“鏈條式”課堂，別樣精彩*
——一節(jié)全國展示課“同底數(shù)冪的乘法”引發(fā)的思考

筅江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級中學(xué) 何君青

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的出臺，初中新一輪課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂也全面開展，這為教師課堂教學(xué)的有效實(shí)施增添了無限的思考.不久前，筆者在《中學(xué)數(shù)學(xué)》等雜志發(fā)表了多篇文章，講述對課堂教學(xué)的新思考——“鏈條式”課堂教學(xué)，這種教學(xué)模式是對“三個理解”“學(xué)科核心素養(yǎng)”“學(xué)科關(guān)鍵能力”很好的詮釋.它從學(xué)生的已有知識出發(fā)，以一個又一個問題展開，通過“鏈條”般的系列問題讓學(xué)生達(dá)到對知識的透徹掌握.近期筆者受邀去山西上了一節(jié)展示課，就用了此模式授課，現(xiàn)撰文與同行交流.在授課前后，為了能更好地掌握學(xué)情，走向基于證據(jù)的教學(xué)，筆者還融入了一些信息化手段.

一、教學(xué)分析

“同底數(shù)冪的乘法”選自北師大版教材七年級下冊第一章第一節(jié)內(nèi)容.同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算是冪的運(yùn)算中重要的一種運(yùn)算，它是在有理數(shù)的乘方和整式的加減基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，它使同底數(shù)冪的乘法的結(jié)果更為簡潔、方便.同底數(shù)冪的乘法是學(xué)習(xí)整式的乘、除運(yùn)算的基礎(chǔ)，是冪的三個性質(zhì)中最基本的一個性質(zhì)，可見同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算的學(xué)習(xí)架起了“有理數(shù)的乘方”與“冪的運(yùn)算”、“冪的運(yùn)算”與“整式的乘、除運(yùn)算”之間聯(lián)系的橋梁，起到了承上啟下的作用.本節(jié)課的授課內(nèi)容屬于規(guī)則下的概念教學(xué)課，在教學(xué)時，需要逐步讓學(xué)生理解相應(yīng)概念，不要操之過急，盡量在經(jīng)歷同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)的探索過程中，體會同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算的實(shí)際意義，感受法則的合理性，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識與能力.

基于此，筆者制定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

（1）了解同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)，理解符號表示同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)的意義，體會模型思想，發(fā)展符號意識.

（2）會正確運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，并知道每一步運(yùn)算的依據(jù).

（3）經(jīng)歷探索同底數(shù)冪乘法運(yùn)算性質(zhì)的過程，感受從特殊到一般、從具體到抽象思考問題的方法，發(fā)展數(shù)感和歸納的能力，積累探究數(shù)學(xué)公式的活動經(jīng)驗(yàn).

在學(xué)習(xí)本節(jié)課時，學(xué)生已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)，已掌握了有理數(shù)的相關(guān)運(yùn)算，并已初步具有用字母表示數(shù)的思想，但用字母來歸納同底數(shù)冪的乘法法則，使其具有一般性，對學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力要求較高.所以本節(jié)課主要的任務(wù)就是讓學(xué)生理解同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)，能熟練地進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，并能用同底數(shù)冪的乘法解決簡單的實(shí)際問題.在教學(xué)過程中，學(xué)生需要經(jīng)歷同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)的探索過程，體會同底數(shù)冪的乘法的實(shí)際意義，感受法則的合理性，并通過觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)、概括等過程發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識與能力.

基于此，制定了本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn).

重點(diǎn)：

（1）能借助文字語言和符號語言表述同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì).

（2）會正確地運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，并知道每一步運(yùn)算的依據(jù).

難點(diǎn)：

在推導(dǎo)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)的過程中，滲透化歸思想，并培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力.

在同底數(shù)冪乘法法則得出時，很多教師有這樣兩種操作方案：通過1至2個生活情境中的例子，讓學(xué)生進(jìn)行具體數(shù)字底數(shù)的同底數(shù)冪的乘法，于是歸納出同底數(shù)冪乘法的法則；通過2至3個算式，讓學(xué)生說說發(fā)現(xiàn)，從而歸納出同底數(shù)冪乘法的法則.這兩種做法類似，都是通過幾個例子的計算，發(fā)現(xiàn)共同的特征，從而抽象出概念，歸納出同底數(shù)冪乘法的法則.很多教師上課時都是采用這兩種方式，這樣的做法僅僅是記憶認(rèn)識，并沒有過多知識形成的過程，學(xué)生其實(shí)并不能真正理解算理，也不會真正掌握日后研究類似問題的一般方法.

在本節(jié)課鞏固練習(xí)時，大部分教師會通過大量的練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)行操練，從而掌握同底數(shù)冪乘法的法則解決相關(guān)問題，稍微好一點(diǎn)的教師會做一些逆向思維的問題，加深學(xué)生對同底數(shù)冪乘法法則的認(rèn)識.此類做法過于機(jī)械，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的工具，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣日后會大打折扣，更不會形成探索問題的一般方法和有效策略.

基于上述考慮，筆者在設(shè)計本節(jié)課時，打算獨(dú)辟蹊徑，從數(shù)學(xué)問題（有理數(shù)的乘方）入手，讓學(xué)生一開始“摸得到，看得著”，接著提出“108×107如何計算”，將熟悉問題轉(zhuǎn)換成陌生問題，初步感受到同底數(shù)冪是可以相乘的，繼而讓學(xué)生嘗試計算兩組算式，并尋找算式中蘊(yùn)含的規(guī)律，再將規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表示出來，讓學(xué)生再次感受同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，接著通過一系列的練習(xí)加深學(xué)生對同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)的理解，最后通過對多個同底數(shù)冪的相乘的研究，深刻領(lǐng)悟同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算的內(nèi)涵.研究過程由淺入深，通過從特殊到一般再到更一般、從具體到抽象的過程，配合相應(yīng)例題、練習(xí)題的訓(xùn)練，體會同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)，最終將兩個同底數(shù)冪相乘的法則推廣到多個同底數(shù)冪相乘的法則，達(dá)到經(jīng)驗(yàn)的遷移、能力的提升.在課堂中使用信息化手段檢測學(xué)生當(dāng)堂掌握的情況，及時批改和實(shí)時的作業(yè)報告第一時間反饋整個班級的情況，當(dāng)堂解決學(xué)生問題.

二、教學(xué)過程

1.前測準(zhǔn)備，了解學(xué)情

通過使用信息化手段，上課前一天給學(xué)生布置前測作業(yè)，了解學(xué)生對冪的意義、單項(xiàng)式指數(shù)等定義的掌握情況，從學(xué)生解答的情況，估計學(xué)生第二天學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容時可能出現(xiàn)的狀況，從而調(diào)整第二天上課的內(nèi)容.

具體題目如下.

（1）x3表示（ ）.

A.3x B.x+x+x C.x·x·x D.x+3

（2）關(guān)于（-7）2，下列說法正確的是（ ）.

A.-7是底數(shù)，2是冪 B.7是底數(shù)，2是冪

C.7是底數(shù)，2是指數(shù) D.-7是底數(shù)，2是指數(shù)

（3）關(guān)于-43，下列說法正確的是（ ）.

A.-4是底數(shù)，3是冪 B.4是底數(shù)，3是冪

C.4是底數(shù)，3是指數(shù) D.-4是底數(shù)，3是指數(shù)

（4）計算a3·a4的結(jié)果是（）.

A.a4B.a6C.a7D.a12

（5）若am=3，an=2，則am+n的值是（ ）.

A.5 B.6 C.8 D.9

2.教學(xué)情境，引入新課

在學(xué)習(xí)乘方運(yùn)算時，曾學(xué)過an，還記得an表示什么意義嗎？當(dāng)時a稱為什么？n稱為什么？an這個整體呢？

你能解釋108的意義嗎？107又是何意義呢？

若今天將108與107相乘，你能算出它們相乘的結(jié)果嗎？如何解釋？

設(shè)計意圖：從已知問題入手，讓學(xué)生感覺熟悉，通過一再的追問，使學(xué)生感受到知識難度不斷上升的過程，為后面將未知問題轉(zhuǎn)換成已知問題、將陌生問題轉(zhuǎn)換成熟悉問題提供背景.

3.探索活動，明晰本質(zhì)

［活動一］

對于兩個底數(shù)不是10的冪相乘，剛才的方法繼續(xù)適用嗎？不妨試試看！

25×28=______；

（-3）6×（-3）3=______.

你還能舉出幾個類似的例子，并計算它們的結(jié)果嗎？

［活動二］

將這些冪的形式變得更一般，若這些冪的指數(shù)換成字母，又會得到怎樣的結(jié)果呢？

2m×2n=______；；

（-3）m×（-3）n=______.（其中m、n都是正整數(shù)）

觀察上述這些式子，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？你能用符號表示這個發(fā)現(xiàn)嗎？對于這個結(jié)論，你能解釋其中的道理嗎？你能用文字表述這個結(jié)論嗎？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生先自己嘗試計算同底數(shù)冪的乘法算式，再觀察一系列算式的異同，通過比較、觀察，根據(jù)從特殊到一般的規(guī)律歸納出同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算的法則.

再來看一下學(xué)生歸納出的結(jié)論：am·an=am+n（m、n都是正整數(shù)）.

同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

4.嘗試解決，鞏固新知

例1計算：

（1）（-3）7×（-3）6；

（3）-x7·x4；

（4）b2m·b2m+1.

設(shè)計意圖：4個題目各具特點(diǎn)，第（1）題與第（2）題是底數(shù)和指數(shù)均為數(shù)的同底數(shù)冪的乘法，較為簡單；第（3）題是底數(shù)是字母、指數(shù)是數(shù)字的同底數(shù)冪的乘法，但由于前面多一個負(fù)號干擾，難度增大；第（4）題是底數(shù)、指數(shù)均為字母的同底數(shù)冪的乘法，難度較大.4道題都是強(qiáng)化學(xué)生對同底數(shù)冪的乘法的認(rèn)識，此環(huán)節(jié)建議教師板書，運(yùn)算過程盡可能寫得詳細(xì).

例2一顆衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的速度是8×103m/s，這顆衛(wèi)星運(yùn)行3×102s的路程是多少？

設(shè)計意圖：此題是一個實(shí)際問題，讓學(xué)生體會生活中處處有數(shù)學(xué)的觀念，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識.在解決此問題的同時，回顧了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的正數(shù)，為后續(xù)學(xué)習(xí)用科學(xué)記數(shù)法表示較小的正數(shù)奠定了基礎(chǔ).

［練習(xí)一］（信息化平臺展示）

（1）計算34×35的結(jié)果是（ ）.

A.3 B.35C.39D.320

（2）計算a4·a2的結(jié)果是（ ）.

A.a2B.a4C.a6D.a8

（3）計算-x2·x3的結(jié)果是（ ）.

A.x5B.-x5C.x6D.-x6

（4）若x3·xm=x6，那么m的值是（）.

A.2 B.3 C.4 D.5

（5）下列計算正確的是（ ）.

A.a3·a2=a6B.b4·b4=2b4

C.x5+x5=x10D.y7·y=y8

（6）下列各式中，填入“-a”后成立的是（ ）.

A.-a3·（）4=a12B.（-a）7·（）5=a12

C.-a6·（ ）6=a12D.a13+（ ）=a12

（7）計算：52×57=______；x3·x9=______.

（8）填空：a4·______=a11；an+2·______=a2n+2.

（9）計算：a·a5+a3·a3=______.

（10）一種電子計算機(jī)每秒可做4×109次運(yùn)算，那么它工作5×102s可做______次運(yùn)算.

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對同底數(shù)冪的乘法的認(rèn)識.此練習(xí)借助“悠數(shù)學(xué)”的及時評價方式，更為迅速地發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題，并及時解決.

［練習(xí)二］

計算：

（1）（-7）2×78；

（2）（m+n）3·（m+n）4；

（3）a·am·am+1.

在解決這幾道題的過程中，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

設(shè)計意圖：加深學(xué)生對同底數(shù)冪的乘法的認(rèn)識.本環(huán)節(jié)是同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算的延伸.3道題的設(shè)置各有目的：第（1）題讓學(xué)生了解到有時候計算時底數(shù)不同，不能用同底數(shù)冪的乘法法則，要想辦法轉(zhuǎn)化；第（2）題讓學(xué)生了解到同底數(shù)冪的乘法法則當(dāng)?shù)讛?shù)為多項(xiàng)式時仍然適用；第（3）題讓學(xué)生了解到計算時有時會出現(xiàn)多個同底數(shù)冪相乘的情況，要想辦法得到更為一般的結(jié)論.

［拓展］

（1）若3×27×9=3x，求x的值；

（2）已知4m=a，4n=b，求4m+n+1.

設(shè)計意圖：本題組有一定的難度，從思想、方法層面進(jìn)行拓展，考查學(xué)生的逆向思維，滲透化歸思想.

5.小結(jié)思考，提煉總結(jié)

通過今天的學(xué)習(xí)和研究，你對同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算有了哪些認(rèn)識？

回到最初的地方，一開始我們研究了108×107，若將“×”變成“÷”、“+”或“-”，又會出現(xiàn)什么新問題呢？帶著疑問，回家思考一下，你對今天知識的體會會更深！

設(shè)計意圖：學(xué)習(xí)本節(jié)課的基本目的是了解同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算的法則，并運(yùn)用法則進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，但最終目的是用它的思想方法、獲得的經(jīng)驗(yàn)解決更多的問題，達(dá)到經(jīng)驗(yàn)的遷移、能力的提升，從而學(xué)以致用、學(xué)有所用.故小結(jié)思考處，也是延伸處，讓學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題.此處是對整節(jié)課學(xué)習(xí)的一個提升.

三、教學(xué)反思

1.以活動為主線

“鏈條式”課堂教學(xué)，倡導(dǎo)課堂上每個環(huán)節(jié)都緊密相連，層層遞進(jìn)，問題、追問一氣呵成.筆者認(rèn)為“鏈條式”課堂呈現(xiàn)方式最重要的一部分就是以活動為主線，通過多個活動的探索，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、大膽探索，最大幅度地調(diào)動起學(xué)生，從而積極參與課堂教學(xué)的每一個活動.

縱觀本節(jié)課，有1個數(shù)學(xué)背景的情境，2個數(shù)學(xué)內(nèi)部的活動，情境從冪的意義入手，從具體的數(shù)逐漸抽象成字母，從而得出結(jié)論.這部分的設(shè)計一氣呵成，每個環(huán)節(jié)都為下個環(huán)節(jié)做了很好的鋪墊.

課堂上，我們一定要堅信，只有讓學(xué)生主動思考、積極參與，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情才會逐漸高漲，創(chuàng)造力才會逐漸加強(qiáng).所以在本節(jié)課上，每一個活動中筆者都盡可能讓學(xué)生自己去說、去做、去感悟、去歸納，最終概念自然生成，這就是“潤物細(xì)無聲”的境界.

2.以能力為歸宿

“鏈條式”課堂教學(xué)，提倡課堂上

每個環(huán)節(jié)都引發(fā)深思，層層遞進(jìn)，最終一節(jié)課學(xué)有收獲.筆者認(rèn)為“鏈條式”課堂最終目標(biāo)應(yīng)是學(xué)生能力的提高，通過多個問題的探索，引導(dǎo)學(xué)生積極尋找問題中的規(guī)律，最大幅度地讓學(xué)生大膽說出自己的想法，從而對知識有更深層次的理解.

本節(jié)課在同底數(shù)冪的乘法法則得出后，先是簡單的兩個例題，例1四個題目的選擇有一定的必然性，包含了多種類型的同底數(shù)冪的乘法，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的障礙，接著研究生活中的問題，強(qiáng)化學(xué)生對知識的理解及提高解決問題的能力，繼而拓展，在練習(xí)二研究3個同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，第（1）題讓學(xué)生了解到有時候計算時底數(shù)不同，不能用同底數(shù)冪的乘法法則，要想辦法轉(zhuǎn)化，第（2）題讓學(xué)生了解到同底數(shù)冪的乘法法則當(dāng)?shù)讛?shù)為多項(xiàng)式時仍然適用，第（3）題讓學(xué)生了解到計算時有時會出現(xiàn)多個同底數(shù)冪相乘的情況，要想辦法得到更為一般的結(jié)論.層層遞進(jìn)的設(shè)計，難度不斷升級，學(xué)生的理解也逐步深刻，在無形中使學(xué)生對本節(jié)課的理解達(dá)到巔峰.

“鏈條式”課堂，別樣精彩，此法優(yōu)化了教學(xué)的結(jié)構(gòu)，也提高了教學(xué)的質(zhì)量.然則任何模式的背后都有值得思考、改進(jìn)的地方，更需用智慧不斷完善.