“數(shù)值分析”課程中教學(xué)與科研的有效結(jié)合

鄧重陽(yáng) 張智豐 李亞娟

【摘要】根據(jù)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科生與研究生開(kāi)設(shè)“數(shù)值分析”這門(mén)課程的實(shí)際情況，結(jié)合筆者的科研實(shí)際，從鼓勵(lì)學(xué)生參與教師科研項(xiàng)目，引導(dǎo)學(xué)生申請(qǐng)科研項(xiàng)目，幫助學(xué)生利用相關(guān)教材知識(shí)發(fā)表科研論文三個(gè)方面，促進(jìn)教學(xué)與科研的有效結(jié)合.

【關(guān)鍵詞】數(shù)值分析;結(jié)合科研;教學(xué)

【基金項(xiàng)目】杭州電子科技大學(xué)2016年研究生核心課程項(xiàng)目（數(shù)值分析）;浙江省高等教育課堂教學(xué)改革項(xiàng)目（《數(shù)值分析》課程混合式教學(xué)模式的設(shè)計(jì)與實(shí)踐）;杭州電子科技大學(xué)2018年度信息化課程建設(shè)項(xiàng)目（計(jì)算幾何初步）.

數(shù)值分析（Numerical Analysis），又稱(chēng)數(shù)值計(jì)算方法，是一門(mén)研究并分析眾多數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法和理論，進(jìn)而能夠用計(jì)算機(jī)程序來(lái)實(shí)現(xiàn)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的課程.它是計(jì)算數(shù)學(xué)的主體部分，涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，比如，泛函分析、高等代數(shù)、算法設(shè)計(jì)等內(nèi)容[1，2]，綜合性非常強(qiáng).數(shù)值分析的應(yīng)用非常廣泛.計(jì)算太空飛船的運(yùn)動(dòng)軌跡用到的常微分方程數(shù)值解、計(jì)算機(jī)模擬汽車(chē)撞擊時(shí)用到的偏微分方程的數(shù)值解、股票、基金中計(jì)算市值或預(yù)測(cè)走勢(shì)時(shí)用到的各種數(shù)值分析工具、保險(xiǎn)公司精算分析時(shí)用到的數(shù)值軟件、航空公司計(jì)算飛機(jī)架次的分配、票價(jià)的定義、機(jī)上人員的分配等用到的數(shù)值分析軟件，都屬于“數(shù)值分析”這門(mén)課程的內(nèi)容.

“數(shù)值分析”的內(nèi)容比較煩瑣，有很多復(fù)雜的公式，其理論分析對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)要求也比較高.這些公式適合計(jì)算機(jī)編程，但對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)卻造成了很大的麻煩.如何讓學(xué)生記憶、理解、掌握這些內(nèi)容，筆者嘗試從教學(xué)與科研的有效結(jié)合入手來(lái)幫助學(xué)生學(xué)好“數(shù)值分析”.

一、鼓勵(lì)學(xué)生參與教師科研項(xiàng)目

發(fā)揮科研項(xiàng)目的育人功能一直是高校教育教學(xué)工作中值得進(jìn)一步探索的問(wèn)題.由于“數(shù)值分析”應(yīng)用的廣泛性，幾乎所有國(guó)家、省自然科學(xué)基金項(xiàng)目都會(huì)涉及“數(shù)值分析”的內(nèi)容，所以把“數(shù)值分析”課程的內(nèi)容結(jié)合到教師的科研項(xiàng)目之中是一個(gè)非常好的突破口.為了強(qiáng)化“數(shù)值分析”課的實(shí)踐環(huán)節(jié)，加強(qiáng)學(xué)生的科研意識(shí)，筆者鼓勵(lì)班級(jí)學(xué)生以“數(shù)值分析”課程的內(nèi)容為基礎(chǔ)參與教師的科研項(xiàng)目.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生利用教材中的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深入思考，理論驗(yàn)證，程序?qū)崿F(xiàn)以及教師的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)指導(dǎo)，使學(xué)生真正參與到科研項(xiàng)目的研究之中來(lái).例如，筆者的國(guó)家自然科學(xué)基金面上科研項(xiàng)目“高階連續(xù)的插值型細(xì)分方法及其局部算子的創(chuàng)建”（批準(zhǔn)號(hào)：61370166）中在計(jì)算2n點(diǎn)插值細(xì)分法的新點(diǎn)公式時(shí)，需要用到“數(shù)值分析”中的經(jīng)典內(nèi)容：拉格朗日插值基函數(shù).通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生比較2n+2點(diǎn)插值細(xì)分法與2n，2n-2點(diǎn)插值細(xì)分法新點(diǎn)計(jì)算公式的異同，尋找它們之間的遞推關(guān)系，從而構(gòu)造局部算子來(lái)實(shí)現(xiàn)任意的2n點(diǎn)插值細(xì)分法.

二、引導(dǎo)學(xué)生申請(qǐng)科研項(xiàng)目

為進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)技術(shù)研究和從事發(fā)明創(chuàng)造，推動(dòng)大學(xué)生科研能力的提高與科研意識(shí)的培養(yǎng)，省、學(xué)校和學(xué)院每年都會(huì)開(kāi)展大學(xué)生科研課題立項(xiàng)申報(bào)工作.從參與教師的科研項(xiàng)目著手，調(diào)研學(xué)生專(zhuān)業(yè)背景，研究該方向與數(shù)值分析相關(guān)的熱點(diǎn)問(wèn)題及未來(lái)的發(fā)展方向，積極引導(dǎo)學(xué)生申請(qǐng)學(xué)院或者學(xué)校的學(xué)生科研項(xiàng)目，實(shí)現(xiàn)相應(yīng)課題目標(biāo).學(xué)生可以從中真正了解如何從事科研工作，怎樣從數(shù)值分析的基礎(chǔ)知識(shí)入手，再進(jìn)一步深入了解、掌握、計(jì)算、模擬、實(shí)現(xiàn)，直到最終完成一個(gè)科研項(xiàng)目.這個(gè)方法可以幫助學(xué)生更加清晰地了解“數(shù)值分析”這個(gè)專(zhuān)業(yè)課以及專(zhuān)業(yè)課在學(xué)生專(zhuān)業(yè)里的未來(lái)發(fā)展前景，為學(xué)生之后真正參與科研活動(dòng)奠定一個(gè)良好又扎實(shí)的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ).近年來(lái)，已指導(dǎo)學(xué)生申請(qǐng)到浙江省新苗計(jì)劃2項(xiàng).

三、幫助學(xué)生利用相關(guān)教材知識(shí)發(fā)表科研論文

無(wú)論是參與科研項(xiàng)目，還是自己申請(qǐng)學(xué)生科研項(xiàng)目，很多情況下發(fā)表科研論文是需要完成的任務(wù)之一.比如，用迭代法解線性方程組是數(shù)值分析中很基礎(chǔ)的理論知識(shí)，高斯-塞德?tīng)柕ǎ℅auss.Seidel，GS）更是迭代法中最經(jīng)典的算法之一.在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)相關(guān)研究工作里，利用迭代法解決問(wèn)題一直占有舉足輕重的地位，其中，漸進(jìn)迭代逼近（Progressive Iteration Approximation，PIA）是一種將數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合成為曲線或曲面的技術(shù).

在高斯-塞德?tīng)柕ǖ氖谡n過(guò)程中，在考查PIA方法與解線性方程組的經(jīng)典迭代法之間的聯(lián)系時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)，如果每次迭代的時(shí)候，能把已經(jīng)更新的點(diǎn)繼續(xù)參與到迭代過(guò)程中去，高斯-賽德?tīng)柕ㄒ部梢钥醋魇且环NPIA方法.利用該算法的這種特點(diǎn)，即已經(jīng)更新的點(diǎn)繼續(xù)參與到迭代過(guò)程中來(lái)，以此來(lái)優(yōu)化迭代過(guò)程，筆者引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)算法應(yīng)用到非均勻三次B樣條曲線的插值上來(lái)，開(kāi)發(fā)了GS-PIA算法，該算法同時(shí)也具有漸進(jìn)式迭代逼近方法的優(yōu)點(diǎn)，比以前PIA方法的存儲(chǔ)量更小，收斂速度也更快，而且具有非常明顯的幾何意義.

最后，引導(dǎo)學(xué)生利用教材相關(guān)知識(shí)給出了嚴(yán)格的收斂證明過(guò)程，若干結(jié)果已經(jīng)被相關(guān)期刊發(fā)表或錄用.作為理工科高年級(jí)本科或研究生的一門(mén)基礎(chǔ)課，“數(shù)值分析”能與大量的科研問(wèn)題及科研項(xiàng)目結(jié)合.筆者在這方面做了初步的嘗試，也取得了一些可喜的成效.如何進(jìn)一步把“數(shù)值分析”與科研實(shí)踐相結(jié)合，充分發(fā)揮教學(xué)與科研的協(xié)同育人功能，是我們要進(jìn)一步探討的課題.

【參考文獻(xiàn)】

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