中考中的一元一次不等式問題

◎肖學(xué)軍

一元一次不等式是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性內(nèi)容，時常成為中考命題中必不可少的測試內(nèi)容。本文擬以2018年部分省市的中考題為例，按考點(diǎn)歸類加以剖析。

考點(diǎn)一：不等式的性質(zhì)

例1（2018·宿遷）若a＜b，則下列結(jié)論不一定成立的是（ ）。

【解析】由不等式性質(zhì)容易知道，選項(xiàng)A、B、C中的不等式是成立的。選項(xiàng)D有時成立，如當(dāng)a、b均為正數(shù)時成立；有時又不成立，如當(dāng)a=-2，b=1時。故答案選D。

【點(diǎn)評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，我們只要掌握了不等式的性質(zhì)便容易作出正確判斷。本題要尋找的是不一定成立的結(jié)論，不是錯誤結(jié)論，這是審題時必須要引起重視的。

考點(diǎn)二：求不等式（組）的解集及其數(shù)軸表示

例2（2018·威海）解不等式組并將解集在數(shù)軸上表示出來。

【解析】解不等式①，得x＞-4；解不等式②，得x≤2。根據(jù)“大小小大中間找”，可得原不等式組的解集為-4＜x≤2，在數(shù)軸上表示如下圖所示：

【拓展】（2018·貴港）若關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（ ）。

A.a≤-3 B.a＜-3 C.a＞3 D.a≥3

解決本題的關(guān)鍵是要利用不等式組取解集的方法，將問題轉(zhuǎn)化為不等式：a-4≥3a+2，答案為A。

【點(diǎn)評】這類問題是不等式問題的常見題型。要能夠熟練應(yīng)用求不等式組解集的法則，即“同大取大，同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找，大大小小無解了”。

考點(diǎn)三：不等式（組）的整數(shù)解問題

例 3（2018·包頭）不 等 式組的非負(fù)整數(shù)解有________個。

【解析】首先解不等式組，得到不等式組的解集為x＜4，從而該不等式組的非負(fù)整數(shù)解為0、1、2、3這4個，故答案為4。

【拓展】（2018·荊門）已知關(guān)于x的不等式3xm+1＞0的最小整數(shù)解為2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）。

A.4≤m＜7 B.4＜m＜7

【點(diǎn)評】這兩題均為不等式的整數(shù)解問題，例3比較直接，通過解集得出答案；拓展題關(guān)鍵是要由最小整數(shù)解得出符合題意的不等式。

考點(diǎn)四：不等式（組）的應(yīng)用問題

例4（2018·南京）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示數(shù)1、-2x+3。

（1）求x的取值范圍；

（2）數(shù)軸上表示數(shù)-x+2的點(diǎn)應(yīng)落在___。

A.點(diǎn)A的左邊 B.線段AB上

C.點(diǎn)B的右邊

【解析】（1）根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)右邊的總比左邊的大，可得不等式-2x+3＞1，解得答案x＜1；

（2）由x＜1，得-x＞-1，于是有-x+2＞-1+2，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得點(diǎn)在A點(diǎn)的右邊；根據(jù)作差法：-2x+3-（-x+2）=1-x＞0，可得點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊。故選擇B。

【拓展】思考1.若將（2）中的點(diǎn)記為C點(diǎn)，這三點(diǎn)中存在某點(diǎn)是另外兩點(diǎn)所構(gòu)成線段的中點(diǎn)嗎？

由（2）解答知C點(diǎn)在線段AB上，故只有C點(diǎn)有可能為線段AB的中點(diǎn)。計算AC和BC長度可知，結(jié)論成立。

思考2.若點(diǎn)B右側(cè)有一點(diǎn)D所表示的數(shù)是2x+5，且2＜BD≤6，試求x的取值范圍。

事實(shí)上，BD=（2x+5）-（-2x+3）=4x+2。根據(jù)題意可得不等式組解得0＜x≤1。又由問題（1）知x＜1，所以x的取值范圍為0＜x＜1。

【點(diǎn)評】本題主要考查同學(xué)們靈活應(yīng)用不等式的有關(guān)知識解決問題的能力，既考查了應(yīng)用數(shù)軸比較兩個實(shí)數(shù)大小和不等式的性質(zhì)應(yīng)用，又著重考查了數(shù)形結(jié)合的思想。

例5（2018·濟(jì)寧）“綠水青山就是金山銀山”，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，A、B兩村準(zhǔn)備各自清理所屬區(qū)域養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱，每村參加清理人數(shù)及總開支如下表：________________________________

10__________________________________16 68000_________村莊清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)/人_____清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù)/人_____總支出/元________A______B__15 9__________57000

（1）若兩村清理同類漁具的人均支出費(fèi)用一樣，求清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱的人均支出費(fèi)用各是多少元；

（2）在人均支出費(fèi)用不變的情況下，為節(jié)約開支，兩村準(zhǔn)備抽調(diào)40人共同清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱和捕魚網(wǎng)箱，要使總支出不超過102000元，且清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱人數(shù)小于清理捕魚網(wǎng)箱人數(shù)，則有哪幾種分配清理人員方案？

【解析】（1）設(shè)清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為x元，清理捕魚網(wǎng)箱的人均費(fèi)用為y元，

（2）設(shè)m人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，則（40-m）人清理捕魚網(wǎng)箱，根據(jù)題意，列不等式組

解得：18≤m＜20，

∵m為整數(shù)，∴m=18或m=19。

則分配清理人員方案有兩種，

方案一：18人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，22人清理捕魚網(wǎng)箱；

方案二：19人清理養(yǎng)魚網(wǎng)箱，21人清理捕魚網(wǎng)箱。

【拓展】思考1.這些方案中，哪種方案總支出較少？

對此，可以分別求出兩個方案的總支出，通過比較可知方案二總支出較少。

思考2.若將總支出改為不超過110000元，問有幾種分配方案？其中哪種方案總支出最少？

仿照本題解法可得10≤m＜20，用列表法知共有10種方案。若分別求出10種方案的總支出，則很繁雜。由于總支出代數(shù)式為2000m+3000（40-m），化簡即為120000-1000m，易知m越大，總支出越少。10種方案中，還是m=19時的方案總支出最少。

【點(diǎn)評】本題主要考查同學(xué)們運(yùn)用二元一次方程組和不等式組的有關(guān)知識來解決實(shí)際問題的能力。題目中的有關(guān)信息由表格給出，問題（1）較為容易，所涉及的兩個未知量通過列出二元一次方程組即可求解；問題（2）中有兩個不等關(guān)系，這是列出不等式組的重要依據(jù)。