高靈敏度的精確DNA鏈置換邏輯門研究

趙霽巍, 石曉龍

(1.華中科技大學(xué) 人工智能與自動(dòng)化學(xué)院， 湖北 武漢 430074; 2. 廣州大學(xué) 計(jì)算科技研究院， 廣東 廣州 510006)

生物分子計(jì)算是指利用生物分子在分子規(guī)模上執(zhí)行計(jì)算的一系列方法，包括分子計(jì)算[1]、膜計(jì)算[2]、基于細(xì)菌視紫紅質(zhì)的信息存儲(chǔ)等[3-4].近年來可編程的DNA計(jì)算逐漸成為一項(xiàng)熱門研究方向，其中DNA鏈置換技術(shù)是實(shí)現(xiàn)DNA計(jì)算的一種重要手段.DNA鏈置換技術(shù)是一種等溫、無酶的體外DNA擴(kuò)增技術(shù)[5-6]，該技術(shù)對(duì)序列的識(shí)別具有高度的選擇性[7].在DNA納米技術(shù)的幫助下，DNA鏈置換已用于第二代DNA探針系統(tǒng)的基因信號(hào)檢測(cè)[7-11]，并有潛力作為體內(nèi)智能分子系統(tǒng)用于DNA信號(hào)的檢測(cè)和處理.目前，利用DNA鏈置換技術(shù)已經(jīng)開發(fā)出了一些生物分子信號(hào)處理系統(tǒng)，如無酶核酸邏輯電路[12]、遺傳編程和可進(jìn)化分子機(jī)器[13]及可執(zhí)行自動(dòng)聯(lián)想記憶計(jì)算的Hopfield網(wǎng)絡(luò)[14]等.

基于DNA鏈置換設(shè)計(jì)的電路可以分為數(shù)字電路和模擬電路兩種[15-16]，DNA數(shù)字電路的一項(xiàng)重要任務(wù)是構(gòu)建穩(wěn)定且可擴(kuò)展的邏輯門.自Adleman[17]展示DNA計(jì)算以來，很多學(xué)者都獨(dú)立地提出了不同DNA邏輯門的結(jié)構(gòu)和實(shí)驗(yàn)操作[18]，但是這些邏輯門無法組裝成為具有一定規(guī)模的電路系統(tǒng).Seelig等[19]首次提出了基于DNA的大規(guī)模無酶電路，然而依靠支點(diǎn)作為鏈置換媒介的反應(yīng)速度較慢，所以該電路不僅要花費(fèi)數(shù)個(gè)小時(shí)才能完成計(jì)算，還需要引入復(fù)雜的操作阻止泄漏反應(yīng).相比之下，Qian等[20]提出了一種更優(yōu)秀的解決方案，即一種基于支點(diǎn)(Toehold)交換機(jī)制的“蹺蹺板”門結(jié)構(gòu)，這種DNA計(jì)算結(jié)構(gòu)可擴(kuò)展性、模塊化性較好，并且具有較高的魯棒性.在這種結(jié)構(gòu)中，每個(gè)邏輯門被抽象為表示支點(diǎn)交換的一個(gè)蹺蹺板節(jié)點(diǎn).輸入鏈與邏輯門的反應(yīng)在直覺上類似于一個(gè)蹺蹺板，在燃料鏈的作用下，正向反應(yīng)將向蹺蹺板門的一側(cè)移動(dòng)，由此產(chǎn)生輸出鏈.因?yàn)檩斎腈溑c邏輯門的反應(yīng)是可逆反應(yīng)，而輸入鏈與閾值鏈的反應(yīng)是不可逆反應(yīng)，所以輸入鏈更傾向于與閾值鏈結(jié)合，這樣閾值鏈將在輸入鏈與邏輯門反應(yīng)之前吸收期望濃度的輸入鏈.隨后Qian提出了基于蹺蹺板門的邏輯與、邏輯或門，并借助雙軌邏輯表示法實(shí)現(xiàn)了非門，最后通過組合上述邏輯門實(shí)現(xiàn)了具有14個(gè)邏輯門的4位平方根電路.

但是基于蹺蹺板門結(jié)構(gòu)的邏輯門仍存在一些問題：①蹺蹺板門本質(zhì)上是一個(gè)單位階躍函數(shù)，但是蹺蹺板門在閾值附近的敏感度較低，突變較平緩.如文獻(xiàn)[17]中提到的，當(dāng)閾值為0.5，輸入為0.6時(shí)，理想情況下輸出信號(hào)應(yīng)該為1，而實(shí)際上輸出信號(hào)的穩(wěn)態(tài)值只有0.5左右.②因?yàn)檫壿嬮T的輸入信號(hào)在0～0.2時(shí)表示"0"信號(hào)，所以邏輯門無法區(qū)分輸入信號(hào)為"0"和無輸入信號(hào)之間的差別.也正因?yàn)檫@個(gè)原因，基于蹺蹺板門直接構(gòu)造邏輯非門顯得很困難，只能使用雙軌表示方法從邏輯上間接表示非門.針對(duì)上述問題，本文提出了一種靈敏度更高的階躍函數(shù)門，使邏輯門能夠區(qū)分輸入信號(hào)為"0"和無輸入信號(hào)之間的差別，并構(gòu)造了具有較高精度的與、或、非和異或門.

1 階躍函數(shù)門

本文通過“四域”信號(hào)來表示編碼信號(hào)鏈[21]，如圖1所示.四域信號(hào)鏈X由4個(gè)部分組成：歷史域Xh、識(shí)別Xb，以及環(huán)繞識(shí)別域左右的2個(gè)支點(diǎn)域Xa和Xc.歷史域僅用來表明產(chǎn)生該鏈信號(hào)的反應(yīng)，并不作為區(qū)分信號(hào)鏈的標(biāo)識(shí).假設(shè)一個(gè)信號(hào)鏈由多個(gè)反應(yīng)產(chǎn)生，雖然其歷史域可能不同，但只要其識(shí)別域相同，就認(rèn)為這些鏈屬于同一種鏈信號(hào).只要信號(hào)鏈完全處于單鏈狀態(tài)，就將其視作激活態(tài).階躍函數(shù)門由兩個(gè)模塊組成：信號(hào)階躍模塊和閾值限制模塊.這兩個(gè)模塊都以輸入鏈X作為啟動(dòng)信號(hào)，通過控制輸入鏈X與兩個(gè)模塊之間的反應(yīng)速率，使信號(hào)階躍模塊滯后于閾值限制模塊而與輸入鏈X發(fā)生反應(yīng).只有當(dāng)輸入鏈超過規(guī)定閾值以后，才會(huì)經(jīng)信號(hào)階躍模塊產(chǎn)生階躍輸出信號(hào).

圖1 四域信號(hào)鏈的表示
Fig.1 Representation of four-domain signal strand

1.1 階躍信號(hào)模塊

在討論階躍信號(hào)模塊時(shí)，暫時(shí)不考慮閾值限制模塊，只考慮閾值為0的情況.定義任意信號(hào)鏈X的初始濃度為[X]0，邏輯門釋放的信號(hào)鏈X的穩(wěn)態(tài)濃度為[X]∞.

(1)

閾值為0的階躍函數(shù)方程定義為

(2)

其中,X信號(hào)鏈作為輸入信號(hào)決定了階躍信號(hào)的有無，G信號(hào)鏈作為增益信號(hào)決定了階躍信號(hào)的增益幅值，也就是說，輸出信號(hào)鏈的穩(wěn)態(tài)濃度[Y]∞完全由增益信號(hào)鏈的初始濃度[G]0和輸入信號(hào)鏈[X]0決定.只要輸入信號(hào)鏈X的初始濃度大于0，輸入信號(hào)鏈Y的穩(wěn)態(tài)濃度就是[G]0.

階躍信號(hào)模塊通過4個(gè)反應(yīng)完成.其中X是輸入信號(hào)鏈，G是增益信號(hào)鏈，S1、S2和S3是階躍信號(hào)模塊的輔助DNA鏈，I1、I2和B均為中間產(chǎn)物，?代表無信號(hào)鏈產(chǎn)出.

S1+G?I1+B

(3a)

S2+B→?

(3b)

X+I1→I2

(3c)

S3+I2→X+Y

(3d)

階躍信號(hào)模塊的反應(yīng)方程如圖2所示.

圖2 階躍信號(hào)模塊反應(yīng)方程Fig.2 Equations of step signal module reaction

圖2中輔助鏈S1與增益信號(hào)鏈G通過可逆的鏈置換反應(yīng)產(chǎn)生中間產(chǎn)物I1和B.為了使反應(yīng)3a的正向反應(yīng)向右移動(dòng)，等效的成為不可逆反應(yīng)，反應(yīng)3b中S2將不可逆地消耗反應(yīng)3a產(chǎn)生的中間產(chǎn)物B.隨后，反應(yīng)物X通過結(jié)合I1暴露的支點(diǎn)域Xa不可逆地置換出中間反應(yīng)鏈I2.最后，中間反應(yīng)鏈I2通過與S3的支點(diǎn)域 Xc置換出產(chǎn)物Y.由于反應(yīng)3d的產(chǎn)物中仍存在X，所以反應(yīng)過程中X的濃度不會(huì)發(fā)生變化，理論上只要存在X，就能不斷地催化產(chǎn)出Y，直到所有的G消耗殆盡，無法通過反應(yīng)3a產(chǎn)生中間產(chǎn)物I1為止.為了加快反應(yīng)速度，S1、S2和S3的濃度應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于反應(yīng)物X.

1.2 閾值限制模塊

閾值限制模塊的反應(yīng)方程如圖3所示.考慮閾值大于0的情況，需要設(shè)置一個(gè)閾值鏈T.類似蹺蹺板門那樣，在閾值鏈存在的情況下會(huì)發(fā)生反應(yīng)T+X→?，這種反應(yīng)也被稱為湮滅反應(yīng)[22].

圖3 閾值限制模塊反應(yīng)方程Fig.3 Equations of threshold limit module reaction

參與湮滅反應(yīng)的信號(hào)鏈本身不會(huì)直接發(fā)生反應(yīng)，同樣需要輔助DNA鏈A1和A2間接激發(fā)反應(yīng).湮滅反應(yīng)的反應(yīng)方程如下：

A1+T?I1+B

(4a)

A2+B→?

(4b)

X+I1→?

(4c)

實(shí)際上，湮滅反應(yīng)的方法并不唯一，類似的方法如Soloveichik 提出的雙分子反應(yīng)[21]，湮滅反應(yīng)的信號(hào)鏈并不一定是四域信號(hào)鏈，Yordanov等[22]和Lakin等[23]就分別提出了兩域信號(hào)和三域信號(hào)的湮滅反應(yīng).同時(shí)Soloveichik還提出部分支點(diǎn)鏈置換比率常數(shù)的概念[21]，Yordanov將其進(jìn)一步明確為“互補(bǔ)度”，并在Visual DSD仿真中拓展了相關(guān)功能[22].實(shí)驗(yàn)測(cè)量的鏈置換結(jié)合比率在10-7nM-1S-1～10-3nM-1S-1的范圍內(nèi)浮動(dòng)[24].假設(shè)完全體支點(diǎn)域x*以最大速率qmax置換產(chǎn)物，互補(bǔ)度為c的部分支點(diǎn)域記為x*c，其中c是大于0小于1的常數(shù).在實(shí)驗(yàn)設(shè)置中，改變互補(bǔ)度會(huì)改變兩個(gè)互補(bǔ)的支點(diǎn)域的結(jié)合率.由于DNA序列與雜交反應(yīng)動(dòng)力學(xué)之間的確切關(guān)系尚不明確，所以互補(bǔ)度被建模為速率qmax的修飾因子.也就是說，如果c=1，那么該支點(diǎn)域?yàn)橥耆c(diǎn)域，鏈置換將以最大速率qmax置換產(chǎn)物；如果c<1，那么支點(diǎn)域?yàn)椴糠种c(diǎn)域，反應(yīng)將以較小速率qmax*c進(jìn)行.

比較兩組滿意程度；維持性血液透析配合程度、心理自我調(diào)節(jié)能力；護(hù)理前后心理健康指標(biāo)漢密爾頓相關(guān)指數(shù)；維持性血液透析過程不良事件。

在蹺蹺板門的結(jié)構(gòu)中，輸入鏈與邏輯門的反應(yīng)是可逆鏈置換反應(yīng)，與閾值鏈的反應(yīng)是不可逆鏈置換反應(yīng)，它們利用不可逆反應(yīng)的速率較高、輸入鏈更傾向于和閾值鏈結(jié)合的特性，在輸入鏈與邏輯門發(fā)生反應(yīng)前消耗期望數(shù)量的輸入鏈，以此達(dá)到設(shè)定階躍函數(shù)突變點(diǎn)的目的.事實(shí)上，筆者也可以利用完全支點(diǎn)域的反應(yīng)速率大于部分支點(diǎn)域的反應(yīng)速率這一特性達(dá)到同樣的目的.在閾值等于0的階躍函數(shù)中，輸入鏈X通過與中間鏈I2的完全支點(diǎn)域結(jié)合，置換出輸出鏈Y，而在閾值大于0的情況下，輸入鏈X則通過完全支點(diǎn)域與閾值信號(hào)鏈T反應(yīng)，通過部分支點(diǎn)域置換出輸出鏈Y.

圖4展示了完整的階躍函數(shù)門反應(yīng)方程.通過支點(diǎn)互補(bǔ)度控制輸入鏈X與兩個(gè)模塊之間的反應(yīng)速率.輸入鏈X作為反應(yīng)的啟動(dòng)信號(hào)，輸入鏈X首先和閾值限制模塊反應(yīng)，如果初始濃度高于閾值鏈濃度，才會(huì)和信號(hào)階躍模塊反應(yīng)，催化地釋放期望濃度的輸出鏈.此外，S1、S2和S3的濃度應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于反應(yīng)物X.

1.3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本文利用Visual DSD[25-26](該軟件可用在域級(jí)別可視化DNA鏈置換過程，常用于設(shè)計(jì)DNA分子計(jì)算器件)作為工具建立四域DNA信號(hào)的鏈置換反應(yīng)模型，模擬了階躍信號(hào)門電路，同時(shí)也模擬了蹺蹺板門電路作為對(duì)照.兩組實(shí)驗(yàn)的單位濃度均為1×10-7nM，輸入鏈濃度從0.1遞增至1.0，步長為0.1，支點(diǎn)域長度為6，非支點(diǎn)域長度為20.其中蹺蹺板門電路信號(hào)鏈的閾值鏈、輸出門信號(hào)鏈和燃料鏈分別為0.5×，1×，2×，支點(diǎn)正相結(jié)合速率為0.002 nM-1s-1，逆向結(jié)合速率為1.3 s-1，階躍信號(hào)門的支點(diǎn)互補(bǔ)度為0.003，閾值鏈濃度為0.5×，增益鏈濃度為1×，所以過量的輔助DNA鏈濃度均為100×.

圖4 階躍函數(shù)門的反應(yīng)方程Fig.4 Equations of step function gate

圖5和圖6分別表示蹺蹺板門和階躍函數(shù)門輸出隨時(shí)間的變化曲線.輸入鏈濃度小于閾值的曲線均用虛線表示，大于閾值的曲線均用實(shí)線表示.

圖5 蹺蹺板門輸出隨時(shí)間的變化曲線Fig.5 Time curve of seesaw gate output

圖6 階躍函數(shù)門輸出隨時(shí)間的變化曲線Fig.6 Time curve of step function gate output

蹺蹺板門的輸出信號(hào)在0～0.3的范圍內(nèi)被認(rèn)為是低位信號(hào)，在0.7～1.0的范圍內(nèi)被認(rèn)為是高位信號(hào).在蹺蹺板門的輸入信號(hào)處于0.1～0.4的區(qū)間時(shí)，輸出經(jīng)較快的時(shí)間達(dá)到穩(wěn)態(tài)，在輸入信號(hào)等于閾值0.5時(shí)，雖然輸出有較大程度的上升，但并未達(dá)到高位信號(hào)的水平.當(dāng)輸入信號(hào)超過閾值濃度，輸出信號(hào)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間逐漸縮短，穩(wěn)態(tài)濃度逐漸提高.

這一情況與階躍信號(hào)門的情況類似，其原因在于反應(yīng)過程中兩組實(shí)驗(yàn)的反應(yīng)速率相對(duì)穩(wěn)定，經(jīng)過閾值限制模塊消耗以后，如果反應(yīng)濃度較低，也就是說當(dāng)輸入鏈濃度距離閾值鏈濃度的差值較小(如輸入鏈濃度為0.6)時(shí)，那么輸出鏈濃度達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間較長.可以看到雖然濃度差對(duì)階躍函數(shù)門的反應(yīng)時(shí)間較蹺蹺板門更為顯著，但是一方面達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，階躍函數(shù)門能較精確的穩(wěn)定在1×的濃度水平，增益可控且相對(duì)穩(wěn)定，另一方面基于階躍函數(shù)門構(gòu)建的邏輯門能利用低位/高位信號(hào)相對(duì)穩(wěn)定的特點(diǎn)，避免信號(hào)處于閾值附近，規(guī)避反應(yīng)時(shí)間較長的信號(hào)區(qū)間，提高邏輯門的反應(yīng)時(shí)間.

圖7和圖8表示蹺蹺板門和階躍函數(shù)門輸出隨輸入的變化曲線.觀察蹺蹺板門的模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：①在蹺蹺板門的輸入鏈濃度處于0.1～0.4的范圍內(nèi)，雖然其輸出信號(hào)處于相對(duì)較低的水平，但其輸出信號(hào)隨輸入信號(hào)的增加仍有小幅度增長，造成基于蹺蹺板門的邏輯門低位信號(hào)的浮動(dòng)范圍較大；②在閾值附近雖然函數(shù)值發(fā)生突變，但梯度較低，突變較平緩；③在超過閾值以后，蹺蹺板門的穩(wěn)態(tài)輸出不能穩(wěn)定在某個(gè)期望的值以內(nèi)，仍隨輸入信號(hào)的增加而增加.

圖7 蹺蹺板門穩(wěn)態(tài)輸出隨輸入的變化曲線Fig.7 Steady-state output with input of seesaw gate

圖8 階躍函數(shù)門穩(wěn)態(tài)輸出隨輸入的變化曲線Fig.8 Steady-state output with input of step function gate

本文提出的階躍函數(shù)門基于支點(diǎn)互補(bǔ)度不同控制反應(yīng)的先后順序，首先降低了閾值左側(cè)輸出鏈的浮動(dòng)范圍，輸出濃度近似為0，其次，相比蹺蹺板門提高了閾值附近的突變梯度，最后，由于在信號(hào)階躍模塊添加了增益信號(hào)鏈，能夠較為精確地控制階躍信號(hào)的幅值，使最終構(gòu)成的階躍信號(hào)門更趨近理想函數(shù)狀態(tài).表1和表2列出了蹺蹺板門和階躍函數(shù)門在輸入小于等于閾值和輸入大于等于閾值時(shí)的穩(wěn)態(tài)輸出.在輸入小于等于閾值時(shí)，蹺蹺板門的平均穩(wěn)態(tài)輸出是0.081 6，方差是0.010 4，階躍函數(shù)門的平均穩(wěn)態(tài)輸出是0.007 4，方差是1.256×10-4，其均值降低了91.3%，方差下降了98.79%；在輸入大于等于閾值時(shí)，蹺蹺板門的平均穩(wěn)態(tài)輸出是0.696 4，方差是2.124×10-4，階躍函數(shù)門的平均穩(wěn)態(tài)輸出是0.999 5，方差是1.214×10-6，其均值提高了30.33%，方差降低了99.43%，顯著提高了邏輯門的運(yùn)算精度.

表1 輸入小于等于閾值時(shí)的穩(wěn)態(tài)輸出

Table 1 Steady-state outpout when input is less than threshold

輸 入 0.10.20.30.40.5蹺蹺板門0.010 50.023 80.042 00.071 80.2597階躍函數(shù)門0.001 50.002 70.004 80.027 3

表2 輸入大于等于閾值時(shí)的穩(wěn)態(tài)輸出

Table 2 Steady-state outpout when input is greater than threshold

輸 入 0.60.70.80.91.0蹺蹺板門0.677 40.687 50.697 00.705 90.714 3階躍函數(shù)門0.997 51.000 01.000 01.000 01.000 0

2 邏輯與門、或門、非門和異或門

將形如X1→Y1+Y2的反應(yīng)稱為單分子反應(yīng)[21]，反應(yīng)的方程如下：

U1+X→I

(5a)

U2+I→Y1+Y2

(5b)

單分子反應(yīng)的反應(yīng)方程如圖9所示.在輔助反應(yīng)鏈U1和U2存在的情況下，X將首先和U1不可逆的置換出中間鏈I，隨后I和U2反應(yīng)置換出Y1和Y2.由于這兩個(gè)反應(yīng)都是不可逆反應(yīng)，實(shí)際上單分子反應(yīng)可以簡化為

X+U1+U2→Y1+Y2

(5c)

圖9 單分子反應(yīng)的反應(yīng)方程
Fig.9 Equations of unimolecular reaction

2.1 與門和或門

構(gòu)建與門和或門的流程十分類似.如圖10所示，首先通過單分子反應(yīng)X1→T1+T2和X2→T1+T2將輸入鏈X1和X2都轉(zhuǎn)化為T1和T2.一旦產(chǎn)生T1信號(hào)鏈，說明邏輯門接收到輸入信號(hào)，T1信號(hào)鏈隨即通過閾值為0、增益為0.1的階躍信號(hào)門產(chǎn)生0.1濃度的輸出信號(hào)鏈Y；在構(gòu)建與門的結(jié)構(gòu)中，Y2信號(hào)鏈經(jīng)過閾值為1.2、增益為0.8的階躍信號(hào)門，只有當(dāng)信號(hào)鏈X1和X2均為邏輯”1”，即T2信號(hào)鏈濃度可達(dá)1.8大于閾值時(shí)，產(chǎn)生出0.8濃度的輸出信號(hào)Y，這樣輸出信號(hào)Y的總濃度將是0.9，表示達(dá)到高位信號(hào).

圖10 邏輯與門和或門的反應(yīng)流程圖Fig.10 Reactions flowchart of AND and OR gate

構(gòu)建邏輯或門的原理相同，只需要將閾值減少到0.4即可.

2.2 非門

傳統(tǒng)的邏輯門通常使用輸入DNA信號(hào)鏈的存在與否表示邏輯門輸入為1或0狀態(tài)，如基于蹺蹺板門的邏輯門，它將輸入DNA鏈濃度在0～0.3的范圍內(nèi)視作輸入為邏輯0狀態(tài)，在0.7～1.0的范圍內(nèi)視為邏輯1狀態(tài)，這會(huì)導(dǎo)致在缺失輸入信號(hào)鏈時(shí)，非門錯(cuò)誤地認(rèn)為此時(shí)輸入信號(hào)是0，從而輸出保持在邏輯1的狀態(tài)，這就使得直接構(gòu)建非門比較困難，通常采用雙軌邏輯表示法間接表示.

表3 使用雙軌邏輯的或非門真值表

雙軌邏輯的不足在于它無法直接表示非門，即便可以間接表示，完成邏輯操作所需的邏輯門數(shù)量也會(huì)翻倍.而本文提出的邏輯門以信號(hào)鏈濃度0.1為低位信號(hào)，以濃度0.9為高位信號(hào)，不以信號(hào)鏈的有無區(qū)分邏輯1和邏輯0，能夠區(qū)分“低位信號(hào)”與“無輸入信號(hào)”的區(qū)別，因此，無需使用雙軌邏輯間接表示邏輯非，可以直接構(gòu)建非門.

如圖11展示了使用階躍函數(shù)門構(gòu)建的非門的反應(yīng)流程圖.首先輸入鏈X經(jīng)單分子反應(yīng)X→T1+T2，當(dāng)輸入鏈為低位信號(hào)，即輸入濃度為0.1時(shí)，輸出鏈濃度僅由與T1相關(guān)的閾值為0、增益為0.9的階躍信號(hào)門決定；當(dāng)輸入鏈為高位信號(hào)，即輸入濃度為0.9時(shí)，單分子反應(yīng)產(chǎn)生的T2鏈濃度大于其相關(guān)階躍函數(shù)門的閾值鏈濃度0.4，將產(chǎn)生0.8濃度的Y′信號(hào)鏈.最后通過湮滅反應(yīng)輔助鏈的存在，Y和Y′將成對(duì)湮滅，最終只剩0.1濃度的輸出鏈Y，回到低位信號(hào).

圖11 邏輯非門的反應(yīng)流程圖Fig.11 Reactions flowchart of NOT gate

2.3 異或門

通常來說異或門可以通過組合與或非這三種邏輯門得到，這里提出一種直接構(gòu)建異或邏輯的辦法，可以減少相關(guān)邏輯門的數(shù)量.

如圖12所示，輸入鏈X1和X2經(jīng)單分子反應(yīng)X1→T1+T2+T3 和 X2→T1+T2+T3，產(chǎn)生信號(hào)檢測(cè)鏈T1,、T2和T3.當(dāng)X1和X2均為低位信號(hào)時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生0.2濃度的T1、T2和T3，由于T2信號(hào)鏈和T3信號(hào)鏈的濃度均為超過各自階躍函數(shù)門的閾值，輸出鏈Y僅通過與T1相關(guān)的閾值為0的階躍函數(shù)門產(chǎn)生，最終的穩(wěn)態(tài)濃度為0.1，表示低位信號(hào)；當(dāng)X1或X2中有一個(gè)低位信號(hào)和一個(gè)高位信號(hào)時(shí)，T1、T2和T3的濃度將為 0.1+0.9=1.0，其中T3的濃度為超過其階躍函數(shù)門的閾值，而T2的濃度已經(jīng)超過階躍函數(shù)門的閾值0.4， 這樣T2相關(guān)階躍函數(shù)門會(huì)被激活，產(chǎn)生0.8濃度的Y，和T1檢測(cè)鏈產(chǎn)生的0.1濃度的輸出鏈Y相加后，輸出信號(hào)鏈Y的穩(wěn)態(tài)濃度最終穩(wěn)定在0.9，表示高位信號(hào)；當(dāng)X1和X2均為高位信號(hào)時(shí)，T1、T2和T3的濃度為 0.9+0.9=1.8，除了T1和T2的階躍函數(shù)門外，T3相關(guān)階躍函數(shù)門也被激活，此時(shí)產(chǎn)生的不是輸出信號(hào)鏈Y，而是0.8個(gè)相對(duì)濃度的Y的湮滅信號(hào)鏈Y′.在過量湮滅輔助鏈存在的情況下，會(huì)發(fā)生湮滅反應(yīng) Y+Y′→?，從而減少0.8濃度的輸出鏈Y，使輸出鏈Y的濃度降到0.1，表示低位信號(hào).

圖12 邏輯異或門的反應(yīng)流程圖Fig.12 Reactions flowchart of XOR gate

2.4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

和階躍函數(shù)門類似，同樣使用Visual DSD仿真邏輯與、或、非和異或門的實(shí)驗(yàn)過程.仿真結(jié)果如圖13所示.仿真實(shí)驗(yàn)的支點(diǎn)正相結(jié)合速率為1.3 s-1，階躍信號(hào)門的支點(diǎn)互補(bǔ)度為0.003，除了非門外，每個(gè)邏輯門都有3組輸入信號(hào)"00"、 "01"和"11"，分別表示輸入均為低位信號(hào)、一個(gè)輸入為低位信號(hào)而另一個(gè)輸入為高位信號(hào)和輸入均為高位信號(hào)的情況.

在邏輯與門中，當(dāng)輸入為"00"和"01"時(shí)輸出鏈濃度為0.1，表示輸出信號(hào)為低位信號(hào)；當(dāng)輸入為"11"時(shí)，階躍函數(shù)門釋放的信號(hào)檢測(cè)鏈T2濃度將大于閾值1.2，輸出鏈濃度最終穩(wěn)定在0.9，表示高位信號(hào).

在邏輯或門中，當(dāng)輸入為"00"時(shí)，輸出鏈濃度為0.1，當(dāng)輸入為"01"和"11"時(shí)，輸出鏈濃度為0.9.輸入信號(hào)為"01"時(shí)雖然達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間較輸入信號(hào)為"11"時(shí)長一些，但其穩(wěn)態(tài)值與輸入為"11"時(shí)相同.

圖13 邏輯與門、或門、非門和異或門實(shí)驗(yàn)結(jié)果
Fig.13 Simulation results of AND, OR, NOT and XOR gate

在邏輯非門中，輸入為"0"時(shí)，輸出鏈濃度穩(wěn)定于0.9，輸入為"1"時(shí)，輸出鏈濃度先快速增加到0.9，在后續(xù)湮滅反應(yīng)的作用下，其濃度逐漸減少至0.1，回到低位信號(hào)的水平.

在邏輯異或門中，輸入為"00"和"11"時(shí)，輸出鏈的穩(wěn)態(tài)濃度均為0.1，輸入為"01"時(shí)，輸出鏈的穩(wěn)態(tài)濃度為0.9.注意到當(dāng)輸入為"11"時(shí)，輸出鏈濃度首先增長至0.3左右，然后持續(xù)下降直到0.1，異或門在閾值為0.4和1.2的兩個(gè)階躍函數(shù)模塊共同作用下，形成了輸出鏈濃度先上升后下降的情形.

3 結(jié) 語

本文基于DNA鏈置換反應(yīng)，以四域信號(hào)鏈作為統(tǒng)一的DNA編碼形式，通過湮滅反應(yīng)設(shè)定閾值信號(hào)，通過支點(diǎn)互補(bǔ)程度控制反應(yīng)順序，構(gòu)建了具有較高精度的階躍函數(shù)門.Visual DSD的仿真結(jié)果表明，在輸入小于等于閾值時(shí)，階躍函數(shù)門的平均穩(wěn)態(tài)輸出為0.007 4，方差為1.256×10-4，相比蹺蹺板門均值降低了91.3%，方差降低了98.79%；在輸入小于等于閾值時(shí)的平均穩(wěn)態(tài)輸出為0.999 5，方差為1.214×10-6，均值提高了30.33%，方差降低了99.43%.基于階躍函數(shù)門構(gòu)建的邏輯門不再以信號(hào)鏈的有無作為區(qū)分邏輯1和邏輯0的標(biāo)準(zhǔn)，而能夠根據(jù)信號(hào)鏈濃度的高低，將相對(duì)濃度0.1視作邏輯0，相對(duì)濃度0.9視作邏輯1，相對(duì)濃度0視作無輸入信號(hào)，這就解決了傳統(tǒng)邏輯非門難以區(qū)分“無輸入信號(hào)”和“輸入信號(hào)為0”的問題，進(jìn)而無需使用雙軌邏輯間接表示邏輯非，使得直接構(gòu)建邏輯非門成為可能.階躍函數(shù)門不僅提高了閾值附近的突變梯度，而且提高了輸出鏈濃度的可控性和穩(wěn)定性.基于階躍函數(shù)門可以實(shí)現(xiàn)其他邏輯門或其他函數(shù)，如同或門、三態(tài)門、分段函數(shù)、感知機(jī)等，或進(jìn)一步構(gòu)建可編程的分子識(shí)別系統(tǒng).