一類具有飽和發(fā)生率和復發(fā)的隨機SIRI模型的穩(wěn)定性

穆宇光,徐瑞

( 陸軍工程大學石家莊校區(qū)軍政基礎系,河北 石家莊050003)

1.引言

近些年來,由于傳染病在人口增長上的負面影響,了解這些疾病的動態(tài)行為并預測可能發(fā)生的情況是十分必要的.因此,建立數(shù)學模型研究傳染病的動力學行為成為了幫助人們了解傳染病傳播模式和控制疾病的重要工具.在現(xiàn)實生活中,一些傳染病在染病者康復后會賦予其暫時的或者永久的免疫力,對于其他一些疾病,康復的人可能會隨著潛伏感染的重新激活而復發(fā)并恢復為染病者類,例如,牛結核病和人類皰疹,這類具有復發(fā)的疾病可以用SIRI(S-susceptible,I-infective,R-removed)傳染病模型來進行描述[1?3].

設S,I,R分別表示易感者,染病者和康復者的人口密度,文[4]提出了一類具有復發(fā)的SIRI傳染病模型:

其中Λ是易感人群的補充率,μ是人口的自然死亡率,β是疾病的傳播系數(shù),α是因病死亡率,κ表示了染病個體轉化為康復個體的速率,γ表示了康復個體因復發(fā)而成為染病個體的速率,所有參數(shù)均為正數(shù).

然而,由于不可預測的個體接觸,傳染病的發(fā)展和傳播是不斷變化著的.因此,研究環(huán)境噪聲對于傳染病的影響是十分必要的[5?9].結合文[4,6],本文研究了一類具有復發(fā)和飽和發(fā)生率的隨機SIRI傳染病模型:

其中λ表示染病個體轉化為康復個體的速率,為飽和發(fā)生率,B(t)是標準布朗運動,σ表示白噪聲的強度,其余參數(shù)與模型(1.1)相同,且所有參數(shù)均為正數(shù).易得

則

因此

是系統(tǒng)(1.2)的正向不變集.假設(S(0),I(0),R(0))∈Γ,且S+I+R=1,(?,F,{Ft}t≥0,P)是一個完備概率空間,σ-代數(shù)族{Ft}t≥0滿足非降和右連續(xù),并且B(t)是定義在完備概率空間(?,F,{Ft}t≥0,P)上的布朗運動,Rn+={x ∈Rn:xi>0,1≤i ≤n}.

2.系統(tǒng)正解的存在與唯一性

為了研究系統(tǒng)的動力學行為,首先應該證明系統(tǒng)在任何初值下是否存在一個唯一的全局解(也就是說,在有限時間內未出現(xiàn)爆破).眾所周知,為了保證隨機微分方程存在唯一全局解,系統(tǒng)的系數(shù)通常被要求滿足線性增長條件和局部Lipschitz條件[10].然而系統(tǒng)(1.2)的系數(shù)并不滿足線性增長條件,但是滿足局部Lipschitz條件,因此系統(tǒng)(1.2)的解可能會在某個有限時間點發(fā)生爆破.本節(jié)中,根據文[11]中的方法,我們給出如下定理.

定理2.1對于任意(S(0),I(0),R(0))∈Γ,當t ≥0時,系統(tǒng)(1.2)存在唯一正解并且它的解將依概率1停留在Γ內,即當t ≥0時,(S(t),I(t),R(t))∈Γa.s.

證因為系統(tǒng)(1.2)的系數(shù)滿足局部Lipschitz連續(xù)條件,則對于任意給定初值(S(0),I(0),R(0))∈Γ,在t ∈[0,τe)內存在一個唯一局部正解(S(t),I(t),R(t)),其中τe為爆破時間[10].為了證明解是全局解,僅需證明τe=∞a.s.設k0≥1足夠大,使得S(0),I(0),R(0)均位于區(qū)間[1/k0,k0]內.對于每一個整數(shù)k ≥k0,定義停止時間

設inf ?=∞(其中?表示空集).因此,當k →∞時,τk單調遞增.設τ∞=limk→∞τk,顯然τ∞≤τea.s.如果τ∞=∞a.s.則τe=∞a.s.并且當t ≥0時,(S(t),I(t),R(t))∈Γa.s.因此,要證明定理成立,僅需證τ∞=∞a.s.設τ∞=∞a.s.不成立,則存在一對常數(shù)T >0和ε ∈(0,1)使得P{τ∞≤T} > ε,因此存在整數(shù)k1≥k0使得P{τk≤T} ≥ε對于任意k ≥k1成立.

定義C2-函數(shù)V1:Γ →R+如下:

顯然函數(shù)V1(S,I,R)≥0恒成立.根據It?o公式可得

其中

由Γ的定義可得,

其中K是正常數(shù).則

對(2.5)式兩邊同時從0到τk∧T=min{τk,T}積分,然后取期望可得

設?k={τk≤T},k ≥k1,根據(2.1)可得,P(?k)≥ε.注意到對于任意ω ∈?k,S(τk,ω),I(τk,ω)和R(τk,ω)中至少有一個等于k或1/k.因此V1(S(τk,ω),I(τk,ω),R(τk,ω))不小于

則V1(S(τk,ω),I(τk,ω),R(τk,ω))≥(k ?1?lnk)∧(1/k ?1+lnk).由(2.7)式可得

其中I?k表示?k的示性函數(shù).令k →∞,則∞≥V1(S(0),I(0),R(0))+KT=∞,顯然存在矛盾.因此必有τ∞=∞a.s.這意味著解(S(t),I(t),R(t))依概率1在有限時間內不會發(fā)生爆破.證畢.

3.疾病的滅絕性

本節(jié)中,通過構建適當?shù)腖yapunov函數(shù),我們得到了疾病滅絕的充分條件.

定理3.1對于任意(S(0),I(0),R(0))∈Γ,若則無病平衡點E0依概率全局漸近穩(wěn)定.

證定義Lyapunov函數(shù)

其中a,b是正實常數(shù).根據公式可得

因為S,I ∈(0,1),則

又因為

則由(3.3)式可得

其中

注意到,當X(b)<0時,LV2負定.由(3.5)式可得

當φ ?2γλ/(μ+γ)>0且a足夠小時,?>0成立,則函數(shù)X(b)存在兩個正根b1和b2.因此,對于任何b ∈[b1,b2]有X(b)<0.將φ=2(λ+μ?β)?σ2代入不等式φ ?2γλ/(μ+γ)>0可得

因此,LV2負定,無病平衡點E0依概率全局漸近穩(wěn)定.證畢.

定理3.2對于任意(S(0),I(0),R(0))∈Γ,若則(I(t),R(t))指數(shù)收斂于(0,0) a.s.

證設θ為一正常數(shù).根據It?o公式可得

由定理2.1可得

由(3.8)式可得,存在m >0使得γ ?θ(μ+γ)< ?mθ成立.因此有μ+λ ?β成立.則m取值范圍如下

設n=max{β ?(λ+μ)+λθ,?m}<0,因此

對(3.9)式兩邊從0到t積分,可得

因此,由大數(shù)定理得

則結合(3.10)和(3.11)式可得

證畢.

4.疾病的持久性

本節(jié),我們研究了疾病的持久性.

定理4.1對于任意(S(0),I(0),R(0))∈Γ,若R0>1,則系統(tǒng)的解滿足

其中m′=min(2μ,2γ),E?=(S?,I?,R?)為非隨機系統(tǒng)的地方病平衡點.

證設x,y為正常數(shù),定義函數(shù)

其中

根據It?o公式可得

計算可得

因為S+I+R=S?+I?+R?=1,則

又因為λI??(μ+γ)R?=0,則

取m′=min(2μ,2γ),則

因此

對(4.9)式兩邊從0到t積分,可得

因此,由大數(shù)定理得

所以

證畢.

定理4.2設(S(t),I(t),R(t))是系統(tǒng)(1.2)對于任意初值(S(0),I(0),R(0))∈Γ的解,若Rs=成立,則疾病將持續(xù)存在,即,

證對系統(tǒng)(1.2)積分,可得S(t)+I(t)+R(t)=1+e?μt(S(0)+I(0)+R(0)?1),和綜合上式,可得

其中

其中

計算可得

顯然,當t →∞時

顯然,當t →∞時

將I放大至1,則

綜合上式并結合文[12]中引理5.2,可得

證畢.

5.數(shù)值模擬

本節(jié)我們應用文[13]中提出的Milstein高階方法對系統(tǒng)(1.2)的解進行數(shù)值模擬,參數(shù)根據參考文[6]選取,部分數(shù)值如下表所示

表5.1 數(shù)值模擬中參數(shù)和初值取值

圖中Stochastic表示隨機系統(tǒng)曲線,Deterministic表示非隨機系統(tǒng)曲線.

圖5.1中,選取參數(shù)σ=0.4,γ=0.012,使得數(shù)值模擬驗證了定理3.1的結論,此時疾病將會滅絕.

圖5.2,5.3中,選取參數(shù)γ=0.03,計算可得R0=0.875<1,數(shù)值模擬驗證了定理3.2的結論,此時系統(tǒng)的無病穩(wěn)態(tài)將吸引系統(tǒng)(1.2)的所有正解,并且隨著σ的增大,滅絕的速率也會增大,因此白噪聲會加速疾病的滅絕.

圖5.4中,選取參數(shù)σ=0.2,γ=0.1,計算可得Rs=1.2394>1,數(shù)值模擬驗證了定理4.1,4.2的結論,其中隨機系統(tǒng)的解在地方病平衡點E?周圍持續(xù)性地周期振蕩,此時疾病將會持續(xù)存在.

圖5.1 σ=0.4,γ=0.012

圖5.2 σ=0.2,γ=0.03

圖5.3 σ=2,γ=0.03

圖5.4 σ=0.2,γ=0.1