基于學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)的平面圖形面積學(xué)習(xí)調(diào)研

北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心 張秋爽

五年級(jí)學(xué)習(xí)平面圖形的面積時(shí)，教材中先學(xué)平行四邊形，接著學(xué)習(xí)三角形，最后學(xué)習(xí)梯形。教材這樣安排，就沒有新的學(xué)習(xí)順序嗎？ 要想尋找新的學(xué)習(xí)順序，還需要把握學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，更需要了解學(xué)生在三年級(jí)學(xué)習(xí)了面積以及長(zhǎng)、正方形的面積之后，他們已有的知識(shí)基礎(chǔ)是什么？困惑是什么？他們能走多遠(yuǎn)是我們想知道的。教材安排的順序是唯一的學(xué)習(xí)順序嗎？ 學(xué)生心中又有怎樣的學(xué)習(xí)順序呢？帶著這樣的疑惑和思考，我進(jìn)行了調(diào)研。

我們從五年級(jí)、六年級(jí)隨機(jī)抽取了193人進(jìn)行關(guān)于三個(gè)面積學(xué)習(xí)順序的調(diào)研，又從四年級(jí)學(xué)生中對(duì)5名學(xué)生進(jìn)行了訪談，其中4名學(xué)生知道長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法，但說不清道理。這是為什么呢？帶著這樣的疑問和思考，我從四年級(jí)抽取一個(gè)班40名學(xué)生對(duì)他們進(jìn)行了調(diào)研。測(cè)查過程的基本環(huán)節(jié)如下：第一步，先讓學(xué)生自己完成題目，完成之后與身邊的老師進(jìn)行簡(jiǎn)單的交流和詢問，確認(rèn)每一個(gè)學(xué)生的真實(shí)表達(dá)；第二步，再讓每個(gè)學(xué)生匯報(bào)自己的想法；第三步，教師欣賞學(xué)生的作品，揣摩背后的價(jià)值。

1.調(diào)研過程

（1）學(xué)習(xí)平面圖形順序的調(diào)研

五年級(jí)前測(cè)：下面這些平面圖形的面積，你能想辦法推導(dǎo)出來嗎？ 你想先學(xué)習(xí)哪個(gè)圖形的面積？然后學(xué)習(xí)哪個(gè)圖形的面積？ 請(qǐng)?jiān)趫D形左側(cè)標(biāo)出序號(hào)，并在圖形右側(cè)說出你的理由。

圖1

圖2

圖3

學(xué)習(xí)順序：

______________________________________

設(shè)計(jì)意圖：五年級(jí)學(xué)生在沒學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形和梯形的面積之前，憑直覺思考學(xué)習(xí)三種平面圖形面積的順序。

六年級(jí)前測(cè)：回憶已經(jīng)學(xué)過的這些圖形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程（在圖中標(biāo)明）

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

你覺得求圖形面積最關(guān)鍵的是什么？

教師教學(xué)的學(xué)習(xí)順序（寫序號(hào)）___________。

你覺得還可以有其他的學(xué)習(xí)順序嗎？ 寫出來，說明理由。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生根據(jù)圖形之間的關(guān)系，思考其他的學(xué)習(xí)順序。

我們對(duì)未學(xué)過三種平面圖形面積的四年級(jí)學(xué)生和已經(jīng)學(xué)過的五、六年級(jí)學(xué)生一共193人進(jìn)行了調(diào)研，問題是：對(duì)于“平行四邊形、三角形和梯形”三種圖形，你認(rèn)為應(yīng)先學(xué)習(xí)哪種圖形？ 其中認(rèn)為先學(xué)平行四邊形面積的有117人，占60.6%；認(rèn)為先學(xué)三角形面積的有43人，占22.3%；認(rèn)為先學(xué)梯形面積的有33人，占17.1%。

先學(xué)習(xí)平行四邊形的理由：三角形和梯形都可以轉(zhuǎn)化為平行四邊形，進(jìn)行面積計(jì)算公式的推導(dǎo)學(xué)習(xí)；

先學(xué)習(xí)三角形的理由：平行四邊形和梯形都可以分成兩個(gè)三角形，所以只要學(xué)會(huì)了三角形的面積計(jì)算，其他兩個(gè)平面圖形的面積計(jì)算就不用學(xué)習(xí)了；

先學(xué)習(xí)梯形的理由：梯形的上底為0就是三角形，梯形的上底和下底相等時(shí)就是平行四邊形，所以可以學(xué)習(xí)梯形后就能求出這三種圖形的面積了。

從調(diào)研中，我們看出這三種平面圖形的學(xué)習(xí)是多元的，先學(xué)哪種圖形都行，先學(xué)習(xí)哪種圖形都能根據(jù)圖形之間的聯(lián)系推導(dǎo)出其他圖形的面積計(jì)算公式。

（2）四年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)面積的前測(cè)調(diào)研題目：

①長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)×寬，你能解釋原因嗎？

設(shè)計(jì)意圖：把握學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，學(xué)生是否理解了面積概念，程度如何？ 是否知道長(zhǎng)乘寬的具體含義？ 有哪些思考經(jīng)驗(yàn)和策略方法為后續(xù)學(xué)習(xí)其他平面圖形的面積做好了鋪墊？

②學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形和正方形面積后，你還可以得到哪些圖形的面積？ 把你的想法寫下來。

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)上，學(xué)生能否利用已學(xué)的方法策略解決新問題，看學(xué)生的發(fā)展?jié)摿υ谀睦铮?他們學(xué)習(xí)平面圖形面積的困難有什么？

③

想求出上面這個(gè)圖形的面積，你有什么辦法？可以用鉛筆和尺子畫一畫，尋找到解決問題的思路。

如果遇到自己不能解決的問題請(qǐng)記在下面。

設(shè)計(jì)意圖：面對(duì)新情境下的問題，學(xué)生的策略有什么？ 困難是什么？ 為后續(xù)學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)活動(dòng)找準(zhǔn)學(xué)生知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。

2.測(cè)試結(jié)果呈現(xiàn)

（1）學(xué)生基礎(chǔ)

對(duì)于長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，40名學(xué)生解釋原因，答題情況可以分成三類：

①理解面積的含義，知道推導(dǎo)的過程。24名學(xué)生能夠用語言描述面積就是相乘的過程：長(zhǎng)擺了幾格，長(zhǎng)就是幾，寬擺了幾格，寬就是幾，一共有多少個(gè)格，就是面積；或者在圖形中畫滿了正方形的面積單位。還有一些比較精彩的話語，如下：

生1：求周長(zhǎng)只用外面的邊，用加法；那么求面積要用里面的心，所以用乘法。

生2：如果把長(zhǎng)方形分成許多小格，長(zhǎng)分成的小格數(shù)量乘寬分成的小格數(shù)量就可以得到有多少個(gè)小格。

②不理解推導(dǎo)過程，言語表述不清晰、有偏差。8名學(xué)生不知道如何解釋，只知其然不知其所以然。

生1：在圖中標(biāo)了數(shù)據(jù)，長(zhǎng)是3厘米，寬是2厘米。求周長(zhǎng)用（3+2）×2=10厘米，求面積用3×2=6平方厘米。（僅僅呈現(xiàn)了事實(shí)）

生2：因?yàn)殚L(zhǎng)×寬是分兩部分的，第一部分是（長(zhǎng)+寬）；第二部分是×2，合起來是（長(zhǎng)+寬）×2，為了便捷就是長(zhǎng)×寬。（沒有因果關(guān)系）

生3：因?yàn)檎叫蔚拿娣e是邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)得來的，所以我覺得長(zhǎng)方形的面積是由正方形的面積得來的。（邏輯錯(cuò)誤）

生4：長(zhǎng)和寬都有兩條邊，一條長(zhǎng)和一條寬相乘就是面積。（沒有解釋原因）

③沒有表達(dá)自己的想法。有8人既沒有文字描述，也沒有畫小方格；個(gè)別學(xué)生只是在圖中標(biāo)上了數(shù)據(jù)，沒寫出想法。

（2）學(xué)生能走多遠(yuǎn)

對(duì)于“學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形和正方形面積后，你還可以得到哪些圖形的面積？ 把你的想法寫下來”這樣的探究性問題，可以把學(xué)生作品分成三類：一類是不能求出其他圖形的面積有12人，占30%；第二類是想象中能求出梯形、三角形和平行四邊形，但沒有寫出思考過程的有4人，占10%；第三類是自己有想法的有24人，占60%。下面對(duì)有想法的學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并做詳細(xì)說明。

①密鋪法。能夠用面積單位去密鋪三角形、多邊形的面積的有6人。如圖：

圖1

從圖1可以看出學(xué)生理解面積的含義，知道用面積單位去密鋪可以求面積，既體會(huì)了面積的本質(zhì)含義，又能把長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法遷移到求新圖形的面積當(dāng)中，把密鋪?zhàn)鳛橐粋€(gè)通行方法讓學(xué)生解決更多的問題，但學(xué)生沒有關(guān)注整格和半格，把半格當(dāng)作整格進(jìn)行了計(jì)算。

②轉(zhuǎn)化法。能夠利用已學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出沒學(xué)圖形的面積的有4人，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想。

圖2

從圖2能看出學(xué)生通過高把三角形分成兩個(gè)小三角形，從而利用構(gòu)造思想，形成長(zhǎng)方形。從圖中的輔助線、虛線可以看出學(xué)生背后的思考。

對(duì)于直角三角形面積的求法，學(xué)生想到了長(zhǎng)方形，兩個(gè)完全一樣的直角三角形能拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，求出長(zhǎng)方形面積的一半就是直角三角形的面積；對(duì)于平行四邊形想到了轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的有2人，學(xué)生的語言是“把左上角往上一拉，拉成直角”。

③分解法。能夠利用整體和部分的關(guān)系求組合圖形面積的學(xué)生有6人。具體分析如下：

圖3

從圖3的左圖可以看出：兩個(gè)完全一樣的等腰直角三角形可以拼成一個(gè)正方形，正方形面積的一半就是直角三角形的面積，學(xué)生能夠應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想方法；從右圖可以看出有分與合的思想，對(duì)于整體和部分之間的關(guān)系了如指掌，為日后學(xué)習(xí)組合圖形的面積時(shí)把多邊形轉(zhuǎn)化為基本圖形做好鋪墊。

圖4

從圖4可以看出學(xué)生能把長(zhǎng)方形和正方形的面積組合在一起求。先求大的長(zhǎng)方形面積減去小的正方形的面積就是多邊形的面積。這里蘊(yùn)含的分與合思想，體現(xiàn)的是部分和整體的關(guān)系，應(yīng)用的是剛剛學(xué)過的兩個(gè)平面圖形面積的計(jì)算方法。這種綜合應(yīng)用知識(shí)的能力可見一斑。他們能夠利用分與合的思想把復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，利用長(zhǎng)方形、正方形這兩個(gè)基本圖形求出面積。

還有學(xué)生寫道：我認(rèn)為像多邊形那樣的圖形應(yīng)該先量出每條邊的長(zhǎng)度，再把它分成帶有直角的正方形或長(zhǎng)方形算出它們的面積，最后把面積加在一起就行了。同樣也能看出學(xué)生具備轉(zhuǎn)化的思想方法，能把未知轉(zhuǎn)化為已知，為學(xué)生推導(dǎo)其他圖形的面積計(jì)算公式提供思考經(jīng)驗(yàn)。

④在合情推理中出現(xiàn)了偏差。有2名學(xué)生對(duì)平行四邊形、等邊三角形的面積進(jìn)行了合情猜想，能看出學(xué)生樸素的遷移想法出現(xiàn)了知識(shí)的負(fù)遷移。

圖5

表面上看，對(duì)于三角形求面積和周長(zhǎng)容易混淆，實(shí)際上學(xué)生把正三角形和正方形分在一類，用正方形的邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)遷移得到的，因?yàn)樗鼈兊倪呌泄餐奶攸c(diǎn)，都相等；而平行四邊形和長(zhǎng)方形一樣，對(duì)邊相等，所以平行四邊形的面積就和求長(zhǎng)方形的一樣，這是學(xué)生利用圖形之間的相似特點(diǎn)類比面積的計(jì)算方法。

圖6

學(xué)生能夠用長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，遷移三角形的面積就是底×高。從學(xué)生的思考中，我們看到了學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形、三角形這兩種圖形之間的關(guān)系缺乏準(zhǔn)確把握。

⑤周長(zhǎng)和面積概念混淆。還有6名學(xué)生把周長(zhǎng)和面積的概念弄混了，給出了正六邊形、等邊三角形和菱形，標(biāo)出數(shù)據(jù)，求的都是周長(zhǎng)。

（3）學(xué)生的想法與困難

對(duì)于多邊形，標(biāo)了數(shù)據(jù)。讓學(xué)生求它的面積，并寫出困難。40名學(xué)生的作品可以分成四類：第一類——學(xué)生在多邊形中畫了很多小方格，以自己的小格為標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)出了圖形的面積，沒有關(guān)注到數(shù)據(jù)的多少。這樣的學(xué)生有10人，算出結(jié)果的有5人，還有5人畫了格，不知道怎么數(shù)；第二類——有3名學(xué)生把多邊形轉(zhuǎn)化成近似的長(zhǎng)方形，求出近似長(zhǎng)方形的面積代替多邊形的面積；第三類——有11名學(xué)生想到了把多邊形分割成一個(gè)個(gè)平面圖形，會(huì)求長(zhǎng)方形的面積，困難是不會(huì)算三角形的面積，有一名學(xué)生把多邊形分成一個(gè)個(gè)小三角形。在他的習(xí)題單中，我們看到凡是組合圖形，都分解成一個(gè)個(gè)小的三角形。學(xué)生潛意識(shí)里認(rèn)為三角形是一個(gè)基本圖形，而三角形在初中學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)有非常重要的地位。

圖7

第四類——剩下的16人，有的只標(biāo)上數(shù)據(jù)，沒有想法；有的沒有畫圖，只是做一些沒有邏輯的算式，還有學(xué)生去量線段，不解的是量線段長(zhǎng)度是2厘米，為什么標(biāo)的是4呢？ 學(xué)生做這道題最大的困惑就是沒有數(shù)據(jù)。

4.我的思考

（1）大部分學(xué)生具備了面積守恒性、會(huì)分解圖形和簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想

通過調(diào)研得知：60%的學(xué)生能解釋長(zhǎng)方形的面積為什么等于長(zhǎng)乘寬？ 是因?yàn)殚L(zhǎng)是幾厘米，就鋪了幾列；寬是幾厘米，就鋪了幾行，一共有多少個(gè)方格就是面積。大部分學(xué)生注意到面積的飽和性，能把多邊形分解成單個(gè)平面圖形，還能利用割補(bǔ)、平移等方法對(duì)沒學(xué)過的圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化。學(xué)生能用數(shù)方格的方法求沒學(xué)過的圖形的面積，這里蘊(yùn)含了度量的意識(shí)和累加的思想，為日后學(xué)習(xí)微分做了鋪墊。這是學(xué)生學(xué)習(xí)平面圖形的面積推導(dǎo)時(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，教師可以利用學(xué)生已有的知識(shí)起點(diǎn)有針對(duì)性地設(shè)計(jì)活動(dòng)。對(duì)于知識(shí)理解不到位的學(xué)生，需要教師查漏補(bǔ)缺，讓學(xué)生盡可能理解面積的含義和計(jì)算背后的道理。

（2）學(xué)生在自己探索新圖形的面積過程中，個(gè)性化方法得以外顯，也有局限性

通過調(diào)研得知：20%左右的學(xué)生在探索過程中，運(yùn)用了合情推理中的類比推理，但出現(xiàn)了一些偏差。如：認(rèn)為等邊三角形的面積和正方形一樣，可以用邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)來計(jì)算；平行四邊形的面積用鄰邊相乘；等腰三角形的面積是底乘高等。這些都說明學(xué)生在探索知識(shí)的過程中是有想法的，但出現(xiàn)了偏差。我們可以利用學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷從平衡到不平衡再到平衡的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷反思假設(shè)—驗(yàn)證—否定—新結(jié)論的過程。

教師要帶著欣賞的眼光，利用這些資源。調(diào)研豐富了教師讀懂學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，讓課堂從單一走向豐富，從平鋪直敘走向柳暗花明。我們的課堂該怎樣關(guān)注學(xué)生的個(gè)性，讓學(xué)生的思維外顯，在學(xué)習(xí)中有整體的結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知，這是我們調(diào)研的啟示。

（3）面積學(xué)習(xí)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注圖形之間的相互轉(zhuǎn)化

學(xué)習(xí)面積的真正基礎(chǔ)是弄清楚圖形之間的關(guān)系，沒有圖形之間的等積變形就沒有轉(zhuǎn)化的思想方法。所以重視圖形之間關(guān)系的教學(xué)是平面圖形面積推導(dǎo)之前應(yīng)做好的準(zhǔn)備課，為學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思考經(jīng)驗(yàn)。

通過調(diào)研，我們深切地感覺到：學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、思維方法基礎(chǔ)、學(xué)生的興趣、需求啟發(fā)我們思考不能一味地采取一成不變的學(xué)習(xí)順序，除了平行四邊形作為突破口之外，是否可以先學(xué)習(xí)其他圖形呢？