從經(jīng)驗(yàn)到模型：為數(shù)學(xué)理解的深刻而建構(gòu)
——以《反比例的意義》教學(xué)實(shí)踐與反思為例

江蘇江陰市城中實(shí)驗(yàn)小學(xué) 黃蓉潔 繆宏敏

一、探索：“數(shù)學(xué)教育”的本色追求

隨著課改的不斷深入，核心素養(yǎng)開(kāi)始倍受教育工作者的關(guān)注。在一場(chǎng)場(chǎng)百家爭(zhēng)鳴的學(xué)術(shù)探討中，一線(xiàn)教師很容易被諸多大咖的新觀點(diǎn)、新理論弄得眼花繚亂，甚至迷失了方向。那么，數(shù)學(xué)教育的核心任務(wù)到底是什么？

課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用。筆者認(rèn)為：信息化時(shí)代的到來(lái)，數(shù)學(xué)知識(shí)與技能獲得的途徑將多元化，當(dāng)下以及未來(lái)數(shù)學(xué)教育的核心應(yīng)該是“思維”。忐忑間，偶然發(fā)現(xiàn)史寧中教授講過(guò)這樣一句話(huà)：中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)就在于會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。其中，“數(shù)學(xué)的眼光”側(cè)重于數(shù)學(xué)抽象與直觀想象，“數(shù)學(xué)的思維”偏向于邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，“數(shù)學(xué)的語(yǔ)言”指向于數(shù)學(xué)模型與數(shù)據(jù)分析。他的觀點(diǎn)，更堅(jiān)定了我們“為思維而教”的價(jià)值判斷。

思維是人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)間接的、概括的反映（客觀事物的本質(zhì)屬性和規(guī)律性的聯(lián)系），是認(rèn)識(shí)的高級(jí)形式。思維過(guò)程就是運(yùn)用多種形式對(duì)外界信息不斷進(jìn)行分析、綜合、比較、抽象和概括的過(guò)程。結(jié)合皮亞杰、杜威對(duì)“理解本質(zhì)”的界定，我們提出：思維的過(guò)程也是個(gè)體對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)建立理解、深化理解、表達(dá)理解的過(guò)程。數(shù)學(xué)理解，不僅是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容、方法技巧、思想策略的感悟，還有從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)、思考、表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。數(shù)學(xué)教育，應(yīng)為數(shù)學(xué)理解的深刻而設(shè)計(jì)、展開(kāi)。

二、實(shí)踐：“理解深刻”的優(yōu)選策略

函數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，也是義務(wù)教育階段學(xué)生比較難理解和掌握的數(shù)學(xué)概念之一，《反比例的意義》就是其中的典型代表（蘇教版數(shù)學(xué)第十二冊(cè)第六單元）。從“生活經(jīng)驗(yàn)”到“數(shù)學(xué)模型”的生長(zhǎng)，它直觀反映了數(shù)學(xué)理解從模糊到清晰、從表象到屬性、從具體到抽象的發(fā)展過(guò)程。下面，筆者以該內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談?wù)劥龠M(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的一般策略。

(一)距離丈量：在反復(fù)追問(wèn)中明晰目標(biāo)

1.學(xué)情分析：學(xué)生在哪里

（1）已經(jīng)掌握了一些常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系；（2）已經(jīng)獲得了“正比例意義與圖像”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)；（3）已經(jīng)具備了初步的邏輯推理能力和分析問(wèn)題的方法，有一定的獨(dú)立探究意識(shí)和合作交流能力。

2.內(nèi)容審視：價(jià)值在何處

模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。反比例是一種特定且重要的數(shù)學(xué)模型，是對(duì)以前學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)問(wèn)題（如總量不變的問(wèn)題、等積變形問(wèn)題）和數(shù)學(xué)規(guī)律（如積的變化規(guī)律）的一般化與模型化。其基本樣式為：xy=k（一定），其中，x與y一個(gè)是自變量一個(gè)是應(yīng)變量，k是定量。

（1）從單元編排看知識(shí)，有助于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的逐步完善。單元教材的編排序列為“正比例意義—正比例圖像—反比例意義（圖像）”。如此，既分解了單元目標(biāo)達(dá)成的難度，積累同類(lèi)題材的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，也能引發(fā)學(xué)生積極的數(shù)學(xué)思考。

（2）從思維發(fā)展看經(jīng)歷，有助于學(xué)生高階思維的逐步提升。布魯姆目標(biāo)分類(lèi)學(xué)中，記憶、理解、應(yīng)用是低階思維，分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造是高階思維。各地方教材對(duì)“反比例意義”的教學(xué)建議，基本都遵循“問(wèn)題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用、拓展”的模式，大多都運(yùn)用分類(lèi)、歸納、抽象、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法。這些思想方法，就是高階思維的學(xué)科表達(dá)。

（3）從函數(shù)思想看模型，有助于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的逐步展開(kāi)。建模期間，學(xué)生能在鮮活的情景中充分感悟“變量與常量、自變量與應(yīng)變量”等函數(shù)思想，多次體驗(yàn)“列表法、解析法、圖像法”這三種函數(shù)的表示方法，為后續(xù)的深入學(xué)習(xí)做了很好的鋪墊。

3.目標(biāo)設(shè)定：要到哪里去

基于以上思考，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)理念，我們這樣設(shè)定本課教學(xué)目標(biāo)：（1）在具體的情境中，理解反比例的意義，會(huì)判斷兩種量是否成反比例。（2）經(jīng)歷觀察、比較、歸納、抽象模型的探究過(guò)程，提高概括和推理能力。（3）在自主探索與合作交流中獲得積極的情感體驗(yàn)，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察并解釋生活中的現(xiàn)象。

（二）路徑選擇：在認(rèn)知沖突中自主建構(gòu)

目標(biāo)既定，如何達(dá)成？ 建構(gòu)主義告訴我們，學(xué)習(xí)是認(rèn)知沖突不斷生成、化解、再生成的過(guò)程。認(rèn)知沖突，即已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)與新知識(shí)之間存在某種差距而導(dǎo)致的心理失衡。在課堂教學(xué)中設(shè)置認(rèn)知沖突，可以喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在需要，使他們?cè)诮跽鎸?shí)的學(xué)習(xí)背景或解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，感受到矛盾，感悟到聯(lián)系，理解到深刻。基于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)梳理并創(chuàng)設(shè)障礙是形成認(rèn)知沖突的一般方式。就本課而言，我們預(yù)設(shè)的障礙有：（1）“成反比例關(guān)系”的對(duì)象是誰(shuí)？ （2）怎樣才算成“反比例關(guān)系”？ （3）正比例和反比例關(guān)系有什么關(guān)聯(lián)？ （4）反比例圖像為什么是一條曲線(xiàn)？（5）學(xué)了反比例有什么用？清除障礙的學(xué)習(xí)方式主要有分析、綜合、比較、抽象、概括等。

（三）過(guò)程體驗(yàn)：在問(wèn)題解決中深刻理解

問(wèn)題是認(rèn)知沖突的直觀體現(xiàn)，問(wèn)題解決也是數(shù)學(xué)課程的四大目標(biāo)內(nèi)容之一。在真實(shí)的情境中，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、在豐富的表征中分析問(wèn)題、在自我的挑戰(zhàn)中解決問(wèn)題，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)理解的深刻。

1.喚醒與啟發(fā)：在生活情境中猜想數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)

（1）還原：這是江陰徐霞客公園游玩的一些數(shù)據(jù)，總價(jià)和數(shù)量成什么關(guān)系？ 為什么？

?

（2）推廣：生活中相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)變量有很多，除了正比例關(guān)系，還有沒(méi)有其他關(guān)系了？ 是什么？

（3）猜想：你覺(jué)得怎樣算反比例關(guān)系呢？ （大多數(shù)學(xué)生的猜想是變化方向相反的兩個(gè)變量）

2.比較與聯(lián)想：在屬性鑒別中感知模型表象

（1）比較1：你有什么發(fā)現(xiàn)？

表1 面積為18平方厘米的長(zhǎng)方形

表2 周長(zhǎng)為18厘米的長(zhǎng)方形

通過(guò)填表與觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩張表中兩個(gè)變量的變化方向都是相反的。此時(shí)，內(nèi)心的困惑：它們是否就是成反比例呢？

（2）比較2：兩張表中長(zhǎng)和寬的變化規(guī)律一樣嗎？ 通過(guò)小組討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，盡管兩組變量的變化方向一樣，但變化規(guī)律有所不同。表1的長(zhǎng)與寬在變化過(guò)程中保持積不變，表2的長(zhǎng)與寬在變化過(guò)程中保持和不變。

（3）聯(lián)想：你覺(jué)得哪張表的長(zhǎng)與寬成反比例關(guān)系？ 為什么？ 此時(shí)，許多學(xué)生應(yīng)用以往經(jīng)驗(yàn)展開(kāi)聯(lián)想。

生1：我覺(jué)得表1中的長(zhǎng)和寬成反比例，因?yàn)榉幢壤龖?yīng)該也是比例的一種，而比例都是研究乘除關(guān)系的。

生2：正比例是專(zhuān)指兩個(gè)變量在變化過(guò)程中商一定的關(guān)系，不包括差一定的關(guān)系，所以我覺(jué)得可能是表1中的長(zhǎng)與寬。

直覺(jué)性思維是所有發(fā)明的基礎(chǔ)。學(xué)生在有理有據(jù)的聯(lián)想中，對(duì)反比例的本源、屬性產(chǎn)生了新的認(rèn)識(shí)。

3.感悟與辨析：在正面引導(dǎo)中建立模型表征

（1）觀察：?jiǎn)蝺r(jià)和數(shù)量的變化規(guī)律是怎樣的？

用60元購(gòu)買(mǎi)筆記本，購(gòu)買(mǎi)筆記本的單價(jià)、數(shù)量如下表：

通過(guò)交流，學(xué)生再次發(fā)現(xiàn)單價(jià)和數(shù)量是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的變量，變化方向也是相反的，在變化過(guò)程中單價(jià)和數(shù)量的積不變，這就是反比例的生活原型。

（2）概括：你能借助數(shù)量關(guān)系式表示三者之間的關(guān)系嗎？ [單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)（一定）]

（3）定義：像這樣，單價(jià)和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，單價(jià)變化，數(shù)量也隨著變化，如果單價(jià)和數(shù)量的積一定，我們就說(shuō)單價(jià)和數(shù)量成反比例關(guān)系，單價(jià)和數(shù)量是成反比例的量。

4.抽象與建模：在比較歸納中抽象模型樣態(tài)

（1）內(nèi)化：表1和表2中，長(zhǎng)和寬成反比例嗎？ 為什么？

（2）遷移：長(zhǎng)和寬在變化過(guò)程中必須滿(mǎn)足怎樣的條件才成反比例？

（3）概括：你會(huì)用一個(gè)式子表示這種關(guān)系嗎？[長(zhǎng)×寬=面積（一定）]

（4）抽象：請(qǐng)大家觀察上述兩個(gè)關(guān)系式，再想一想成正比例的關(guān)系式，反比例關(guān)系可以用哪一個(gè)式子來(lái)表示？ [x×y=k（一定）]

（5）比較：正比例關(guān)系和反比例關(guān)系有什么關(guān)聯(lián)？

5.應(yīng)用與串聯(lián)：在推廣遷移中明晰知識(shí)本質(zhì)

（1）聯(lián)系：生活中還有哪些數(shù)量也存在反比例關(guān)系？

（2）辨析：你能運(yùn)用今天所學(xué)的知識(shí)判斷下面兩個(gè)變量的關(guān)系嗎？ （略）

（3）綜合：請(qǐng)大家看黑板上的兩種關(guān)系，同樣是單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)，為什么有時(shí)候成正比例關(guān)系，有時(shí)候成反比例關(guān)系呢？ （由定量決定）

（4）練習(xí)：給你三個(gè)量，你能說(shuō)說(shuō)它們之間的關(guān)系嗎？

6.圖像與表征：在直觀對(duì)比中深化函數(shù)思想

（1）猜想：正比例關(guān)系可以用通過(guò)原點(diǎn)的一條射線(xiàn)來(lái)表示，你覺(jué)得反比例關(guān)系的圖像是怎樣的？

（2）驗(yàn)證：以剛才的單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)為例，我們分別來(lái)畫(huà)一畫(huà)好嗎？

（3）分析：除了兩個(gè)變量，你能看到不變量嗎？ （圖例呈現(xiàn)長(zhǎng)方形面積）

（4）推理：正比例圖像會(huì)與軸產(chǎn)生交叉，反比例圖像會(huì)不會(huì)？ 為什么？

7.總結(jié)與反思

本課的設(shè)計(jì)，勾勒了數(shù)學(xué)理解走向深刻的一般樣態(tài)：一是注重引發(fā)真實(shí)問(wèn)題。讓生活中的情境引發(fā)數(shù)學(xué)思考，讓數(shù)學(xué)思考解決生活中的具體問(wèn)題。二是注重運(yùn)用合情推理。從一般到特殊，從表象到屬性，從具體到抽象，學(xué)生在不同屬性的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中比較、分析、歸納，逐步獲得對(duì)反比例意義的深刻理解。三是注重自主建構(gòu)。在反比例模型建構(gòu)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了猜想、驗(yàn)證、推理、應(yīng)用、反思等學(xué)習(xí)活動(dòng)。這樣的體驗(yàn)，均建立在學(xué)生內(nèi)心最糾結(jié)與較混沌處，沖突化解的過(guò)程就是理解升華的過(guò)程。

值得一提的是，在課后交流中，學(xué)生提出了一個(gè)很有意思的問(wèn)題：比例和反比例有關(guān)系嗎？ 事后與多名同事探討，持“沒(méi)有關(guān)系”觀點(diǎn)的居然占了多數(shù)，理由也很充分：意義不同，表征也不同。筆者以為，正反比例都是比例的一種特殊表達(dá)方式。如：筆者雖然沒(méi)有明確指出兩者之間的關(guān)聯(lián)，但學(xué)生卻能在辨析中領(lǐng)悟到正反比例都是在研究“有關(guān)乘除的變化關(guān)系”，其表征是一致的。反之，如果沒(méi)有關(guān)系，教材為何要設(shè)計(jì)“比、比例、正反比例”的學(xué)習(xí)序列呢？ 古人又為什么要起名“反比例”呢？ 是否存在一種可能：在路程一定的情況下，速度和時(shí)間成反比例，繼而可以推廣為速度1∶速度2=時(shí)間2∶時(shí)間1，反一反就能組成比例了？