改進(jìn)的考慮自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性的有限時(shí)間滑模導(dǎo)引律

張力丹， 伊國(guó)興

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 空間控制與慣性技術(shù)研究中心，黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

導(dǎo)彈的導(dǎo)引規(guī)律是制導(dǎo)系統(tǒng)的核心思想，是實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈可以追蹤目標(biāo)并達(dá)到良好制導(dǎo)精度的理論基礎(chǔ)?，F(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中制導(dǎo)精度是導(dǎo)彈打擊性能的關(guān)鍵性指標(biāo)之一，導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀的動(dòng)態(tài)延遲特性對(duì)制導(dǎo)精度造成的影響是難以忽略的。尤其是導(dǎo)彈在大氣層內(nèi)作戰(zhàn)時(shí)，所需過載的氣動(dòng)力由側(cè)滑角和攻角產(chǎn)生，這比由直接側(cè)向力來提供需用法向過載的導(dǎo)彈而言對(duì)自動(dòng)駕駛儀的延遲特性會(huì)更加敏感。在打擊大機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)，自動(dòng)駕駛儀的動(dòng)態(tài)延遲特性將不能保證高的制導(dǎo)精度[1～4]。

傳統(tǒng)的導(dǎo)引律設(shè)計(jì)方法有追蹤法、平行接近法、比例導(dǎo)引法等。這些經(jīng)典導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)都是把自動(dòng)駕駛儀環(huán)節(jié)當(dāng)作一個(gè)理想環(huán)節(jié)，忽略了自動(dòng)駕駛儀的延遲特性[5～7]，在一定程度上會(huì)犧牲掉導(dǎo)彈的制導(dǎo)精度。文獻(xiàn)[2,8]將自動(dòng)駕駛儀的動(dòng)態(tài)特性用一階環(huán)節(jié)來表示，實(shí)際應(yīng)用中自動(dòng)駕駛儀是一個(gè)具有復(fù)雜的高階動(dòng)態(tài)特性的設(shè)備。故在導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)中用更貼近自動(dòng)駕駛儀延遲特性的二階環(huán)節(jié)來表示其動(dòng)態(tài)特性[1,4,5]。在末制導(dǎo)階段，由于精確制導(dǎo)時(shí)間十分短暫，通常只有幾秒鐘，導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)應(yīng)保證實(shí)現(xiàn)視線角速率在有限時(shí)間內(nèi)快速收斂的指標(biāo)[1,6,10]。

滑?？刂凭哂许憫?yīng)快、魯棒性強(qiáng)、物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航天控制領(lǐng)域,但由于時(shí)空滯后開關(guān)及控制系統(tǒng)慣性影響等原因存在抖振的缺陷[11]。為改善系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，Kachroo P設(shè)計(jì)了一個(gè)低通濾波器來使切換面函數(shù)變得平滑，有效改善了系統(tǒng)的抖振程度；Vicente P V采用邊界層設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)了飽和函數(shù)來替代原控制函數(shù)中的開關(guān)函數(shù)；張?zhí)炱綄W(xué)者則考慮利用模糊邏輯的方法來使控制函數(shù)連續(xù)化；學(xué)者李琳提出采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來設(shè)計(jì)滑模面。高為炳提出的趨近律概念可通過適當(dāng)調(diào)整趨近律式中的參數(shù)來有效削弱抖振，具有設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單可操作性強(qiáng)的特點(diǎn)，故在滑?？刂浦胁捎泌吔傻姆绞絹砀纳贫墩瘳F(xiàn)象[8,9]。

本文對(duì)導(dǎo)彈的縱向平面進(jìn)行分析，設(shè)計(jì)基于滑模變結(jié)構(gòu)的綜合考慮自動(dòng)駕駛儀的動(dòng)態(tài)特性和有限時(shí)間收斂的新型導(dǎo)引律，使導(dǎo)彈滿足更高的制導(dǎo)精度。

1 彈目制導(dǎo)模型的建立

這里考慮軸對(duì)稱尋的導(dǎo)彈的制導(dǎo)模型，導(dǎo)彈的縱向平面和側(cè)向平面的分析是相似的，故在這里只做導(dǎo)彈縱向平面的導(dǎo)引律分析，同理可將該導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)思路應(yīng)用到側(cè)向平面。

將導(dǎo)彈和目標(biāo)定義為兩個(gè)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)，分析導(dǎo)彈和目標(biāo)在平面內(nèi)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，圖1為縱向平面攔截示意圖。

圖1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

由圖1可得出以下彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

(1)

(2)

(3)

(4)

式中wR,uR分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈加速度在視線方向上的分量，wq，uq分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈加速度垂直于視線方向上的分量。

(5)

用二階動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)來近似逼近導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀的實(shí)際高階動(dòng)態(tài)特性

(6)

式中ζ和ωn分別為導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀的阻尼比和自振頻率，u為導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀輸入的加速度指令，aM為自動(dòng)駕駛儀輸出給導(dǎo)彈的加速度指令。

在式(6)中考慮到導(dǎo)彈模型的氣動(dòng)參數(shù)偏差會(huì)造成不確定性誤差，這里用Δ來表示，則可得縱向平面內(nèi)考慮導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀二階動(dòng)態(tài)特性的制導(dǎo)模型

(7)

在制導(dǎo)模型式(7)中含有目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度，它一般是難以準(zhǔn)確估計(jì)的，導(dǎo)彈模型也存在不確定性，但目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度和導(dǎo)彈模型的不確定性通常是有界的。因此，將這兩部分看作是建模誤差。假設(shè)|aT|<ε和|Δ|<ρ(ε和ρ均為正常數(shù))來對(duì)式(7)進(jìn)行變換。

定義狀態(tài)變量

(8)

對(duì)x1關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)可得

=x2+Δ1

(9)

對(duì)x2關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)可得

(10)

對(duì)x3關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)可得

(11)

=a1x1+a2x2+a3x3+bu+Δ3

(12)

故變換后的考慮導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀二階動(dòng)態(tài)特性的制導(dǎo)模型式為

(13)

2 導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)與分析

2.1 設(shè)計(jì)滑模面

考慮到滑?？刂频膬?yōu)越性，在這里采用滑?？刂频姆绞絹碓O(shè)計(jì)導(dǎo)彈的新型導(dǎo)引律。

首先定義滑模面

S=C1x1+C2x2+C3x3

(14)

式中Ci均為不為零的常數(shù)。

抖振是滑?？刂频淖畲笕毕?，為盡量削弱抖振對(duì)制導(dǎo)系統(tǒng)的影響，采用指數(shù)趨近律來改善滑模到達(dá)過程的品質(zhì)[13]。指數(shù)趨近律的表達(dá)式如式(15)

(15)

通過適當(dāng)調(diào)整參數(shù)k和ε來保證趨近切換面的時(shí)間和運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)切換面時(shí)的速度的指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。

對(duì)滑模面S關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)

C3bu+C1Δ1+C2Δ2+C3Δ3

(16)

根據(jù)式(15)和式(16)，設(shè)計(jì)導(dǎo)引律為

u=-(C3b)-1[C3a1x1+(C1+C3a2)x2+

(C2+C3a3)x3+KSp/q+ρsgnS]

(17)

K為正常數(shù)，q和p為正奇數(shù)，且q

2.2 穩(wěn)定性分析

將設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律式(17)代入式(16)，可得

(18)

前面已經(jīng)假設(shè)目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度和導(dǎo)彈模型的不確定性有界,所以令

|C1Δ1+C2Δ2+C3Δ3|≤ρ

(19)

選取Lyapunov函數(shù)

(20)

對(duì)上式時(shí)間求導(dǎo)，得

≤-KSp/q+1-ρ|S|+|S||C1Δ1+C2Δ2+C3Δ3|

≤-KSp/q+1=-K(2V)(p/q+1)/2

=-2(p/q+1)/2KV(p/q+1)/2

(21)

根據(jù)文獻(xiàn)[2]中對(duì)非線性系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定定理的闡述可知，制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)將在tr內(nèi)到達(dá)滑模面，然后繼續(xù)在滑模面上運(yùn)動(dòng)直到狀態(tài)收斂為零。該制導(dǎo)系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定

(22)

2.3 導(dǎo)引律的改進(jìn)

設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律中含有符號(hào)函數(shù)項(xiàng)，這是一個(gè)非連續(xù)的開關(guān)函數(shù)，容易造成制導(dǎo)系統(tǒng)的抖動(dòng)[13]。為了消弱抖動(dòng)，需要用一個(gè)連續(xù)函數(shù)來代替這個(gè)非連續(xù)函數(shù)。由雙曲正切函數(shù)的曲線圖。可知tanh(x)在定義域-π

改進(jìn)后的考慮自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性的有限時(shí)間導(dǎo)引律為

(23)

式中δ為一個(gè)正常數(shù)，仿真中,δ=0.1。

3 仿真驗(yàn)證

參考相關(guān)文獻(xiàn)資料設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律中各參數(shù)值分別為C1=60,C2=15,C3=1,q/p=7/9,K=3,ρ=0.1;導(dǎo)彈的可用過載加速度為40gn，gn為重力加速度。根據(jù)導(dǎo)彈設(shè)計(jì)的要求和實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)，選取導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)參數(shù)為ζ=0.6，ωn=8 rad/s，導(dǎo)彈模型不確定性為Δ=5 %um/s2。這里分別對(duì)導(dǎo)彈進(jìn)行非機(jī)動(dòng)、常值機(jī)動(dòng)和正弦機(jī)動(dòng)三種情況的仿真分析。彈目初始條件值設(shè)置如表1所示。

表1 仿真所需參數(shù)初始值

圖2所示是目標(biāo)非機(jī)動(dòng)時(shí)的導(dǎo)引律仿真圖。

圖2 導(dǎo)引律曲線

由圖2可以看出在0.5 s后原始設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律出現(xiàn)抖振，而改進(jìn)后的導(dǎo)引律曲線平滑并能很好地代替原來設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律。

這里采用經(jīng)典的比例導(dǎo)引律與改進(jìn)的新型導(dǎo)引律進(jìn)行對(duì)比。比例導(dǎo)引律的表達(dá)式為

(24)

式中K為比例系數(shù)， 通常取值為2～6[7]，這里選取K為4。

用ADFTCG表示所設(shè)計(jì)的考慮自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性的有限時(shí)間導(dǎo)引律，PNG表示比例導(dǎo)引律。關(guān)于導(dǎo)彈不機(jī)動(dòng)、在縱向平面進(jìn)行20 m/s2的常值機(jī)動(dòng)及在縱向平面進(jìn)行aT=50sin(2πt/0.5)m/s2的正弦機(jī)動(dòng)的脫靶量結(jié)果如表2所示。

表2 三種機(jī)動(dòng)情形下的脫靶量

三種機(jī)動(dòng)情形下視線角速率變化如圖3(a)、圖4(a)、圖5(a)，加速度指令仿真如圖3(b)、圖4(b)、圖5(b)。

圖3 目標(biāo)非機(jī)動(dòng)仿真

圖4 目標(biāo)常值機(jī)動(dòng)仿真

圖5 目標(biāo)正弦機(jī)動(dòng)仿真

由仿真結(jié)果圖3～圖5可看出:設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律能使制導(dǎo)系統(tǒng)在有限時(shí)間收斂。經(jīng)計(jì)算得到制導(dǎo)時(shí)間為2.278 1 s。由圖3～圖5可看到:考慮了導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性的導(dǎo)引律可以更加迅速地響應(yīng)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)變化，兩種導(dǎo)引律的視線角速率均接近零，直到制導(dǎo)即將結(jié)束才有發(fā)散。在制導(dǎo)快結(jié)束時(shí)比例導(dǎo)引律的視線角速率比新型導(dǎo)引律先發(fā)散，這也是造成它脫靶量更大的原因。結(jié)合脫靶量的結(jié)果來看，設(shè)計(jì)的新型導(dǎo)引律具有更高的制導(dǎo)精度。

4 結(jié) 論

考慮到制導(dǎo)末段的時(shí)間有限，參考滑?？刂评碚摵陀邢迺r(shí)間穩(wěn)定定理在導(dǎo)彈的縱向平面設(shè)計(jì)了一種基于滑模控制的考慮導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性的有限時(shí)間收斂導(dǎo)引律。同時(shí)為減弱滑?？刂圃斐傻亩墩癫捎秒p曲正切函數(shù)改進(jìn)了導(dǎo)引律。仿真結(jié)果表明設(shè)計(jì)的新型導(dǎo)引律曲線平滑，可以使導(dǎo)彈在有限時(shí)間內(nèi)迅速跟蹤上目標(biāo)運(yùn)動(dòng)，有效補(bǔ)償了自動(dòng)駕駛儀的延遲特性。設(shè)計(jì)新型導(dǎo)引律極大提高了導(dǎo)彈的制導(dǎo)精度，更貼合現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中對(duì)導(dǎo)彈打擊性能的要求。