時(shí)?空欠采樣下多個(gè)信號(hào)的頻率和DOA 聯(lián)合估計(jì)

郜麗鵬，李佳林

哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001

隨著電子戰(zhàn)技術(shù)的日益發(fā)展，電磁環(huán)境也變得越發(fā)復(fù)雜，針對(duì)多信號(hào)的多參數(shù)估計(jì)是雷達(dá)、聲吶、電子戰(zhàn)等領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，能夠快速、準(zhǔn)確地偵察檢測多個(gè)雷達(dá)信號(hào)的頻率、方向信息，對(duì)于電子對(duì)抗、雷達(dá)干擾技術(shù)而言至關(guān)重要[1?2]。在經(jīng)典的空間譜估計(jì)算法MUSIC和ESPRIT的基礎(chǔ)上提出的改進(jìn)算法可以完成對(duì)多個(gè)信號(hào)的頻率和DOA聯(lián)合估計(jì)及配對(duì)[3?4]，但是這些算法的運(yùn)算量都較大，且均需要滿足信號(hào)在時(shí)域和空域上的理論前提。時(shí)域方面，香農(nóng)采樣定理表明，奈奎斯特采樣率是被采樣信號(hào)的最大頻率的2倍，比如為了適應(yīng)電子戰(zhàn)2~18GHz的工作頻段，需要的采樣頻率會(huì)很高，必須相應(yīng)地增加模數(shù)轉(zhuǎn)換器（analog-to-digital converter，ADC）的硬件成本和整體結(jié)構(gòu)的功耗，甚至在某些特定情況下是不可實(shí)現(xiàn)的。同樣，在空域方面若要適應(yīng)電子戰(zhàn)的工作頻段，為滿足相鄰陣元的間距不得大于信號(hào)波長的二分之一的采樣定理，需要密集的安裝陣元天線，這樣會(huì)帶來相鄰陣元間的互耦和硬件安裝困難等問題，進(jìn)而影響測向精度。因此，亟需尋求一種在時(shí)?空域欠采樣條件下，能夠?qū)Χ嘈盘?hào)多參數(shù)（頻率、DOA）聯(lián)合估計(jì)的新方法。

文獻(xiàn)[5?6]提出了一種基于閉式中國余數(shù)定理（CRT）的頻率、DOA聯(lián)合估計(jì)方法，建立了基于閉式CRT的頻率和DOA估計(jì)的模型，利用不同速率ADC采樣樣本（離散傅里葉變換，Discrete Fourier Transform）變換后搜索的譜峰位置構(gòu)建余數(shù)完成頻率估計(jì)，通過譜峰位置求得信號(hào)到達(dá)每個(gè)陣元的初相位及其相位差構(gòu)建余數(shù)完成DOA估計(jì)，實(shí)現(xiàn)了高精度的聯(lián)合估計(jì)。但該算法是針對(duì)單目標(biāo)信號(hào)的參數(shù)估計(jì)，限制了其應(yīng)用場合。文獻(xiàn)[7]在閉式CRT的頻率和DOA估計(jì)模型的基礎(chǔ)上，提出了針對(duì)多目標(biāo)信號(hào)的參數(shù)估計(jì)，利用信號(hào)的幅度不一致的信息，在多個(gè)信號(hào)經(jīng)不同速率ADC采樣樣本DFT變換后得到的多個(gè)譜峰中，尋找屬于同一信號(hào)的一組譜峰以構(gòu)建頻率余數(shù)和相位余數(shù)完成多個(gè)信號(hào)的頻率和DOA聯(lián)合估計(jì)，但該方法在有2個(gè)及2個(gè)以上信號(hào)的幅度一致的條件下會(huì)失效。文獻(xiàn)[8]提出了一種能夠重構(gòu)多個(gè)整數(shù)的中國余數(shù)定理，并且將其應(yīng)用在窄帶信號(hào)的頻率估計(jì)上，但其未考慮當(dāng)信噪比較低時(shí)或樣本數(shù)較少時(shí)譜峰位置估計(jì)不準(zhǔn)確的問題，導(dǎo)致其測頻精度的降低。

本文建立了一種基于重構(gòu)多個(gè)整數(shù)的CRT算法和AM估計(jì)器的多信號(hào)的頻率、DOA參數(shù)聯(lián)合估計(jì)模型，利用多整數(shù)估計(jì)的CRT算法對(duì)稀疏線陣欠采樣后的少量樣本做DFT、譜峰校正，余數(shù)構(gòu)建等，完成多個(gè)信號(hào)的頻率估計(jì)，并根據(jù)估計(jì)完成的頻率值和已經(jīng)構(gòu)建的余數(shù)信息在多組相位差中確定每個(gè)信號(hào)對(duì)應(yīng)的一組相位差，完成頻率和相位差的參數(shù)配對(duì)，進(jìn)一步使用閉式CRT算法魯棒地估計(jì)出多個(gè)信號(hào)的DOA值。本文算法只需對(duì)各個(gè)陣元接收到的多個(gè)信號(hào)做一次并行欠采樣，并且譜校正后得到的譜峰信息可同時(shí)用于頻率估計(jì)和DOA估計(jì)，滿足目前復(fù)雜電磁環(huán)境下需要快速參數(shù)估計(jì)的需求。仿真結(jié)果證明了本文算法的高精度和低信噪比下的頑健性。

1 重構(gòu)多個(gè)整數(shù)的頑健CRT算法

模數(shù) {m1=ΓM1,m2=ΓM2,···,ms=ΓMs}由 s個(gè)整數(shù)構(gòu)成，其中 M1,M2,···,Ms互素。假設(shè) n個(gè) 整數(shù)X1,X2,···,Xn均勻分布在( L,G]內(nèi) ，其中G

1.1 余數(shù)誤差情況下的頑健重構(gòu)算法

首先考慮只有一個(gè)帶重構(gòu)整數(shù)的情況，先前許 多 CRT算 法[9?11]的 理 論 前 提 為|r?il?ril|=然而在實(shí)際應(yīng)用中，有可能會(huì)發(fā)生的 情 況 ， 這 會(huì) 導(dǎo) 致進(jìn)一步使得CRT算法失效。文獻(xiàn)[12]給出了這種問題的解決方法，其主要思想是將每個(gè)模數(shù)中的誤差 ?il調(diào)整為一致。首先根據(jù) ml=ΓMl，可以得到：

式中 β為整數(shù)，因此

可以發(fā)現(xiàn)，只要重構(gòu)出 Q就可以求得待重構(gòu)的整數(shù) X。接下來將重點(diǎn)放在如何魯棒、頑健地重 構(gòu) 整 數(shù) Q 上 。分 別用 a和 b表 示集 合最小和最大的元素。接下來分以下幾種情況進(jìn)行討論：

1.2 重構(gòu)多個(gè)整數(shù)的算法

對(duì)于多個(gè)整數(shù)的情況，為了方便討論，假設(shè)待重構(gòu)整數(shù)的集合 {Xi}(i=1,2,···,n)和模數(shù)的集合{ml|l=1,2,···,s}都 是以升序排列的，會(huì)得到 n×s個(gè)余數(shù) {ri,l}，如文獻(xiàn)[13]所提到的，2個(gè)及2個(gè)以上的整數(shù)重構(gòu)的難點(diǎn)是整數(shù)和余之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是未知的，即由每個(gè)模數(shù)得到的 n個(gè) 余數(shù)與 n個(gè)整數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是未知的，所以無法使用CRT算法進(jìn)行重構(gòu)。

對(duì)于這種問題，首先概述主要的算法思想。由于最大的模值 ms>d+2δ，所以可以在區(qū)間[X1? δ,Xn+δ]找 到 X ，并且通過余數(shù)集 r?is和 ?X?ms正確地估計(jì) {Xi?X}的值。因∑此，選擇估計(jì)待重構(gòu)整數(shù)集的平均值 ˉ，即X同樣地，在整數(shù)集與余數(shù)集對(duì)應(yīng)關(guān)系未知的前提下，可以得到每個(gè)整 數(shù) 模 除 以 同 一 模 值 的 余 數(shù) 的 和并通過 r?和上述的CRT算法頑健的重l構(gòu)整數(shù)集的和為了頑健地重構(gòu)需要假設(shè) M并且屬于同一模值的余數(shù)誤差的總和需要滿足

接下來就是如何通過 X?ˉ 和 r?is頑健地重構(gòu)各個(gè)整數(shù) Xi。由于考慮到若有3個(gè)整數(shù)A、 B 和 m， 如果 |A?B|

引理 對(duì)于任意的 f∈R ， 在區(qū)間 [f,f+ms)內(nèi)至多 有 n個(gè) 元 素 κp,κp+1,···,κp+n?1， 其 中p∈{1,2,···,h?n+1}。

關(guān)于引理的證明見文獻(xiàn)[8]。

2 欠采樣的頻率估計(jì)方法

首先給出系統(tǒng)模型，如圖1所示，由 s(s>2)個(gè)陣元天線組成非均勻線陣，假設(shè)有 m個(gè)同時(shí)到達(dá)的遠(yuǎn)場信號(hào)，不失一般性，將其表示為單頻復(fù)指數(shù)形式：

式中： Ai和 fi分別為各個(gè)信號(hào)的幅度和頻率；φi為信號(hào)的初相位； i=1,2,···,m。假設(shè)各個(gè)信號(hào)的頻率fi都不相同，由于噪聲和陣列陣元的間距，第l個(gè)陣元接收到的信號(hào)為：

式中： φil為 第i個(gè) 信號(hào)到達(dá)第l個(gè)陣元的初相位；ζl(t)為 高 斯 白 噪 聲 ； l=1,2,···,s。 從任 一 時(shí)刻 開始，s個(gè)陣元分別以 fs1～ fss的采樣速率對(duì)同時(shí)到達(dá)的 m個(gè) 信號(hào)進(jìn)行欠采樣，并且得到了 s路樣本，假設(shè)每路的樣本數(shù)為 N ，則第l個(gè)陣元得到的樣本序列為：

圖1 稀疏陣列模型

對(duì) s路欠采樣樣本序列做DFT，并進(jìn)行譜峰搜索，得到譜峰位置 kil，則各個(gè)信號(hào)的頻率 fi可表示為：

式中： nil為 模糊倍數(shù)； δil為頻偏小數(shù)，且 |δil|?0.5，也是影響測頻精度的重要因素，δil可由AM估計(jì)器進(jìn)行校正，進(jìn)而得到更精確的余數(shù)；i=1,2,···,M;l=1,2,···,s?？蓪⑹剑?）轉(zhuǎn)變?yōu)橹袊鄶?shù)定理模型

式中：待測的信號(hào)頻率 fi對(duì)應(yīng)CRT中的被除數(shù) Xi；采樣頻率 fsl對(duì) 應(yīng)CRT中的模數(shù) ml=ΓMl，Γ為最大公約數(shù)， Ml為互素的整數(shù)；i =1,2,···,M ；l =1,2,···,s。而重構(gòu)所需的余數(shù)為

對(duì)于 m個(gè) 信號(hào)的情況，在 s路樣本序列DFT變換后，都會(huì)搜索得到 m個(gè) 譜峰，而在 m個(gè)信號(hào)的幅度有2個(gè)及2個(gè)以上是相同的情況下，不能在每路 m個(gè) 譜峰中尋找對(duì)應(yīng)同一信號(hào)的 s個(gè)譜峰，即不能構(gòu)造出 m組 余數(shù) {ri1,ri2,···ris}， 進(jìn)而分別進(jìn)行 m次閉式CRT算法重構(gòu)出 m個(gè)信號(hào)的頻率。

考慮到第1章提出的重構(gòu)多個(gè)整數(shù)的CRT算法，其前提條件為 ms>d+2δ，即模數(shù)組中的最大模值需要大于多個(gè)整數(shù)中最大值與最小值的差值，結(jié)合本節(jié)的頻率估計(jì)模型，即最大的欠采樣速率 fss需 要大于信號(hào)帶寬（ fm?f1），所以該CRT算法適用于窄帶信號(hào)中的多個(gè)頻率估計(jì)，算法流程如下：

1）對(duì) s路欠采樣樣本做 N點(diǎn)的DFT變換，譜峰搜索后得到譜峰位置 kil， i=1,2,···,m ， l=1,2,···,s，即每路樣本得到 m個(gè)譜峰位置。

2）校正每路樣本的譜峰位置對(duì)應(yīng)的頻偏小數(shù)，對(duì)于第l 路欠采樣樣本，將 m頻偏小數(shù)的值進(jìn)行初始化=0， i=1,2,···,m，按式（5）進(jìn)行計(jì)算得到迭代值

式中： q=±0.5； Re(·)表示取其實(shí)部。將其迭代2次以上的收斂值做為頻偏小數(shù)的估計(jì)值，i=1,2,···,m ，l=1,2,···,s。

3）將譜峰位置 kil、頻偏小數(shù)代入式（4）得到校正后帶有誤差頻率余數(shù)估計(jì)值 r?il， i=1,2,···,m，l=1,2,···,s。

4）計(jì)算對(duì)應(yīng)同一模數(shù) ml的余數(shù)估計(jì)值的和

3 欠采樣的DOA估計(jì)方法

3.1 基于CRT算法的DOA估計(jì)模型

陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示，由相位干涉儀原理可知，由信號(hào)到達(dá)陣元的波程差會(huì)產(chǎn)生相位差，在任一時(shí)刻，陣元 j 和陣元 j+1的 接收到的信號(hào) Si的相位差為：

式中：i=1,2,···,m；j=1,2,···,s?1；λi為 信號(hào)Si的波長； θi為 信號(hào)Si的 入射角度；dj為陣元間距，當(dāng)則會(huì)產(chǎn)生相位模糊問題，即：

式中：nij為 模糊倍數(shù)； ?φij為真實(shí)情況下測得的相位差。由式（6）、（7）可得：

式中：C為非負(fù)常數(shù)；Mθ為任意正整數(shù)； Γθ1～ Γθ(s?1)為互素的整數(shù)。令待重構(gòu)的整數(shù)Q別定義模為相位差構(gòu)造的對(duì)應(yīng)CRT中的余數(shù)為

所以，只要我們得到每個(gè)信號(hào)在陣元間的相位差，就可以通過CRT算法重構(gòu)出Qθi，在頻率值和相位差余數(shù)配對(duì)后，通過式（9）求得DOA的估計(jì)值，其中 λ0的值可由第2章中測得頻率結(jié)果得到。

3.2 相位差余數(shù)與信號(hào)頻率的配對(duì)

考慮到DFT變換后譜峰位置對(duì)應(yīng)的相位為信號(hào)Si到 達(dá)陣元l的 初相位，記為 φpil。由第2章分析可知，對(duì)于m個(gè)信號(hào)同時(shí)到達(dá)s個(gè)陣元的情況，可以通過s路樣本序列得到m×s個(gè)譜峰位置。同樣我們可以得到m×s個(gè)初相位，即每個(gè)陣元可以得到m個(gè)初相位。只有在相鄰陣元的初相位中，選擇屬于同一信號(hào)頻率的2個(gè)初相位，才能得到正確的相位差，進(jìn)而得到正確的DOA估計(jì)值。

不同整數(shù)Xi模 除同一模值m得 到的余數(shù)為ri，定 義P0為 余 數(shù)ra和rb不 相 等 的 概 率 ， 其 中i=1,

表1中s為模值的個(gè)數(shù)。由式（10）可知，當(dāng)模值m相 對(duì)較大時(shí)，余數(shù)ra和rb不相等的概率極大，特別是對(duì)應(yīng)第2章中的欠采樣采樣頻率，一般都在100MHz以上，此時(shí)P0幾乎為1。所以，可以認(rèn)為，對(duì)于任一陣元的樣本序列sl(n)，通過DFT變換后的譜峰位置得到的頻率余數(shù)值

式中i=1,2,···,m。

表1 s個(gè)陣元采集m個(gè)信號(hào)得到的余數(shù)及對(duì)應(yīng)初相位

如表1所示，每列的余數(shù)都是不相同的，同時(shí)，我們由譜峰位置得也可以到對(duì)應(yīng)的初相位 φpil。

在頻率估計(jì)后，m個(gè)信號(hào)的頻率估計(jì)值f?i和s個(gè)陣元的采樣頻率fsl均為已知的，故可以通過f?imodfsl，l=1,2,· · ·,s， 得到信號(hào)Si的s個(gè) 余數(shù)ril，并依次用余數(shù)ri1～ris，在表中每列找到r?i1～r?is對(duì)應(yīng)的的位置，進(jìn)而得到信號(hào)Si到 達(dá)s個(gè)陣元的s個(gè)初相位 φpi1～ φpis， 并 求 得 信 號(hào)Si的s?1個(gè) 相 位 差 ?φij，j=1,2,···s?1。 同理，依次可以得到m個(gè)信號(hào)的m×(s?1)個(gè)相位差。所以此時(shí)第1章的重構(gòu)多個(gè)整數(shù) 的C RT算法適用，而考慮到該算法的理論前即要求通過譜峰位置得到所有信號(hào)到達(dá)同一陣元的初相位的誤差的和小于DOA估計(jì)模型中的這個(gè)條件對(duì)于相位測量是比較苛刻的。但與頻率估計(jì)模型不同的一點(diǎn)是，對(duì)于DOA估計(jì)來說，經(jīng)過上述方法的參數(shù)配對(duì)，屬于同一信號(hào)帶有DOA信息的待重構(gòu)整數(shù)Qθi的

s個(gè) 相 位 差 余 數(shù)個(gè)待重構(gòu)整數(shù)與余數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系是已知的。所是已知的，也就是每以我們可以分別使用m次傳統(tǒng)的閉式CRT算法求得m個(gè) 整數(shù)Qθi的值，這樣相較于直接重構(gòu)多個(gè)整數(shù)的算法，我們就把相位測量誤差的限度降低了m倍。故DOA估計(jì)算法流程如下：

1）對(duì)于第l路樣本，根據(jù)譜峰位置對(duì)應(yīng)的幅值求得個(gè)信號(hào)到達(dá)陣元l的 初相位 φpil,i=1,2,···,m，并由頻率估計(jì)過程中得到的頻偏小數(shù)通過式（11）對(duì)信號(hào)初相位進(jìn)行校正：

式中 i=1,2,···,m。

式中 j=1,2,···,l?1。

3）通過相位差 {?φij,j=1,2,···,l?1}構(gòu)成的相位差余數(shù) {rθij,j=1,2,···,l?1}和閉式CRT算法求得信號(hào) Si的 DOA估計(jì)值θ?i， 分別對(duì) m組相位差余數(shù)使用CRT算法即可求得 m個(gè)信號(hào)的DOA估計(jì)值。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)有3個(gè)遠(yuǎn)場信號(hào)同時(shí)到達(dá)陣列，陣列由4個(gè)陣元組成，假設(shè)信號(hào)的頻率在1 500～2150MHz，根據(jù)本文提出的欠采樣下的頻率和DOA聯(lián)合估計(jì)方法，最大模值需大于多個(gè)整數(shù)中最大值與最小值的差的條件。陣元中最大的采樣頻率 fs4應(yīng)設(shè)置為 650MHz，選取對(duì)應(yīng)CRT算法參數(shù)中的最大公約數(shù) Γ=50×106，則一組互素模數(shù)中最大模數(shù)M4=13。為滿足時(shí)域欠采樣的條件，選取3個(gè)小于 M4的模數(shù)構(gòu)成互素的模數(shù)組[M1,M2,M3,M4]=[3,5,11,13]，所以對(duì)應(yīng)的4個(gè)陣元ADC的采樣頻率分別為 fs1=150MHz、 fs2=250MHz、 fs3=550MHz、fs4=650MHz。顯然陣元ADC的采樣速率遠(yuǎn)小于信號(hào)的頻率，屬[于時(shí)域欠]采樣。非負(fù)常數(shù) C取為0.1，互質(zhì)參數(shù) Γθ1,Γθ2,Γθ3=[3,5,7]， 即陣元間距為[d1,d2,d3]=[0.35m,0,21m,0.15m]，小于入射信號(hào)的半波長，屬于空域欠采樣。

本節(jié)實(shí)驗(yàn)采用檢測概率 pd和均方根誤差（root mean square error,RMSE）對(duì)算法的頑健性、抗噪性以及參數(shù)測量精度進(jìn)行考量。假設(shè)每個(gè)陣列的接收特性相同并且是相互獨(dú)立的，欠采樣樣本序列的長度 N=2000，噪聲是均值為零的高斯白噪聲，在每個(gè)信噪比（SNR）條件下進(jìn)行1000次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)。

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)1

在時(shí)域欠采樣的條件下，單獨(dú)對(duì)多信號(hào)的頻率估計(jì)的頑健性、抗噪聲性能進(jìn)行考察。在該仿真中，固定3個(gè)信號(hào)的入射角均為38°，設(shè)信號(hào)的頻率 fi,i=1,2,3，在15002~2150MHz內(nèi)隨機(jī)選取。

圖2 不同信噪比下的頻率檢測概率

4.2 仿真實(shí)驗(yàn)2

接下來驗(yàn)證多個(gè)信號(hào)的頻率、DOA聯(lián)合估計(jì)算法的精度性能。該仿真中，固定3個(gè)信號(hào)頻率和 入 射角 度 Si[fi,θi]分 別 為且同時(shí)到達(dá)陣列，基于AM估計(jì)器的頻率估計(jì)的RMSE仿真曲線如圖3所示。從圖3可以看出，本文提出的基于多整數(shù)估計(jì)CRT的頻率估計(jì)算法在各個(gè)信噪比下均有著較高的精度，當(dāng)信噪比大于10dB后，3個(gè)信號(hào)的頻率估計(jì)誤差均小于1kHz，即小于信號(hào)頻率的

圖3 不同信噪比下3個(gè)信號(hào)頻率估計(jì)的均方根誤差

且由于信號(hào)頻率估計(jì)的精確度較高，我們通過頻率估計(jì)值和ADC采樣率可以得到準(zhǔn)確的余數(shù)，并通過頻率估計(jì)中譜峰位置得到的余數(shù)正確配對(duì)同一信號(hào)到達(dá)4個(gè)陣元的初相位。圖4為在信號(hào)和相位參數(shù)配對(duì)后，基于閉式CRT算法分別對(duì)3個(gè)信號(hào)的DOA估計(jì)的RMSE曲線。可以看出，在各個(gè)信噪比條件下均表現(xiàn)出較高的DOA估計(jì)精度，并且在(0,90°]測角范圍內(nèi)，信號(hào)入射角度越大，DOA估計(jì)誤差越大，與理論DOA估計(jì)誤差一致。

圖4 不同信噪比下3個(gè)信號(hào)DOA估計(jì)的均方根誤差

4.3 仿真實(shí)驗(yàn)3

考察頻率和DOA聯(lián)合估計(jì)時(shí)，DOA估計(jì)的頑健性和抗噪聲性能。在該仿真中，固定3個(gè)信號(hào)的頻率分別為1.573、1.900、2.016GHz，信號(hào)角度在(0,90°]內(nèi)隨機(jī)選取。若DOA估計(jì)值則認(rèn)為檢測成功；否則為檢測失敗。在DOA估計(jì)過程中，采用重構(gòu)多個(gè)整數(shù)的CRT和獨(dú)立3次使用閉式CRT2種算法做比較，得到的檢測概率隨信號(hào)比SNR變化的仿真曲線如圖5所示。正如3.2節(jié)的討論，重構(gòu)多個(gè)整數(shù)的CRT算法在DOA估計(jì)時(shí)對(duì)允許的相位測量誤差的限度較低，其在低信噪比條件下的性能不佳，而在參數(shù)配對(duì)后單獨(dú)3次使用閉式CRT算法在信噪比大于?9dB后，檢測概率均能達(dá)到90%以上，可以看出其較好的頑健性。

圖5 不同信噪比下DOA的檢測概率

4.4 仿真實(shí)驗(yàn)4

最后對(duì)比基于MUSIC的空時(shí)二維譜頻率和DOA聯(lián)合估計(jì)算法的性能和算法耗時(shí)。與仿真2相同，固定3個(gè)信號(hào)頻率和入射角度 Si[fi,θi]分別為33°]，且同時(shí)到達(dá)陣列。對(duì)于空時(shí)二維譜算法，陣列陣元間距保持不變，4個(gè)陣元的采樣速率均為650MHz，滿足時(shí)域和空域?yàn)榍凡蓸拥臈l件。角度 在(0,90°]的 范 圍 內(nèi) 以0.1°為 步 長，頻 率 在(1500MHz,2150MHz]以 0.1MHz為步長搜索得到二維譜如圖6所示。

圖6 基于MUSIC的空時(shí)二維譜

可以看出由于時(shí)域和空域的欠采樣，空間二維譜會(huì)出現(xiàn)偽峰，無法對(duì)3個(gè)入射信號(hào)進(jìn)行正確的頻率和DOA估計(jì)。且基于MUSIC的空時(shí)二維譜的估計(jì)算法的仿真時(shí)間為71.985s，并且會(huì)隨著搜索步長的減小而增大。而本文提出的時(shí)?空欠采樣下的頻率和DOA聯(lián)合估計(jì)算法的仿真時(shí)間為0.037s，極大地減少了算法運(yùn)算時(shí)間，適合快速時(shí)變的工作場景。

5 結(jié)論

本文提出了一種在時(shí)?空欠采樣條件下，能夠?qū)Χ鄠€(gè)入射信號(hào)進(jìn)行頻率和DOA聯(lián)合估計(jì)的算法，并且給出了對(duì)應(yīng)的陣列模型及算法過程。

1）解決了頻率估計(jì)時(shí)，多組頻率余數(shù)與多個(gè)待估計(jì)信號(hào)頻率對(duì)應(yīng)關(guān)系未知情況下，CRT算法失效的問題；

2）解決了多個(gè)信號(hào)頻率值與信號(hào)到達(dá)陣列初相位的參數(shù)配對(duì)問題，使得在多信號(hào)DOA估計(jì)過程中，可以獨(dú)立多次地使用CRT算法進(jìn)行單個(gè)信號(hào)DOA的估計(jì)，保證了其頑健性與精確度。

本文提出的算法只需對(duì)各個(gè)陣元做一次并行欠采樣，即可完成頻率和DOA的聯(lián)合估計(jì)，有著低運(yùn)算量和高估計(jì)精度的優(yōu)點(diǎn)，適合雷達(dá)、電子戰(zhàn)、無線通信等對(duì)測量實(shí)時(shí)性，測量精度有要求等工作場合，具有較廣泛的應(yīng)用場景。