基于ARIMAX模型的華南臺風(fēng)直接經(jīng)濟(jì)損失的預(yù)測模型

倪增華

（南寧學(xué)院通識教育學(xué)院，廣西 南寧 530200）

0 引言

臺風(fēng)是一種極端的氣象災(zāi)害，其登陸時的狂風(fēng)暴雨往往會給登陸地區(qū)造成損失。我國是全球受臺風(fēng)影響比較嚴(yán)重的國家之一，特別是華南的沿海區(qū)域，臺風(fēng)登陸頻繁，造成的損失也非常嚴(yán)重。例如2015年第22號臺風(fēng)“彩虹”曾先后登陸廣東、廣西兩地，使779.899萬人受災(zāi)，直接經(jīng)濟(jì)損失高達(dá)288.088 7億元。目前，我國已有一些專家和學(xué)者針對華南臺風(fēng)造成的災(zāi)害開展了分析和研究。例如劉合香等人利用信息擴(kuò)散技術(shù)構(gòu)建了華南極端臺風(fēng)災(zāi)害的風(fēng)險評估體系。王萌等人根據(jù)Copula理論計算了華南臺風(fēng)致災(zāi)因子的重現(xiàn)期，從而評估了臺風(fēng)災(zāi)害的受災(zāi)程度。徐慶娟等人運(yùn)用二維云信息擴(kuò)散及三維云信息擴(kuò)散原理提出了一個估計臺風(fēng)災(zāi)害風(fēng)險的模型。

時間序列分析作為一種動態(tài)預(yù)測方法被廣泛地應(yīng)用于多個領(lǐng)域。其中，ARIMA模型和ARIMAX模型是學(xué)者的研究重點。孫軼軒等人將ARIMA模型與信息粒化的SVR模型綜合起來對道路交通事故的受傷人數(shù)進(jìn)行趨勢預(yù)測。劉珊等人通過建立ARIMA乘積季節(jié)模型對臺風(fēng)的生成頻次進(jìn)行預(yù)測。呂曉麗等人將氣象因素作為輸入變量建立ARIMAX模型，并利用該模型預(yù)測了流行性感冒的流行趨勢。萬萌裕等人基于鋼材價格和焦炭價格的傳導(dǎo)關(guān)系構(gòu)建了ARIMAX模型，以預(yù)測焦炭價格的變化趨勢，從而探究歷史數(shù)據(jù)對該模型預(yù)測精度的影響。結(jié)果表明，ARIMA模型和ARIMAX模型在預(yù)測方面有較好的應(yīng)用。但是，目前還沒有學(xué)者運(yùn)用ARIMAX模型理論將致災(zāi)源和災(zāi)情相結(jié)合來探究登陸臺風(fēng)導(dǎo)致災(zāi)情的案例。而臺風(fēng)災(zāi)情的發(fā)生常常與登陸臺風(fēng)的風(fēng)速、降雨以及登陸時長有很大的關(guān)系，因此該文嘗試將華南登陸臺風(fēng)的登錄時長、登錄時最大風(fēng)速及降雨極值作為輸入變量來構(gòu)建ARIMAX模型，從而探究華南地區(qū)（該文指廣東、廣西以及海南）登陸臺風(fēng)災(zāi)情的直接損失。

1 ARIMAX模型理論

ARIMA模型為時間序列模型中最常用的預(yù)測模型，但該模型只能針對一維時間序列進(jìn)行預(yù)測分析，無法預(yù)測研究實際問題中常見的多維時間序列。因此，BOX GEORGE E P等人于1976年提出了帶有輸入變量的ARIMA模型，也就是動態(tài)回歸模型ARIMAX模型。其建模過程如下：1） 序列平穩(wěn)性檢驗。檢驗響應(yīng)序列{y}和輸入序列{}，{}…{x}（=1，2，…，）（為序列中所含數(shù)據(jù)的個數(shù)；為輸入變量的個數(shù)）的平穩(wěn)性，如果序列平穩(wěn)，就可以開展下一步工作；如果序列非平穩(wěn)，則需要適當(dāng)?shù)貙ο鄳?yīng)序列進(jìn)行差分，直至序列平穩(wěn)。2） 模型識別。對經(jīng)過階差分后的輸入序列{x}建立ARMA（,）模型，如公式（1）所示。其中，模型中的、值可根據(jù)序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)來確定。3） 確定回歸模型結(jié)構(gòu)?？疾祀A差分后的響應(yīng)序列{y}及輸入序列{x}（=1，2，…，）的相關(guān)系數(shù)，確定ARIMAX模型的結(jié)構(gòu)，如公式（2）所示。4）擬合殘差序列{ε}，如公式（3）所示。5） 模型預(yù)測。用構(gòu)建的模型預(yù)測序列未來的趨勢。

式中：為第個輸入序列的延遲階數(shù)；Φ（）為第個輸入序列的移動平均系數(shù)多項式；Ψ（）為第個輸入序列的自回歸系數(shù)多項式；ε為回歸殘差序列；為延遲算子；Φ（）為第個輸入序列的移動平均系數(shù)多項式；Ψ（）為第個輸入序列的自回歸系數(shù)多項式；ε為第個輸入序列的回歸殘差序列；（）為殘差序列的移動平均系數(shù)多項式；（）為殘差序列的自回歸系數(shù)多項式；a為零均值的白噪聲序列。

2 華南臺風(fēng)直接經(jīng)濟(jì)損失預(yù)測模型的構(gòu)建

2.1 數(shù)據(jù)來源

該文研究的登陸華南臺風(fēng)致災(zāi)源數(shù)據(jù)來源于1984—2014年中國熱帶氣旋年鑒以及2015—2016年中國天氣臺風(fēng)網(wǎng)。臺風(fēng)直接經(jīng)濟(jì)損失數(shù)據(jù)來源于1984—1999年中國氣象災(zāi)害大典、2000—2003年廣東省、海南省和廣西氣候中心以及2004—2016年中國熱帶氣旋年鑒。以{y}、{}、{}以及{}分別表示1984—2015年登陸華南臺風(fēng)的48個樣本的直接經(jīng)濟(jì)損失（單位為10億元）、登陸時長（單位為h）、登陸時最大風(fēng)速（單位為m/s）及降雨極值（單位為cm）序列。

2.2 平穩(wěn)性檢驗

1984—2015 年登陸華南三省的臺風(fēng)數(shù)據(jù)序列如圖1（a）所示。根據(jù)圖1（a）可知，這48個臺風(fēng)樣本的直接經(jīng)濟(jì)損失、登錄時長、登錄時最大風(fēng)速及降雨極值序列均呈現(xiàn)不同程度的上升趨勢，因此可以認(rèn)為這4個原始數(shù)據(jù)序列可能是非平穩(wěn)的。對這4個原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行ADF檢驗（表1），結(jié)果顯示其值均大于0.05的顯著水平，因此不能拒絕序列非平穩(wěn)這一原假設(shè)，最終可以判斷4個原數(shù)據(jù)序列是非平穩(wěn)的。為了去除趨勢，對原始數(shù)據(jù)序列均進(jìn)行一階差分，得到新的序列為Δ、Δ、Δ以及Δy，一階差分后的序列如圖1（b）所示。根據(jù)圖1（b）可知，4個差分后的數(shù)據(jù)序列較為平緩，經(jīng)過ADF檢驗發(fā)現(xiàn)，其值均小于0.05。因此，在顯著水平為0.05的情況下，可以拒絕ADF檢驗序列非平穩(wěn)的原假設(shè)，認(rèn)為序列已經(jīng)平穩(wěn)。

圖1 數(shù)據(jù)序列圖

表1 ADF檢驗結(jié)果

2.3 輸入序列建模

對輸入序列Δ、Δ以及Δ建立ARMA模型，根據(jù)R軟件中的auto.arima命令識別各序列的最優(yōu)模型，由此確定輸入序列Δ、Δ以及Δ的模型均為MA（1）模型，具體模型如公式（4）~公式（6）所示。

2.4 確定ARIMAX模型

為了確定ARIMAX模型，分別畫出序列Δy與Δ、Δ以及Δ的互相關(guān)系數(shù)圖（圖2）。根據(jù)圖2可知，Δy與Δ的互相關(guān)系數(shù)在延遲三階時超出臨界值，顯著非零，即這2個序列有三階滯后效應(yīng)。Δy與Δ的互相關(guān)系數(shù)在延遲零階時互相關(guān)系數(shù)最大，超過0.7，說明這2個序列無滯后效應(yīng)。Δy與Δ的互相關(guān)系數(shù)在延遲三階時達(dá)到最大，不妨認(rèn)為這2個序列有三階滯后效應(yīng)。經(jīng)過大量計算和分析可知，ARIMAX模型結(jié)構(gòu)如公式（7）所示。

圖2 與 Δx1k、Δx2k以及 Δx3k的互相關(guān)系數(shù)

運(yùn)用最小二乘估計法對模型進(jìn)行擬合，擬合的ARIMAX回歸模型如公式（8）所示。

對擬合殘差序列進(jìn)行Ljung-Box檢驗，檢驗結(jié)果顯示，當(dāng)序列延遲6期時，檢驗結(jié)果值為0.628 9，而當(dāng)序列延遲12期時，檢驗結(jié)果值為0.521，均大于0.05的顯著水平，這說明殘差序列不能拒絕純隨機(jī)的原假設(shè)，可以認(rèn)為殘差序列為白噪聲序列。同時，還可以說明經(jīng)ARIMAX回歸模型已充分提取信息，擬合效果良好。根據(jù)圖3可知，一階差分后的直接經(jīng)濟(jì)序列部分階段的擬合值和實際值雖有一定的差距，但整體擬合值能夠描述實際值，且對實際值的波動處反映較好，這說明ARIMAX回歸模型能夠很好地反映序列的趨勢。

圖3 一階差分直接經(jīng)濟(jì)損失擬合圖

2.5 模型預(yù)測及模型對比

根據(jù)2016年的2個華南臺風(fēng)的登錄時長、登錄時最大風(fēng)速及降雨極值數(shù)據(jù)，并運(yùn)用擬合的ARIMAX模型對相應(yīng)臺風(fēng)的直接經(jīng)濟(jì)損失進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果見表2。由預(yù)測值與實際值的誤差百分比可見，其值均未超過0.3%。由于臺風(fēng)造成的直接經(jīng)濟(jì)損失不僅受臺風(fēng)本身的影響，還與人類應(yīng)對臺風(fēng)的措施有關(guān)（其值波動較大），因此該模型的預(yù)測值具有一定的參考價值。

表2 直接經(jīng)濟(jì)損失預(yù)測結(jié)果

針對直接經(jīng)濟(jì)損失序列構(gòu)建ARIMA模型，經(jīng)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)其較好的擬合模型為ARIMA（0，1，1）模型，再構(gòu)建其擬合模型，如公式（9）所示。

模型預(yù)測結(jié)果見表3。通過比較ARIMA（0，1，1）模型和ARIMAX模型的擬合效果可知，ARIMAX模型的AIC值以及平均相對誤差值都比ARIMA（0，1，1）模型小很多，說明采用帶有多個輸入序列的ARIMAX模型要比單純考慮序列本身特征的ARIMA模型的預(yù)測效果更好。

表3 模型預(yù)測效果比較

3 結(jié)語

該文根據(jù)ARIMAX模型理論，利用1984—2015年登陸華南臺風(fēng)的直接經(jīng)濟(jì)損失、登陸時長、登陸時最大風(fēng)速及降雨極值數(shù)據(jù)構(gòu)建了ARIMAX模型對2016年的2次臺風(fēng)的直接經(jīng)濟(jì)損失進(jìn)行預(yù)測，并與ARIMA模型進(jìn)行對比對比，結(jié)論如下：1） 利用ARIMAX模型預(yù)測華南臺風(fēng)的直接經(jīng)濟(jì)損失，2組預(yù)測值與實際值的誤差百分比均不超過0.3%，由此可知，ARIMAX模型可以有效地對華南臺風(fēng)的直接經(jīng)濟(jì)損失進(jìn)行預(yù)測。2） 對比ARIMAX模型和ARIMA（0，1，1）模型的預(yù)測效果可知，帶有登錄時長、登陸時最大風(fēng)速及降雨極值這3個輸入變量的ARIMAX模型要比傳統(tǒng)的ARIMA模型的預(yù)測結(jié)果更精確。3） 通過對華南臺風(fēng)的直接經(jīng)濟(jì)損失數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果可知，ARIMAX模型能夠較好地反映序列的趨勢，如果想進(jìn)一步提高預(yù)測精度，可以從序列的非線性方面著手，進(jìn)一步對序列進(jìn)行擬合。