彈性SDOF體系輸入能量譜的設(shè)計(jì)表達(dá)式

夏洪流，胡仁杰

(重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院； 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400045)

結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)實(shí)質(zhì)上是地震能量在結(jié)構(gòu)中輸入、轉(zhuǎn)化與耗散的過(guò)程。早在1956年，Housner就提出基于能量的抗震設(shè)計(jì)概念，認(rèn)為只要結(jié)構(gòu)耗散能量的能力不小于地震輸入的能量，并針對(duì)能量耗散的分布形式進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，就足以保證結(jié)構(gòu)的抗震性能。相較基于承載力的設(shè)計(jì)方法，基于能量的抗震設(shè)計(jì)方法考慮了結(jié)構(gòu)的累計(jì)損傷，可更全面反映地震作用的特性及對(duì)結(jié)構(gòu)的影響[1]。

地震動(dòng)輸入能研究一直是能量法研究的核心內(nèi)容之一，學(xué)者們就此展開(kāi)大量相關(guān)研究。Akiyama[2]基于四類(lèi)場(chǎng)地提出兩段式設(shè)計(jì)輸入能量譜；Benavent-Climent等[3]采用哥倫比亞地震動(dòng)記錄建議了兩段式設(shè)計(jì)輸入能量譜；程光煜等[4]、陳清軍等[5]分別采用能量譜峰值與面積歸一化的方法，建議了彈塑性SDOF體系三段式設(shè)計(jì)輸入能量譜；屠冰冰[6]提出適用于中國(guó)場(chǎng)地條件分類(lèi)的彈塑性SODF體系歸一化等效速度譜計(jì)算方法；陶云芳等[7]、屠冰冰等[8]采用等效線(xiàn)性化等方法對(duì)彈塑性能量譜進(jìn)行了估算。上述研究雖對(duì)地震動(dòng)輸入能量譜給出了多種形式的表達(dá)，但由于能量響應(yīng)的隨機(jī)性，分析結(jié)果依賴(lài)于樣本與假定，造成現(xiàn)有研究結(jié)論存在較大差異，且尚未給出輸入能量譜峰值(沿用文獻(xiàn)[4]的定義，為0～6 s周期范圍內(nèi)輸入能量譜的最大值)的合理計(jì)算方式，從而導(dǎo)致無(wú)法得到一致認(rèn)可的SDOF體系輸入能量譜設(shè)計(jì)表達(dá)式。鑒于彈性輸入能量譜是地震動(dòng)輸入能研究的關(guān)鍵基礎(chǔ)，本文擬以更具普適性的強(qiáng)震記錄為基礎(chǔ)，考慮多種場(chǎng)地條件下研究彈性輸入能量譜的影響因素，進(jìn)而給出設(shè)計(jì)表達(dá)式，為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ)。

以涵蓋多種場(chǎng)地條件的強(qiáng)震記錄為基礎(chǔ)，對(duì)彈性SDOF體系輸入能量譜設(shè)計(jì)表達(dá)式展開(kāi)研究，具體思路為：利用NGA地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)，通過(guò)篩選得到分析樣本；基于時(shí)程分析，得到各條地震動(dòng)彈性輸入能量譜；通過(guò)相關(guān)性分析，尋找EImax與地面運(yùn)動(dòng)參數(shù)的關(guān)系，據(jù)此建立EImax的回歸表達(dá)式；基于歸一化輸入能量譜曲線(xiàn)特性研究，給出阻尼比為0.05的SDOF體系彈性設(shè)計(jì)輸入能量譜的計(jì)算方法。

1 能量法概念

水平地震作用下，單自由度體系的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(1)

(2)

式中：從左到右各項(xiàng)依次為以相對(duì)位移為基礎(chǔ)的體系動(dòng)能EK(t)、阻尼耗能ED(t)、吸收能EA(t)、地震動(dòng)輸入能EI(t)，即得到SDOF體系的能量計(jì)算表達(dá)式為

EK(t)+ED(t)+EA(t)=EI(t)

(3)

式中：吸收能EA(t)由彈性吸收能ES(t)與滯回耗能EH(t)組成，而對(duì)于彈性SDOF體系，滯回耗能EH(t)為零。在地震結(jié)束時(shí)，結(jié)構(gòu)動(dòng)能EK(t)和彈性變形能ES(t)幾乎為零，結(jié)構(gòu)的耗能能力主要取決于阻尼耗能ED(t)。因此，在確定阻尼比之后，通過(guò)逐步積分法(計(jì)算時(shí)采用Newmark-β法)迭代計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)，即可得到特定阻尼比下彈性單自由度體系的輸入能量譜與阻尼耗能譜。

2 強(qiáng)震記錄的選擇

目前，關(guān)于輸入能量譜的研究結(jié)論存在較大差異，一定程度上是因?yàn)閺?qiáng)震記錄樣本缺少統(tǒng)一的選擇原則。為保證數(shù)據(jù)樣本的可靠性與代表性，從太平洋地震工程研究中心NGA地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行地震動(dòng)樣本篩選。鑒于場(chǎng)地條件是影響地震動(dòng)工程特性的重要因素，而目前規(guī)范對(duì)場(chǎng)地條件劃分的標(biāo)準(zhǔn)存在一定差異，文獻(xiàn)[9-10]的研究成果表明，取表層30 m范圍內(nèi)等效剪切波速Vs30包含更全面的場(chǎng)地信息，更能充分反映場(chǎng)地分類(lèi)的影響。因此，本文參照NEHRP推薦的場(chǎng)地條件劃分標(biāo)準(zhǔn)，篩選出276條地震動(dòng)記錄，其中A、B類(lèi)場(chǎng)地(硬基巖和基巖，Vs30>760 m/s)61條，C類(lèi)場(chǎng)地(非常堅(jiān)硬土或軟基巖，360

圖1 震級(jí)與斷層距分布Fig.1 Distribution of magnitude and hypocentral

3 輸入能量譜計(jì)算樣本篩選及譜曲線(xiàn)函數(shù)形式

現(xiàn)有關(guān)于輸入能量譜的研究成果多采用兩段式或三段式能量譜模型[2-6]，這兩類(lèi)模型的區(qū)別主要體現(xiàn)在對(duì)能量譜長(zhǎng)周期段的描述，但目前沒(méi)有充足的證據(jù)表明哪類(lèi)模型更具代表性。為盡量真實(shí)地反映輸入能量譜的客觀(guān)規(guī)律，輸入3種場(chǎng)地條件下強(qiáng)震記錄，計(jì)算阻尼比為0.05的SDOF體系(m=1 kg)在周期0～6 s范圍內(nèi)的彈性輸入能量譜，研究場(chǎng)地條件對(duì)輸入能量譜的影響和輸入能量譜的基本特征。

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，總體樣本的輸入能量譜曲線(xiàn)由于樣本覆蓋的震級(jí)、震中距、場(chǎng)地等條件極為廣泛，因此，呈現(xiàn)出很大的離散性，不利于基于能量的設(shè)計(jì)應(yīng)用。僅就輸入能量譜峰值EImax這一個(gè)指標(biāo)，經(jīng)簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)可以發(fā)現(xiàn)(如圖2所示)，EImax最小值為0.000 726 0 J，最大值達(dá)14.95 J，相差達(dá)5個(gè)數(shù)量級(jí)。顯然，不加分類(lèi)地進(jìn)行平均，看似涵蓋所有強(qiáng)震記錄的能量特征，但實(shí)質(zhì)上不能揭示影響輸入能量譜峰值的影響因素。進(jìn)一步對(duì)總體樣本記錄能量譜峰值周期Tpe(即輸入能量譜Elmax中對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)周期)分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(如圖3所示)，可見(jiàn)Tpe集中分布于中、短周期段，其中90.58%的強(qiáng)震記錄Tpe分布于0～2.5 s區(qū)間。

圖2 Elmax分布圖Fig.2 Distribution of Elmax

圖3 Tpe分布圖

需要注意的是，通過(guò)彈性輸入能量譜試算，3種場(chǎng)地條件下都發(fā)現(xiàn)少數(shù)強(qiáng)震記錄的輸入能量譜卓越周期Tpe分布于長(zhǎng)周期段(如圖4(a)中圓圈所示)，尤其在代表堅(jiān)硬場(chǎng)地的A、B類(lèi)地震動(dòng)記錄中，也出現(xiàn)了少量Tpe為3 s以上的情況，這與現(xiàn)有概念“堅(jiān)硬場(chǎng)地上的能量反應(yīng)應(yīng)集中在中短周期段”存在矛盾。通過(guò)進(jìn)一步傅里葉分析發(fā)現(xiàn)，這部分地震波的加速度傅里葉幅值譜都具有多個(gè)頻率差距較大的峰值，輸入能量譜也多呈現(xiàn)為特殊的多峰型曲線(xiàn)。鑒于此類(lèi)地震動(dòng)記錄占比較少，且多峰型能量譜通常是由于震源機(jī)制、傳輸機(jī)制及場(chǎng)地影響等多因素耦合造成，在目前缺少系統(tǒng)性統(tǒng)計(jì)和足夠樣本數(shù)量前提下，暫不納入本文研究范圍。因此，后續(xù)對(duì)具有明顯雙峰型傅里葉加速度譜的地震動(dòng)記錄予以篩除，篩除程序?yàn)椋菏紫?，?jì)算出各條地震波的傅里葉加速度譜，其次，計(jì)算出譜曲線(xiàn)上第1主峰和第2主峰對(duì)應(yīng)周期值，當(dāng)?shù)?主峰值與第2主峰值對(duì)應(yīng)周期相差大于等于2 s時(shí)，判定為雙峰譜，對(duì)此類(lèi)地震波進(jìn)行篩除。圖4為全集系地震動(dòng)記錄歸一化輸入能量譜在篩除雙峰譜前后的對(duì)比情況。據(jù)此標(biāo)準(zhǔn)篩選后，地震動(dòng)樣本數(shù)量為259條(含A、B類(lèi)場(chǎng)地54條，C類(lèi)場(chǎng)地102條，D類(lèi)場(chǎng)地103條)，占原樣本總體的93.8%，后續(xù)研究均據(jù)此樣本集開(kāi)展。

圖4 地震動(dòng)記錄篩選前后的歸一化輸入能量譜對(duì)比Fig.4 Comparison of ground motions before and after being

鑒于上述計(jì)算的輸入能量譜涵蓋了多個(gè)震級(jí)、多種場(chǎng)地類(lèi)型和跨度較大的斷層距地震動(dòng)記錄，直接對(duì)輸入能量譜進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，必然存在很大的離散性。參考文獻(xiàn)[4]，將輸入能量譜表征為Elmax與歸一化輸入能量譜曲線(xiàn)的乘積，可以更好地對(duì)輸入能量譜特性進(jìn)行分析。針對(duì)的259條地震動(dòng)記錄，統(tǒng)計(jì)3種場(chǎng)地條件下的平均輸入能量譜(如圖5所示)。3種場(chǎng)地條件平均輸入能量譜均呈現(xiàn)出明顯的上升段、平臺(tái)段和下降段，因此，選擇三段式能量譜模型更為恰當(dāng)。參考文獻(xiàn)[4-6]關(guān)于三段式歸一化輸入能量譜函數(shù)表達(dá)形式，取歸一化輸入能量譜(NEI)回歸函數(shù)模型為

(4)

式中：NEI為阻尼比ξ=0.05時(shí)SDOF體系歸一化彈性輸入能量譜值；T1和T2分別為平臺(tái)段的起始周期和結(jié)束周期；r為下降段的衰減系數(shù)，輸入能量譜模型如圖6所示。

圖5 彈性平均輸入能量譜Fig.5 Elastic mean input energy

圖6 歸一化輸入能量譜模型|Fig.6 Input energy spectrum

4 輸入能量譜峰值與地震動(dòng)特征參數(shù)間的相關(guān)性分析

關(guān)于輸入能量譜峰值EImax已有大量的研究成果[4,11-13]，但缺少各類(lèi)指標(biāo)對(duì)EImax影響的相關(guān)性對(duì)比分析。為了確定地震動(dòng)參數(shù)與彈性輸入能量譜之間的關(guān)系，收集整理了13個(gè)地震動(dòng)參數(shù)用以進(jìn)行分析對(duì)比，其中，包括峰值加速度(PGA)、峰值速度(PGV)、峰值位移(PGD)、均方根加速度(Arms)、均方根速度(Vrms)、均方根位移(Drms)、絕對(duì)累積速度(CAV)[14]、Arias強(qiáng)度(Ia)、Park特征強(qiáng)度(Ic)[11]、Riddell等[12]、Fajfar等[13]和程光煜等[4]分別提出的地震動(dòng)強(qiáng)度指標(biāo)IR、IF、Ich，各參數(shù)定義說(shuō)明如表1所示。鑒于地震動(dòng)能量響應(yīng)的物理意義，速度時(shí)程的傅里葉幅值譜與輸入能量譜譜值具有直接相關(guān)性，且試算表明這兩條譜曲線(xiàn)具有較為一致的曲線(xiàn)分布形式，因此，基于傅里葉變換提出新的地震動(dòng)參數(shù)(Ise)。

表1 地震動(dòng)參數(shù)定義說(shuō)明Table 1 Explanations of ground motion parameters

參考文獻(xiàn)[12]回歸方程，對(duì)輸入能量譜峰值EImax采用式(5)所示擬合表達(dá)式。

(5)

(6)

圖7 各參數(shù)與EImax相關(guān)性系數(shù)Fig.7 Correlation coefficients between different

為確定不同震級(jí)、震中距和場(chǎng)地條件下Ise取值，針對(duì)Ise的衰減規(guī)律展開(kāi)進(jìn)一步研究。參考文獻(xiàn)[15-16]對(duì)輸入能量譜衰減規(guī)律的衰減模型與研究成果，基于259條地震動(dòng)數(shù)據(jù)，利用最小二乘法進(jìn)行Ise衰減規(guī)律的回歸，結(jié)果為

(7)

式中：M為矩震級(jí)；Rrup為斷層距；Gc和Gd分別為考慮場(chǎng)地影響而引入的已知函數(shù)，當(dāng)場(chǎng)地條件為C類(lèi)時(shí)，Gc=1，其他場(chǎng)地條件時(shí)，Gc=0；當(dāng)場(chǎng)地條件為D類(lèi)時(shí)，Gd=1，其他場(chǎng)地條件時(shí)，則Gd=0。其他常數(shù)項(xiàng)均為回歸分析的結(jié)果，其中，隨機(jī)誤差的均方差σ(lgIse)=0.198。

5 彈性輸入能量譜的建立與驗(yàn)證

場(chǎng)地條件是影響輸入能量譜頻譜特性的重要因素，整理不同場(chǎng)地條件下的分布情況，結(jié)果如圖8所示。3種場(chǎng)地條件下的分布存在明顯差異，隨場(chǎng)地條件變軟，平均值逐漸增大(A、B類(lèi)場(chǎng)地為0.776 s，C類(lèi)場(chǎng)地為1.027 s，D類(lèi)場(chǎng)地為1.185 s)，總體分布有向長(zhǎng)周期移動(dòng)的趨勢(shì)，因此，有必要考慮場(chǎng)地條件對(duì)輸入能量譜的影響。

圖8 不同場(chǎng)地條件下Tpe的分布情況Fig.8 Distribution of for different site conditions

為準(zhǔn)確分析輸入能量譜曲線(xiàn)分布特征，利用EImax對(duì)各條輸入能量譜進(jìn)行歸一化，基于歸一化輸入能量譜進(jìn)行研究分析?；趫?chǎng)地條件的劃分，輸入259條地震動(dòng)記錄，統(tǒng)計(jì)阻尼比為0.05的單自由度彈性體系的平均歸一化輸入能量譜曲線(xiàn)，并基于式(4)的形式，利用最小二乘法進(jìn)行曲線(xiàn)擬合，擬合譜相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表2，擬合譜曲線(xiàn)如圖9所示。由表2可見(jiàn)，隨場(chǎng)地變軟，輸入能量譜卓越區(qū)段向長(zhǎng)周期移動(dòng)，T1和T2逐漸增加，下降段衰減系數(shù)r逐漸增大。將由式(6)計(jì)算得到的能量譜峰值與歸一化輸入能量譜擬合譜相乘，即可得到本文建議的彈性設(shè)計(jì)輸入能量譜。

圖9 平均歸一化輸入能量譜與擬合譜的對(duì)比Fig.9 Comparison of average normalized inputenergy spectrums and fitted

場(chǎng)地類(lèi)別T1T2tNEImaxA、B類(lèi)場(chǎng)地0.121.250.820.33C類(lèi)場(chǎng)地0.451.451.270.40D類(lèi)場(chǎng)地0.521.671.300.40

為檢驗(yàn)研究成果的有效性，基于式(7)，在NGA數(shù)據(jù)庫(kù)中另行隨機(jī)選取C、D類(lèi)場(chǎng)地紀(jì)錄15條和21條，其強(qiáng)度指標(biāo)lgIse分布區(qū)間為[-0.067,-0.064]。圖10為兩種場(chǎng)地條件下抽樣記錄平均輸入能量譜與本文擬合譜計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，由圖可見(jiàn)，本文提出的擬合譜與平均輸入能量譜曲線(xiàn)吻合良好，其中，C類(lèi)場(chǎng)地平均相對(duì)誤差為19.78%，D類(lèi)場(chǎng)地為15.03%。抽樣驗(yàn)算的結(jié)果表明，本文彈性設(shè)計(jì)輸入能量譜能較準(zhǔn)確地反映不同場(chǎng)地條件下平均輸入能量譜的統(tǒng)計(jì)特征。

圖10 抽樣平均輸入能量譜與擬合譜的對(duì)比Fig.10 Comparison of sample mean input energy

6 結(jié)論

基于3種場(chǎng)地條件下259條地震動(dòng)記錄，利用時(shí)程分析和歸一化方法，研究分析了SDOF彈性輸入能量譜的基本特征。結(jié)論如下：

1)通過(guò)相關(guān)性分析，提出作為評(píng)價(jià)輸入能量譜幅值的地震動(dòng)參數(shù)指標(biāo)是合適的，并采用最小二乘法確定了Ise、Elmax的表達(dá)式。

2)SDOF彈性平均輸入能量譜曲線(xiàn)受場(chǎng)地條件影響顯著，依據(jù)NEHRP推薦的場(chǎng)地劃分準(zhǔn)則，3種場(chǎng)地條件下平均輸入能量譜曲線(xiàn)均具有三段式函數(shù)形式；經(jīng)回歸分析，得到結(jié)構(gòu)阻尼比為0.05時(shí),各種場(chǎng)地條件下平均輸入能量譜曲線(xiàn)特征參數(shù)的具體取值，確定了平均輸入能量譜表達(dá)式。計(jì)算結(jié)果表明，隨場(chǎng)地變軟，平均輸入能量譜卓越區(qū)段向長(zhǎng)周期移動(dòng)，擬合譜的平臺(tái)起止點(diǎn)和逐漸增大，下降段的衰減系數(shù)逐漸提升。

3)通過(guò)Ise、Elmax表達(dá)式、歸一化輸入能量譜擬合譜曲線(xiàn)組合，即可得到不同震級(jí)、斷層距與場(chǎng)地條件下建議的平均輸入能量譜，算例結(jié)果表明，本文建議表達(dá)式能較準(zhǔn)確地反映不同場(chǎng)地條件下平均輸入能量譜的統(tǒng)計(jì)特征。