把握“類比思想”，巧學(xué)“一元一次不等式”

◎陳 俊

第11章 一元一次不等式

領(lǐng) 銜 人：丁建生

組稿團(tuán)隊(duì)：南京師范大學(xué)第二附屬初級(jí)中學(xué)

類比，是一種重要的思想方法，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的作用。

如：我們?cè)趯W(xué)習(xí)“一元一次不等式”時(shí)，就可以類比“一元一次方程”來學(xué)習(xí)。它們之間有區(qū)別，更有許多相似之處，有著緊密的聯(lián)系。下面，就“一元一次不等式”和“一元一次方程”從不同的角度作一些辨析，以幫助同學(xué)們更好地掌握“一元一次不等式”。

一、從概念上看

二者化簡(jiǎn)后，都只含有一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)都為1，未知數(shù)的系數(shù)都不為零，這是它們的相同之處。不同之處在于，一元一次方程表示的是一種相等關(guān)系，一元一次不等式則表示的是一種不等關(guān)系。如：2x+3=5是一元一次方程，2x+3＞5則是一元一次不等式。

二、從解法上看

解一元一次不等式與解一元一次方程步驟完全相同，一般分為五個(gè)步驟：（1）去分母；（2）去括號(hào)；（3）移項(xiàng)；（4）合并同類項(xiàng)；（5）化系數(shù)為1。我們要特別注意步驟（1）和（5），解方程時(shí)，依據(jù)的是：等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)，所得的結(jié)果仍是等式。解不等式時(shí)，則依據(jù)：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。如：

解：去分母，得-3x+1=-2，

移項(xiàng)，得-3x=-2-1，

合并同類項(xiàng)，得-3x=-3，

化系數(shù)為1，得x=1。

解：去分母，得-3x+1≥-2，

移項(xiàng)，得-3x≥-2-1，

合并同類項(xiàng)，得-3x≥-3，

化系數(shù)為1，得x≤1。

三、從解（集）上看

一元一次不等式和一元一次方程的解（集）的共同點(diǎn)是：把未知數(shù)的值代入不等式或方程后，都能使不等式或方程成立；區(qū)別是：解的個(gè)數(shù)不同，一元一次方程的解一般是唯一的，對(duì)應(yīng)的是數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，而一元一次不等式一般有無數(shù)多個(gè)解，對(duì)應(yīng)的是數(shù)軸上的一條射線。如：x=1對(duì)應(yīng)的是一個(gè)點(diǎn)，而x≤1對(duì)應(yīng)的是一條射線。

四、從應(yīng)用上看

1.由“解集”到“解”。

2.由“解”到“解集”。

解方程3x+4=2x-2時(shí)，易知x=-6；解不等式3x+4＞2x-2時(shí)，解集為x＞-6。顯而易見，將方程改為“相應(yīng)”的不等式時(shí)，不等式的解集和方程的解中，都有相同的數(shù)字-6，因此，只要將“=”改為不等式的符號(hào)“＞”即可。但有時(shí)要考慮到符號(hào)問題，如：方程3x+4=4x-2的解為x=6，而不等式3x+4＞4x-2的解集為x＜6。雖然不等式中出現(xiàn)的是“＞”，但是解集中出現(xiàn)的是“＜”。因此，我們要關(guān)注右邊的一次項(xiàng)移到左邊時(shí)，和左邊的一次項(xiàng)合并以后的符號(hào)，若合并后為“+”，則不等號(hào)不變；若合并后為“-”，則不等號(hào)改變方向。

3.解決實(shí)際問題的思路。

在用一元一次方程和用一元一次不等式解決實(shí)際問題時(shí)，思路也是如出一轍。用一元一次方程解決問題時(shí)，主要有如下步驟：（1）審：分析已知、未知量，找出等量關(guān)系；（2）設(shè)：設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；（3）列：列方程；（4）解：解方程；（5）驗(yàn)：驗(yàn)算解是否正確以及是否滿足實(shí)際意義；（6）答：規(guī)范作答，寫出正確答案。而用一元一次不等式解決實(shí)際問題時(shí)的思路，只需將上述步驟（1）中的“找出等量關(guān)系”改為“找出不等關(guān)系”，其余都一樣。

例質(zhì)量為45g的某種三色冰激凌中，咖啡色、紅色和白色配料的質(zhì)量比為1∶2∶6，這種三色冰激凌中咖啡色、紅色和白色配料分別是多少？

【解析】本題等量關(guān)系為：咖啡色配料質(zhì)量+紅色配料質(zhì)量+白色配料質(zhì)量=45g。若設(shè)咖啡色配料質(zhì)量為xg，則紅色和白色配料分別為2xg和6xg。

由題意，得x+2x+6x=45。

解之，得x=5。

∴2x=10，6x=30。

答：這種三色冰激凌中咖啡色、紅色、白色配料的質(zhì)量分別是5g、10g和30g。

【變式】某種三色冰激凌中，咖啡色、紅色和白色配料的質(zhì)量比為1∶2∶6，現(xiàn)廠家規(guī)定這種三色冰激凌質(zhì)量不得超過45g，則這種冰激凌中咖啡色配料的質(zhì)量至多為多少？

【解析】本題不等關(guān)系為：咖啡色配料質(zhì)量+紅色配料質(zhì)量+白色配料質(zhì)量≤45g。若設(shè)咖啡色配料質(zhì)量為xg，則紅色和白色配料分別為2xg和6xg。

由題意，得x+2x+6x≤45。

解之，得x≤5。

答：這種三色冰激凌中咖啡色配料的質(zhì)量至多為5g。

4.二者相輔相成。

一元一次方程和一元一次不等式在應(yīng)用上，往往是相輔相成、密不可分的。

例抗洪搶險(xiǎn)，某車隊(duì)向遇險(xiǎn)段運(yùn)送物資，必須在1小時(shí)內(nèi)趕完120千米的路程。前半小時(shí)走了50千米，后半小時(shí)速度至少多少才能保證及時(shí)送到？

【解析】（1）對(duì)于這個(gè)問題，大部分同學(xué)理解為“前半段路程+后半段路程≥120千米”才能保證及時(shí)送到，故可設(shè)后半小時(shí)的速度為x千米/小時(shí)，則得50+x≥120。

解之，得x≥140。

答：后半小時(shí)速度至少為140千米/小時(shí)才能保證及時(shí)送到。

（2）同時(shí)，我們也可以理解為當(dāng)“前半段路程+后半段路程=120千米”時(shí)，算出的后半段的速度即為最小值。所以，我們也可列方程：50+x=120。

解之，得x=140。

答：后半小時(shí)速度至少為140千米/小時(shí)才能保證及時(shí)送到。

總之，學(xué)習(xí)一元一次不等式要類比一元一次方程來學(xué)，要注意它們內(nèi)在的聯(lián)系，同時(shí)也要注意兩者的區(qū)別。