數(shù)學建模在常微分方程中的應用

陳尹剛

[摘要]建立數(shù)學模型來解決數(shù)學學科中的問題可以說是目前理論聯(lián)系實際最好的例子，運用模型與實際情況之間的微妙聯(lián)系對問題做出合理的分析和選擇最優(yōu)方案來解決問題，這是一種將理論知識上升為個人能力的最好途徑。本文通過先介紹常微分方程同數(shù)學建模的關系，進而提出將常微分方程運用于數(shù)學建模中，用實例展現(xiàn)出數(shù)學建模中常微分方程的運用方式。運用數(shù)學建模方式解決生活中的實際問題，在此過程中常微分方程的運用，使得解題過程更加合理，并且極大提高實際問題的可解性。

[關鍵詞]數(shù)學建模;常微分方程;應用

[中圖分類號]G642 [文獻標識碼]A [文章編號]1671-5918（2019）06-0103-03

doi：10.3969/j.issn.1671-5918.2019.06.046 [本刊網(wǎng)址]http：//www.hbxb.net

在數(shù)學專業(yè)的課程中，常微分方程是一門基礎性的必修科目，在目前的教學環(huán)境下，常微分方程與數(shù)學建模相結合，是一種最有效最直接的解決理論知識與實際問題的方法，也是目前教學模式中最常使用的一種教學手段。通過教師建立模型將書本中的理論和實際情況進行一個實體轉換，有效的縮小了解題難度，也提升了學生的思想靈敏度，強化了幾何空間想象力和建模思維等，所以建模思維在解決常微分方程這類抽象問題上通常具有重要作用。

一、常微分方程在數(shù)學史中的歷史發(fā)展

在17世紀中期，從普通微分方程中分離產生的數(shù)學專業(yè)，屬于數(shù)學學科的一個重要分支，同時也是一個高度與現(xiàn)實結合應用的主題。不過目前對于常微分方程的教學，老師都側重于微分方程理論的重要性，從而忽視了學生的綜合實踐能力，導致很多學生都缺乏應用常微分方程到實際中的能力。微分方程中高度應用的數(shù)學建模方法，是解決具體問題的模型也是實踐現(xiàn)象與數(shù)學理論的結合。這種相對固定的方法是培養(yǎng)學生的思維方式和研究技能的應用。常微分方程作為數(shù)學專業(yè)的培養(yǎng)方案中一門重要的基礎性學科，其發(fā)展進程也是有著一定的歷史淵源的，從最初同時代的微積分和微分方程的誕生開始，就為后來的常微分方程的萌芽埋下了種子，常微分方程從19世紀后半葉開始，才逐漸發(fā)展成數(shù)學學科的一個分枝。

（一）微分方程與其他學科間的發(fā)展關系

數(shù)學中的微分發(fā)展與其他學科的科學技術發(fā)展也有著密切的聯(lián)系，如物理這一學科中的力學部分，尤其是機械力學和天體力學這兩個分支，當時牛頓在研究天體行星的運動軌跡時也運用了微分方程來解決研究過程中所遇到的問題。在天文科學領域中，科學研究者們也經(jīng)常使用這一工具，例如歷史上海王星的位置發(fā)現(xiàn)和確定，就是兩位著名天文學家結合微分方程進行計算推演而得出的。由此可以看出，人類在認識自然和發(fā)現(xiàn)自然的過程中都離不開微分方程這個充滿能量的學科。

（二）常微分方程的誕生

在微積分和微分方程不斷發(fā)展的過程中，一些小的分支部分又被拿出來做了重點研究，例如因為微分方程中涉及函數(shù)的導數(shù)，一些自變量的計算以及未知函數(shù)，在碰到實際問題時往往有點難以劃分，所以就慢慢形成了常微分方程。常微分方程的概念是：在一個微分方程里如果出現(xiàn)了只包含一個自變量的未知函數(shù)，則這個方程就被稱為常微分方程。我們也可以簡稱它為微分方程，它向我們表達了量與量在運動過程之中的關系，并結合客觀世界做出規(guī)律解釋，常微分方程作為一個重點分支發(fā)展到現(xiàn)在，已經(jīng)有了其完整的理論系統(tǒng)，合理的運用常微分方程也已經(jīng)是我們人類探索自然解決現(xiàn)實問題的一個重要途徑了。

二、建立數(shù)學模型

建立數(shù)學模型是學習數(shù)學專業(yè)的人必備的一項重要技能，目前也有許多高校學生自發(fā)的設立了數(shù)學建模社團，開設數(shù)學建模比賽項目等等，這都說明建模這一科學思維在人們心中占有的地位正在逐漸提高。而我們如果想要運用書本上的數(shù)學理論知識來解決生活中的實際問題時，就一定離不開建立數(shù)學模型，把抽象的問題具體化，化虛擬為實物，就很容易解決了。

（一）數(shù)學模型的運用

運用數(shù)學理論來解決生活中的問題，建立模型是不可或缺的一個步驟，建立數(shù)學模型可以將事物的內在核心關聯(lián)放大，外部的干擾信息被剔除，體現(xiàn)出它本身固有的特性本質和規(guī)律特征，使問題更加清晰簡單的呈現(xiàn)出來。讓我們可以透過表象看到本質，將一些錯綜復雜的問題的核心部分直接呈現(xiàn)出來，側重于主要目標，建立起物與物之間的內在關聯(lián)，發(fā)現(xiàn)內在規(guī)律，最后結合理論知識來加以分析理解最終達到解決問題的目的。要將靈活地運用常微分方程，首先將數(shù)學建模和常微分方程結合起來，將數(shù)學建模思想滲透到常微分方程的教學過程中，使學生了解問題的本質，進一步提高解決問題的能力，也激發(fā)了學生學習常微分方程的興趣，提高了學生在實際問題中應用常微分方程的能力，也鍛煉了學生對數(shù)學建模的分析能力，因此高中數(shù)學的教學，應該把數(shù)學建模思想發(fā)展開來。理論與實際的結合使得建立出的模型更加貼合實際，對最終需要解決的問題更加有利。

（二）建立數(shù)學模型的方法

在建立數(shù)學模型的過程中，首先要根據(jù)實際問題本身出發(fā)，用理論聯(lián)系實際的方法，針對不同的問題，結合實際具體分析，來確定一個合理的模型。比如在解決求一個幾何物體的表面積時，我們就可以根據(jù)幾何的理論知識，確定變量，函數(shù)以及未知量之間的聯(lián)系，建立一個便于理解的實體模型，將多維的物體平面化，從而解決這個問題。在求概率問題，例如買福利彩票中獎概率等，也可以運用建模方法來解決，還有求變化率的時候可以運用導數(shù)模型，或者統(tǒng)計學科中的抽樣調查等等問題，都可以采用建模思維，對應不同的問題建立不同的模型，這是一個解決實際問題的十分重要的方法。

在建立數(shù)學模型時，需要合理的假設，合理的假設源自初步的調查和對研究問題的分析，通過分析得出假設，然后用一定的數(shù)據(jù)進行驗證假設的合理性。在生活中，許多問題都需要進行理想化的假設，例如將人口數(shù)作連續(xù)化處理，但是并不是所有的這類問題都可以進行連續(xù)化處理，比如說這種人口數(shù)已經(jīng)確定下來，并且人口數(shù)沒有達到一定的數(shù)量，這些情況將人口數(shù)量做連續(xù)化處理，就會存在問題，甚至使得自己建立出來的模型得出的結論不具有科學性甚至會出現(xiàn)錯誤。

三、用常微分方程來建立數(shù)學模型

將建立數(shù)學模型與常微分方程相結合，更有利于解決生活中所面臨的實際問題。通常數(shù)學模型根據(jù)建立的方法不同大致可以分為幾何模型，圖論模型，微分方程模型，馬氏鏈模型，初等數(shù)學模型以及規(guī)劃論模型。微分方程模型就是我們介紹的重點，利用它我們又可以得到何種結果。

（一）常微分方程的模型建立

當我們所要求的問題是一個客觀世界中的不斷運動的狀態(tài)時，它就具有了許多的不可預測性，這個時候我們通常就會建立微分方程模型，用來計算事物的內在變化規(guī)律，簡單了解它的未來趨勢，嘗試分析演變過程或者預測變化形勢等，總而言之，就是要將生物科學，化學科學，物理科學等等各種各樣的科學技術相結合，不僅如此，還要雜糅社會科學和工程科學的內在規(guī)律和自然原理等，才能夠建立起一個完整的常微分方程模型。在常微分模型里面可以結合計算機的知識，這樣可以使得常微分問題能夠被有效和快速的解決。探討常微分方程的圖像如何隨時間的變化而變化，就需要通過引入模型的方法來研究，不過模型的形成過程一般比較復雜，我們很難用筆計算來解決它。因此，我們必須使用適當?shù)臄?shù)學軟件來解決數(shù)值問題，我們也可以使用該軟件來模擬數(shù)值。這不僅可以提高學生學習常微分方程的興趣，而且可以提高學生利用數(shù)學建模思想解決常微分方程實際問題的能力。

（二）常微分方程模型的運用

常微分方程模型的應用有很多，例如地球人口預測，著名的有馬爾薩斯模型和邏輯模型，都是運用常微分方程來解決人口劇增危機。雖然馬爾薩斯模型不是完全正確，但是也為預測人口增長起到了積極作用，不僅可以用來預測人口，還可以用來預測任一物種的發(fā)展趨勢，在人類認識自然中，邏輯模型就有著非常廣泛的運用。

我們可以通過一個例子來進一步了解常微分方程模型的應用，例如振動模型。我們的生活中隨處可見振動，不管是醫(yī)療上的核磁共振，還是工業(yè)上的電機驅動，都離開振動，那么生活中的大多數(shù)振動問題，都可以用下面這個例子來描述。

我們來假設在木板懸掛一個彈簧，將它的上端固定住，在其下端垂掛一質量為m的物體，來研究其振動規(guī)律。那么我們就可以先取其平衡點，再在平衡點上進行受力研究，除了重力與彈力大小相等方向相反，是一對作用力與反作用力以外，剩下的就是質量為m的物體所帶來的力了，結合位移與初速度，在振動過程中所受的阻力，根據(jù)牛頓第二定律列出方程。再根據(jù)有無阻尼，以及是否做強迫運動等進行具體情況具體分析，用不同的方程來計算出設置的未知量，這就是一個完整的常微分方程模型的應用過程。

在常微分方程的研究中，每個理論之后都有許多具體的例子。我們可以應用一些簡單的問題，用數(shù)學知識描述具體問題，并對它們進行合理的分析，進而確定后使用哪類理論知識和常微分方程，并將學習的微分方程應用于實際問題，達到將教學內容與數(shù)學建模方法相結合，從而有效地解決實際問題。

（三）常微分方程模型的發(fā)展趨勢

常微分方程模型來源于實際生活所產生的問題，只要我們實際生活中的問題不得以解決，那么這個模型就會持續(xù)地發(fā)展下去，并且在未來的時間里，科學技術得到了更全面的提升，那么常微分方程模型這一科學方法也必將得到更大的發(fā)展。在不同的領域中，不斷地更新迭代，用新的數(shù)學模型開建立新的常微分方程，去解決可能遇到的更多問題。這是一個十分重要的工具，以后會涉足這個領域的學科也必定會越來越多，所以未來肯定會有更多的人從事研究這個行業(yè)，將現(xiàn)在存在的不足加以改善，形成一個更完備的常微分方程模型系統(tǒng)向社會推行。

四、結論

數(shù)學建模與常微分方程的結合應用，是時代選擇的成果。它不僅僅是一個研究物質與物質之間的內在聯(lián)系，量與量的變化規(guī)律的工具，也是一個聯(lián)系眾多科學內容的橋梁，是解決實際問題與理論知識相結合的重要紐帶。歷史上有許多著名科學家是運用了這個工具才解答了很多未知的問題，提出了更多新的猜想，不僅在物理科學，天文科學中有著至關重要的作用。在自然界里，在航海領域中，在計算機科學與技術領域中，在經(jīng)濟學里，在探索人與自然的和諧相處中，它都有著舉足輕重的地位。本文只是從小的方面闡述了它的部分意義，實際上在生活中處處可以找到它的影子，常微分方程已發(fā)展了三百多年，它的理論依據(jù)與研究也在逐漸趨于完善。相信在不久的將來，這個工具會成為人類的日常用具，在解決未來社會各個領域的問題中，它都有著不可或缺的地位。