數(shù)學教科書中的非語言元素分析
——以浙教版八年級數(shù)學教科書為例*

張維忠， 胡智慧

(浙江師范大學 教師教育學院,浙江 金華 321004)

非語言元素(nonverbal elements)是教科書中非文本部分的重要組成部分，特指教科書中的所有圖像[1〗.在數(shù)學教學領(lǐng)域中，非語言元素對數(shù)學概念的形成與表征有著重要的作用，同時在難以用文字語言表達學習內(nèi)容的情況下，非語言元素能以更接近學生認知的方式呈現(xiàn)學習內(nèi)容，從而彌補文字表達抽象的不足，更生動直觀地呈現(xiàn)教科書的知識點.《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011版)》在教材編寫建議中也強調(diào)“教材應(yīng)具備可讀性，易于學生接受，激發(fā)學生學習興趣，為學生提供思考的空間……教材的呈現(xiàn)可以將實物照片、圖形、圖表、文字、數(shù)學符號等多種形式結(jié)合起來.”[2]因此，從非語言元素的視角對我國數(shù)學教科書進行分析，探討我國數(shù)學教科書中非語言元素的類型及指向功能，以期為教科書編寫者合理設(shè)置非語言元素及數(shù)學教師利用非語言元素有效實施數(shù)學教學提供啟示與借鑒.

1 研究對象與分析框架

1.1 研究對象

選取浙江教育出版社出版的八年級上、下兩冊數(shù)學教科書(以下簡稱為“教科書”)為研究對象[3].為了方便統(tǒng)計，筆者將教科書中所有章節(jié)參照《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011版)》分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”三大領(lǐng)域，每一領(lǐng)域包含的章節(jié)如表1所示.

表1 教科書章節(jié)按領(lǐng)域分類

1.2 分析框架

國內(nèi)關(guān)于非語言元素的研究主要集中在插圖這一方面.如張文宇等[4]在中美小學數(shù)學教科書插圖比較研究中對內(nèi)容和功能維度作了分析，按內(nèi)容分為數(shù)據(jù)圖表圖、模型圖、卡通圖、生活圖、史料圖，按功能分為裝飾型、表征型、解釋型；孫慶括[5]在前者基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)學教科書特點，將插圖分為生活類插圖、純數(shù)學類插圖、肖像圖和實驗圖4類.也有學者對插圖的文化取向進行了深入分析，如張維忠等[6]從多元文化視角對我國3個版本的初中教科書在國家文化、階層文化、性別文化和區(qū)域文化4方面進行了分析與討論.從文獻綜述來看，大部分研究者沒有重視幾何圖形這一非語言元素，僅將其包括在純數(shù)學圖形這一類型，所有插圖都用同一個功能分類模型.但是，這種做法存在一定的不合理性.有研究者指出，我國數(shù)學課程標準中“圖形與幾何”在內(nèi)容分布中占到一半[7]，在數(shù)學教科書中所占比例為40.18%[8]，因此在初中教科書中，幾何圖形是不可忽視的非語言元素.Gunzel等[1]提出了非語言元素類型和功能的分析框架，該分析框架將非語言元素劃分為：精確的幾何形狀、圖片或照片、統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖、表格形式及其他5種類型.其中對精確的幾何形狀進行了功能分類，分為解釋型、構(gòu)建型和探究型；對圖片或照片的功能分為數(shù)學類和非數(shù)學類.這一研究對本文有重要參考價值，但對于圖片或照片的功能劃分仍不夠深入.因此，本文根據(jù)研究內(nèi)容對該模型進行必要的調(diào)整與改進，綜合Gunzel及多位學者的研究，對各類型的功能進行重新劃分，并結(jié)合具體的教科書建構(gòu)了如下非語言元素的分析框架(見表2).

表2 非語言元素分析框架

需要指出的是，一些圖形為組合圖形，是精確幾何圖形與圖片的結(jié)合，本文將其歸到圖片這一類型中.精確的幾何圖形也包括數(shù)軸、直角坐標系、直線、拋物線、雙曲線這些解析幾何圖形.若一個圖形在題目中被使用2次，且使用的功能不同，則按2次計算，否則按1次計算.

2 非語言元素類型與指向功能分析

2.1 非語言元素類型分析

教科書對非語言元素的使用豐富多樣.研究發(fā)現(xiàn),教科書中非語言元素類型的分布有如下特點(見表3)：1)各類型非語言元素在教科書中分布不均衡.其中精確的幾何形狀類型占整個非語言元素數(shù)量的64%，數(shù)量最多.最直接的原因是在八年級教科書中“圖形與幾何”這一領(lǐng)域有關(guān)章節(jié)約占整體的45%，而幾何知識用語言描述過于抽象，因此都是以幾何圖形為輔助，以便達到直觀明了的效果，方便學生思考.圖片與照片類型共有221處，在各領(lǐng)域中使用的頻率都較高，這一類型中非語言元素大都與生活情境或數(shù)學歷史文化息息相關(guān)，突顯了數(shù)學課程標準中數(shù)學教學回歸生活和滲透數(shù)學歷史文化的理念.2)各類非語言元素在教科書不同領(lǐng)域中分布特點不同.在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中，精確的幾何圖形與圖片或照片這兩類非語言元素所占比例最高.我國數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微.”數(shù)形結(jié)合一直是貫穿整個中學數(shù)學的重要思想方法，因此,用數(shù)軸表示數(shù)的范圍，用函數(shù)圖像表示數(shù)學函數(shù)表達式等在“數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域”中應(yīng)用得非常廣泛.在“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域中最主要的是數(shù)據(jù)的收集與表示，大都用統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖的形式，因而在統(tǒng)計與概率中，統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖這一非語言元素是最突出的.

表3 教科書中非語言類型統(tǒng)計

2.2 非語言元素類型指向功能分析

2.2.1 精確的幾何形狀類型的指向功能分析

從功能維度分析，在精確的幾何形狀類型中(見圖1)，解釋型(76%)在教科書中使用最為普遍.解釋型能將呈現(xiàn)的抽象和復雜的數(shù)學內(nèi)容變得直觀，有利于培養(yǎng)學生的直觀想象數(shù)學素養(yǎng).如教科書在用文字描述三角形的中線、高線、角平分線的定義時，會在旁邊附加解釋型的圖形，或大部分的幾何習題中都會給出題目表示的幾何圖形.

建構(gòu)型在教科書中所占比例最少，約為10%，一般用于探索解決問題的思路或用幾何圖形建構(gòu)模型來解決問題.如在幾何證明的解題中，呈現(xiàn)添加輔助線后的幾何圖形作為圖示，學生可以借助建構(gòu)型的幾何圖形來尋求解題的靈感.再如教科書中非常重視數(shù)軸的使用，在“認識不等式”這一章節(jié)中，常用數(shù)軸表示不等式，借助數(shù)軸比較數(shù)的大小.這種作為數(shù)學模型的幾何圖形，能建立數(shù)與形的聯(lián)系，蘊含著數(shù)形結(jié)合及一一對應(yīng)的數(shù)學思想方法.

圖1 精確的幾何形狀類型的指向功能統(tǒng)計

探究型的幾何圖形使用也較少(14%)，通常是一個數(shù)學問題的幾何圖形.例如在“平行四邊形及性質(zhì)”一課的探究活動中，已知四邊形ABCD，若把它改成一個以AB為一條底邊的梯形或平行四邊形，并保持面積不變，可以怎樣改？請畫圖說明.探究型的幾何圖形還有一個重要的功能便是利用幾何圖形來證明數(shù)學命題，如教科書中利用趙爽弦圖讓學生探究勾股定理.但是教科書對于勾股定理更多的圖形證明方法卻未介紹，劉徽在《九章算術(shù)》中介紹的“出入相補法”[9]，國外學者Weber等用了不同的分割方法，都是直接用圖形去證明勾股定理[10].這些介紹既能讓學生了解幾何圖形探究功能的強大之處，也可以讓學生感受到多元文化之間的碰撞與交融.

2.2.2 圖片類型的指向功能分析

從圖片或照片這一類型來看(見圖2)，裝飾型(34%)最為常見，但和數(shù)學文本關(guān)聯(lián)度不大，只是為了增加教科書的美觀.這些圖片皆具藝術(shù)性，能夠使學生在使用教科書時緩解疲勞感，也可以培養(yǎng)學生的藝術(shù)欣賞水平.有研究顯示，圖片的呈現(xiàn)要符合學生的心理特點和認知規(guī)律，否則，不僅不能有效提高學生的解題能力，反而會分散學生的注意力，尤其是對于學習困難的學生來說，由于他們更容易受其他刺激的干擾，因此教科書需謹慎地使用這一類圖片[11].還有一些是和數(shù)學史有關(guān)的歷史人物和資料的圖像，如在“證明”這一章節(jié)末，在介紹費馬和他的猜想中提供了費馬和懷爾斯的肖像圖，以及紀念郵票圖，體現(xiàn)了濃厚的數(shù)學歷史文化.表征型、解釋型、探究型的圖片與數(shù)學文本的關(guān)聯(lián)性較強，在教科書中約占66%.表征型(16%)和探究型(23%)的圖片大都源于真實生活，表征型圖片可以建立起數(shù)學與生活的聯(lián)系，將數(shù)學概念具體化、可視化，同時也能讓學生感受到數(shù)學是從現(xiàn)實世界中抽象而來.例如溫度計表示的數(shù)軸、巴黎鐵塔中的三角形、甘肅永昌出土的菱形圖案、比利時地毯中的菱形圖案等.探究型的圖片是在現(xiàn)實生活的圖片中探究數(shù)學的性質(zhì)，例如尋找印度泰姬陵圖片中的軸對稱圖形，判別中國結(jié)的對稱性，探究地圖上點的位置關(guān)系等.

圖2 圖片類型的指向功能統(tǒng)計

2.2.3 表格形式類型的指向功能分析

表格形式類型的指向功能主要分為2種:一種是任務(wù)型(共18處)，在浙教版數(shù)學教科書中最為典型的是在一元二次方程這節(jié)的課內(nèi)練習中(見圖3),任務(wù)型的表格能夠反復考察學生對知識點的運用或一個知識點多種形式的轉(zhuǎn)化，有利于學生鞏固知識，形成基本技能;另一種為評價型，放在章節(jié)末的小結(jié)中，作為一種評價工具(見圖4)，共11處，對學生起到診斷與激勵作用.學生可以通過該表格診斷自己對本章節(jié)知識的掌握情況，從而激發(fā)學生自身的學習動力.教師可以通過收集學生的該表格來反思當前的教學，起到評價的調(diào)控作用.

圖3 數(shù)學任務(wù)型的表格形式

2.2.4 其他類型的指向功能分析

統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，教科書對于強調(diào)數(shù)學文本這一功能的非語言元素都是用箭頭加便箋的形式去突出數(shù)學文本，并沒有深入到內(nèi)容上用符號或標志去強調(diào)數(shù)學內(nèi)容.對闡釋數(shù)學本質(zhì)的非語言元素非常少，浙教版數(shù)學教科書兩冊書中僅4處.這一類型的非語言元素大都是利用思維導圖組織知識框架，突出數(shù)學核心概念，加強數(shù)學內(nèi)部的聯(lián)系.如四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間轉(zhuǎn)化的關(guān)系圖；有理數(shù)的分類圖等.

圖4 評價型的表格形式

由于統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖的非語言元素僅呈現(xiàn)數(shù)據(jù)及趨勢這一功能，因此不作詳細闡述.

3 結(jié)論與啟示

3.1 結(jié) 論

3.1.1 精確的幾何形狀類型中建構(gòu)型和探究型功能的非語言元素所占比例較低

從分析中可知，教科書中建構(gòu)型和探究型分別占10%和14%，在教科書中使用得比較少.更進一步講，根據(jù)布魯姆教育目標分類學的知識維度，教科書中的知識可分為4種類型：事實性知識、概念性知識、程序性知識、元認知知識[12].建構(gòu)型和探究型的幾何圖形往往是解決問題的方法、探究問題的途徑，能夠表現(xiàn)程序性知識.同時建構(gòu)型和探究型可以培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，促進學生數(shù)學元認知知識的學習.因此,這也說明教科書在促進學生程序性知識和元認知知識這些高水平認知的非語言元素數(shù)量設(shè)置上相對較少.

3.1.2 圖片類型重視各種功能的非語言元素的運用

教科書對圖片類型各種功能的非語言元素均比較重視，注重數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，讓學生在源于真實生活的圖片情境中學習數(shù)學，培養(yǎng)學生學會用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界.在圖片類型中，4種功能的非語言元素所占比例相當.雖然表征型最少，只占16%，但是對于能用現(xiàn)實生活中事物表征的概念，教科書都會用表征型的圖片來呈現(xiàn).以三角形這一章節(jié)為例，在章首位置，用鐵塔、吊車懸臂圖片來引發(fā)學生對三角形的認識及三角形性質(zhì)的思考；在三角形全等的判定中采用了錢塘江大橋圖片展示現(xiàn)實生活中的全等三角形結(jié)構(gòu)；在三角形的穩(wěn)定性中呈現(xiàn)大橋的鋼梁，起重機的支架圖片，讓學生感受到三角形結(jié)構(gòu)起到的穩(wěn)固作用.

3.1.3 其他類型對闡釋數(shù)學本質(zhì)功能的非語言元素重視不夠

浙教版數(shù)學教科書在八年級兩冊教科書中，僅4處是闡釋數(shù)學本質(zhì)的非語言元素，出現(xiàn)在“三角形的初步認識”“特殊三角形”“特殊平行四邊形”這3個章節(jié)中，這說明教科書已注意到這一功能的非語言元素，特別是在“特殊平行四邊形”章節(jié)中，用這一類型的非語言元素，清晰、明了地展現(xiàn)了四邊形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間的關(guān)系及相互轉(zhuǎn)化的條件.但從所占數(shù)量上看，教科書沒有給予一定的重視.建議在每一章節(jié)的小結(jié)中設(shè)置這一類非語言元素，作為對這一章節(jié)知識點的梳理.

3.2 啟 示

3.2.1 注重構(gòu)建型、探究型功能和高水平認知的非語言元素對學生數(shù)學思維培養(yǎng)的作用

非語言元素的數(shù)量并非越多越好，應(yīng)以激發(fā)學生思考、提高學生的數(shù)學素養(yǎng)為出發(fā)點.從浙教版數(shù)學教科書來看，體現(xiàn)高水平認知的非語言元素數(shù)量較少，而能達到培養(yǎng)學生思維創(chuàng)造能力的非語言元素更是少之又少.有研究者指出，高認知水平數(shù)學教學任務(wù)為學生提供了運用高水平的思維和推理的機會，日復一日，學生從高水平任務(wù)中體驗到的累計效果，就在于學生對數(shù)學本質(zhì)的認識得到潛在的發(fā)展，創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力得到提高[13].同樣，體現(xiàn)高水平認知的非語言元素也能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力，例如通過介紹多元文化下勾股定理的各種幾何證明，幾何圖形中的黃金分割發(fā)現(xiàn)等探究型功能的非語言元素，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和探索幾何圖形的各種性質(zhì)的創(chuàng)新思維.再如在軸對稱與中心對稱章節(jié)中，聯(lián)系數(shù)學文化，介紹舍埃爾《變形》《天和水》等利用平移、旋轉(zhuǎn)和反射的概念創(chuàng)作的藝術(shù)作品[14]，讓學生嘗試用簡單的幾何圖形通過變換得到更多有藝術(shù)性的數(shù)學圖形，在圖形探究中培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力等等.

3.2.2 重視闡釋數(shù)學本質(zhì)功能的非語言元素，體現(xiàn)數(shù)學的內(nèi)在邏輯

無論是義務(wù)教育階段還是高中階段，數(shù)學課程標準都強調(diào)要注重突出數(shù)學的核心內(nèi)容，突顯數(shù)學的內(nèi)在邏輯，注重數(shù)學內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學的整體性.教科書要落實這一理念，可以通過添加闡釋數(shù)學本質(zhì)類型的非語言元素來實現(xiàn).一些數(shù)學概念間關(guān)系的流程圖可以體現(xiàn)數(shù)學內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，基于數(shù)學核心內(nèi)容框架體系建立的思維導圖能突出數(shù)學主線.這些都有利于學生對數(shù)學知識的理解與掌握，讓學生學會用聯(lián)系的觀點去看待數(shù)學，感受數(shù)學的整體性與統(tǒng)一性.因此，教科書應(yīng)重視這一類型的非語言元素，深入到數(shù)學內(nèi)部，準確把握數(shù)學的本質(zhì)，捋清各部分內(nèi)在的邏輯關(guān)系，突出數(shù)學思想方法，從而更集中地聚焦學生數(shù)學核心的素養(yǎng).