框架.

由(2.2)易推知

設(shè){fj}j∈J是H的Bessel序列,其解析算子定義為:

其中?2(A)是由下式定義的A上的HilbertC?-模:

易見,U的伴隨算子由下式給出:

下面的定義是文[12]中定義2.5的推廣.

定義2.2設(shè)K ∈End?A(H),{fj}j∈J是H的K-框架,又設(shè){gj}j∈J是H的Bessel序列.如果

則稱{gj}j∈J是{fj}j∈J的K-對(duì)偶Bessel序列.

引理2.1[17]設(shè)Λ ∈End?A(H ,K)有閉的值域,則存在Λ的Moore-Penrose逆Λ?∈End?A(K ,H)使得

引理2.2[18]設(shè)T′∈End?A(H ,F),T ∈End?A(K ,F),且設(shè)正交可補(bǔ),則以下論斷等價(jià):

1) 對(duì)某個(gè)λ>0,有T′T′?≤λTT?.

2) 存在μ>0使得任意z ∈F,∥T′?z∥≤μ∥T?z∥.

3) 存在S ∈End?A(H ,K)使得T′=TS,即TX=T′有解.

4) Range(T′)?Range(T).

此外,存在唯一的S滿足T′=TS以及Range(S)?(KerT)⊥.此時(shí)有

引理2.3[19]序列{fj}j∈J是H的界為D的Bessel序列當(dāng)且僅當(dāng)

為了表述的方便,下文中Df和Uf分別用來表示Bessel序列{fj}j∈J的Bessel界和解析算子.進(jìn)一步,如果{fj}j∈J是K-框架,則用Cf表示其下K-框架界.

3.主要結(jié)果

本節(jié)給出HilbertC?-模中K-對(duì)偶Bessel序列的一些刻畫,首先有

定理3.1設(shè)K ∈End?A(H),{fj}j∈J是H的K-框架,則序列{gj}j∈J?H是{fj}j∈J的K-對(duì)偶Bessel序列當(dāng)且僅當(dāng)存在φ ∈End?A(H ,?2(A)),使得K=U?fφ以及任意j ∈J有g(shù)j=φ?ej,其中{ej}j∈J是?2(A)的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

證首先設(shè){gj}j∈J是{fj}j∈J的K-對(duì)偶Bessel序列,則由(2.6)知K=U?fUg.令φ=Ug,則K=U?fφ.因?yàn)閷?duì)任意x ∈H有所以

于是φ?ej=U?gej=gj,?j ∈J.

反過來,對(duì)任意x ∈H可得

由引理2.3 知{gj}j∈J是H的界為∥φ∥2的Bessel序列.又

因此{(lán)gj}j∈J是{fj}j∈J的K-對(duì)偶Bessel序列.

易見(2.6)中{fj}j∈J和{gj}j∈J的位置一般不可交換(除非K自伴),但是如下關(guān)于K-對(duì)偶Bessel序列的充分必要條件表明,如果K有閉的值域,則{fj}j∈J和由{gj}j∈J誘導(dǎo)的Bessel序列可以在Range(K)上交換位置.

定理3.2設(shè)K ∈End?A(H)有閉的值域,又設(shè){fj}j∈J是H的K-框架,{gj}j∈J是H中的序列,那么以下論斷等價(jià):

1){gj}j∈J是{fj}j∈J的K-對(duì)偶Bessel序列.

證1)?2).任意z ∈KerK,由K-對(duì)偶Bessel序列的定義知

任意z ∈Range(K),聯(lián)合(2.6)和引理2.1得

任意j ∈J,令hj=(K?|Range(K))?gj,則對(duì)任意x ∈H有

由引理2.3,{hj}j∈J是H的界為Dg∥K?∥2的Bessel序列.現(xiàn)在,任意y,z ∈Range(K),

2)?1).因?yàn)镽ange(K?)=(KerK)⊥,所以每個(gè)x ∈H可表示為x=x1+x2,其中x1∈Range(K?),x2∈(Range(K?))⊥=KerK.由引理2.1,K?K是Range(K?)上的正交投影,所以由(3.1)知

這表明{gj}j∈J是{fj}j∈J的K-對(duì)偶Bessel序列.

一般地,K-對(duì)偶Bessel序列并不是K-框架.但是如果附加一些條件,則K-對(duì)偶Bessel序列可自然生成K-框架

定理3.3設(shè)K ∈End?A(H)有閉的值域,{fj}j∈J是H的K-框架,{gj}j∈J是其K-對(duì)偶Bessel序列.如果正交可補(bǔ),則{Kgj}j∈J是H的K-框架.

證對(duì)任意x ∈H有于是

因此

由于K有閉的值域,故K?也有閉的值域.所以任意y ∈Range(K?),由引理2.1知y=K?(K?)?y=K?Ky,從而∥y∥2=∥K?Ky∥2≤∥K?∥2∥Ky∥2.于是

由引理2.2,存在λ>0使得KK?≤λ(UgK?)?(UgK?).故

這就完成了證明.

HilbertC?-模上K-框架的K-對(duì)偶Bessel序列可能不唯一,請(qǐng)檢查下面的例子.

例3.1設(shè)?∞是所有有界復(fù)值序列的集合.任意u={uj}j∈N,v={vj}j∈N∈?∞,定義

則A={?∞,∥·∥}是一C?-代數(shù).

設(shè)H=C0是收斂于零的序列的全體.任意u,v ∈H,定義那么H是A上的HilbertC?-模.

設(shè){ej}j∈N是H的標(biāo)準(zhǔn)正交基且定義映射K:H →H如下:Ke1=e1,Ke2=e1,Kej=ej,j ≥3.

容易驗(yàn)證K ∈End?A(H).任意j ∈N,令fj=Kej,則對(duì)任意x ∈H有

所以

說明{fj}j∈N是H的ParsevalK-框架.由(3.2)可推知這表明{gj}j∈N={ej}j∈N是{fj}j∈N的K-對(duì)偶Bessel序列.令

簡(jiǎn)單計(jì)算可知{hj}j∈N是H的Bessel序列.任意x ∈H,因?yàn)?/p>

所以{hj}j∈N是{fj}j∈N的K-對(duì)偶Bessel序列且

接下來的結(jié)果表明,HilbertC?-模中給定K-框架的兩個(gè)K-對(duì)偶Bessel序列之間的差別可視為一個(gè)可伴算子.

定理3.4設(shè)K ∈End?A(H),{fj}j∈J是H的K-框架,{gj}j∈J是其K-對(duì)偶Bessel序列.那么序列{hj}j∈J?H是{fj}j∈J的K-對(duì)偶Bessel序列當(dāng)且僅當(dāng)存在φ ∈End?A(H ,?2(A))使得任意j ∈J和x ∈H,有U?fφ=0,?x,hj?gj?=(φx)j.

證首先設(shè){hj}j∈J是{fj}j∈J的K-對(duì)偶Bessel序列.定義映射φ:H →?2(A),(φx)j如下:

則φ ∈End?A(H ,?2(A)).事實(shí)上,任意{cj}j∈J∈?2(A)有

反過來,對(duì)任意x ∈H有

所以{hj}j∈J是{fj}j∈J的K-對(duì)偶Bessel序列.

下面的結(jié)果表明,一定條件下給定K-框架的所有K-對(duì)偶Bessel序列中存在唯一的K-對(duì)偶Bessel序列,其解析算子取得最小范數(shù).

定理3.5設(shè)K ∈End?A(H),{fj}j∈J是H的K-框架且Range(Uf)正交可補(bǔ),則存在唯一的{fj}j∈J的K-對(duì)偶Bessel序列{gj}j∈J滿足且使得對(duì){fj}j∈J的任意K-對(duì)偶Bessel序列{hj}j∈J有∥Ug∥≤∥Uh∥.

證任意x ∈H,因?yàn)?/p>

任意j ∈J,令gj=S?ej,其中的標(biāo)準(zhǔn)正交基.那么任意x ∈H,

所以{gj}j∈J是H的界為∥S∥2的Bessel序列.任意j ∈J,因?yàn)閁?fej=fj,故

說明{gj}j∈J是{fj}j∈J的K-對(duì)偶Bessel序列.又任意x ∈H,

因此Ug=S,進(jìn)一步有現(xiàn)在設(shè){hj}j∈J是{fj}j∈J的任一K-對(duì)偶Bessel序列,則K=U?fUh,于是K?=U?hUf.任意x ∈H,因?yàn)?/p>

所以∥Ug∥2=∥S∥2≤∥Uh∥2,這等價(jià)于∥Ug∥≤∥Uh∥.

有趣的是,ParsevalK-框架可以自然生成自身的K-對(duì)偶Bessel序列.特別地,如果K有閉的值域,則該K-對(duì)偶Bessel序列取得最小范數(shù).

定理3.6設(shè)K ∈End?A(H)有閉的值域,{fj}j∈J是H的ParsevalK-框架,則{K?fj}j∈J是{fj}j∈J的K-對(duì)偶Bessel序列,且對(duì){fj}j∈J的任意K-對(duì)偶Bessel序列{gj}j∈J有∥Ug∥≥∥U′f∥,其中U′f是{K?fj}j∈J的解析算子.

證因?yàn)閧fj}j∈J是一ParsevalK-框架,則易于驗(yàn)證{K?fj}j∈J是H的Bessel序列且對(duì)任意x ∈H有由引理2.1 得

故{K?fj}j∈J是{fj}j∈J的K-對(duì)偶Bessel序列.現(xiàn)在設(shè){gj}j∈J是{fj}j∈J的任一K-對(duì)偶Bessel序列,則任意x ∈H,

因?yàn)閁′fx={?x,K?fj?}j∈J={?(K?)?x,fj?}j∈J=Uf(K?)?x,所以U′f=Uf(K?)?.這與(3.3)一起得到

因此(U′f)?(U′f?Ug)x=0,這等價(jià)于(U′f)?U′f=(U′f)?Ug.于是

由此可知∥U′f∥≤∥Ug∥.