圖形萬變不離其宗

毛巾鈞

“圖形的變化”這一知識(shí)點(diǎn)是初中幾何的重要內(nèi)容，主要包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱等。下面整理了幾種典型錯(cuò)例并予以剖析，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助。

一、概念不清

例1在矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=2，沿對(duì)角線AC剪開（如圖1）。固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如圖2），當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分的面積最大時(shí)，平移的距離AA′等于（ ）。

A.1 B.1.5 C.2 D.0.8或1.2

圖1

圖2

【錯(cuò)解】D。

【錯(cuò)因】本題是平移背景下二次函數(shù)的最值問題。很多同學(xué)往往只停留在直觀的感受層面，難以從平移的定義和性質(zhì)出發(fā)進(jìn)行推理和計(jì)算。

【正解】本題根據(jù)平移的性質(zhì)得到平行，進(jìn)而得出三角形相似，同時(shí)得到重疊部分為平行四邊形。如圖2，設(shè)A′B與AC的交點(diǎn)為T，即有△AA′T∽△ADC。設(shè)平移的距離AA′=x，根據(jù)相似得，再利用平行四邊形面積公式，得出重疊部分的面積·（2-x），求此二次函數(shù)取最大值時(shí)的x值即可。

正確答案：A。

二、性質(zhì)不明

例2如圖3，在正方形ABCD中，已知P為邊AD的中點(diǎn)，Q為邊BC上一點(diǎn)，且把這個(gè)正方形折疊，使得P、Q重合，折痕為MN，則

圖3

圖4

【錯(cuò)解】。

【錯(cuò)因】不會(huì)分析“折疊”，難以聯(lián)想到折疊的性質(zhì)——對(duì)稱軸垂直平分對(duì)稱點(diǎn)的連線，無從下手，胡亂猜測(cè)答案。

【正解】同學(xué)們解讀題意時(shí)，應(yīng)充分聯(lián)系軸對(duì)稱的性質(zhì)。這里主要是運(yùn)用“對(duì)稱軸垂直平分對(duì)稱點(diǎn)連線”，連接PQ，如圖4，可得MN垂直平分PQ。進(jìn)一步根據(jù)垂直平分的性質(zhì)，連接MP、MQ、NP、NQ，可得MP=MQ，NP=NQ，根據(jù)條件，不妨設(shè)AP=PD=2a，BQ=a，CQ=3a，AM=x，BM=4a-x，在Rt△AMP與Rt△BMQ中，再利用勾股定理，可得（2a）2+x2=a2+（4a-x）2，解得。同理可得

正確答案

三、變化不全

例3 如圖5，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點(diǎn)E是射線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F。當(dāng)點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，求CE的長。

圖5

【錯(cuò)解】根據(jù)折疊，得BF=BC=3，設(shè)EF=CE=x，∠F=∠C=90°，過點(diǎn)F作AB的垂線，利用“K字形相似”，可得

【錯(cuò)因】題目條件中“射線”兩字很重要，這是一個(gè)提示。隨著點(diǎn)E沿著CD往左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F可能會(huì)落在矩形ABCD的外部，即在AB的上方。

【正解】因?yàn)椤包c(diǎn)E是射線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”，因此，需以動(dòng)態(tài)的視角去分類討論。如圖6，畫圖過程中抓住軸對(duì)稱的根本性質(zhì)，即BF=BC，得到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)B為圓心、BC長為半徑的圓。再畫出AB的垂直平分線與圓的交點(diǎn)，有兩個(gè)，分別是F1、F2，最后畫∠CBF1的角平分線BE1與∠CBF2的角平分錢BE2，即折痕。具體解法與上面錯(cuò)解的解法類似，也是通過構(gòu)造“K字形相似”，得=

圖6

四、理解不透

例4如圖7，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=18把△ABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與AB邊上的點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，則線段AE的長為（ ）。

圖7

【錯(cuò)解】根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段相等，計(jì)算得出AC=6，觀察圖形，選A。

【錯(cuò)因】錯(cuò)解的產(chǎn)生，一是缺少嚴(yán)密的邏輯推理，僅從直觀感受得結(jié)果；二是沒有充分地利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。

【正解】旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)角相等這一性質(zhì)運(yùn)用廣泛。本題中，兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD和∠ACE相等，同時(shí)由旋轉(zhuǎn)可得BC=DC，AC=EC，由此可得△BCD∽△ACE。再過點(diǎn)C作BD的垂線，求出BD的長度，最后利用相似可求AE的長度。

正確答案：C。

平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)是幾何中的三種基本變換，我們?cè)诮鉀Q圖形變化的問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)從這三種變換的定義和性質(zhì)出發(fā)，研究變與不變。