分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散模型數(shù)值模擬的研究進(jìn)展

陳煥貞 楊素香 劉思宇

( 1) 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,250358, 濟(jì)南; 2) 山東財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，250002，濟(jì)南 )

1 引 言

擴(kuò)散過(guò)程(diffusion)是指物質(zhì)分子從高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域隨機(jī)運(yùn)移的物理過(guò)程,在自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用,對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)建模具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.傅里葉(Fourier,1822)在《熱的解析理論》一文中提出了熱通量與溫差成正比關(guān)系,實(shí)現(xiàn)了對(duì)熱量擴(kuò)散過(guò)程的數(shù)學(xué)刻畫(huà),開(kāi)創(chuàng)了用整數(shù)階微分方程刻畫(huà)擴(kuò)散過(guò)程的先河;菲克(Fick,1855)建立了描述營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)在生物細(xì)胞膜內(nèi)傳播過(guò)程的二階擴(kuò)散方程;愛(ài)因斯坦(Einstein,1905)也從第一原理出發(fā)嚴(yán)格建立了分子隨機(jī)運(yùn)移概率密度函數(shù)(PDF)服從宏觀形式的擴(kuò)散方程;與此同時(shí),基于經(jīng)典的Brown運(yùn)動(dòng)與隨機(jī)游走模型,皮爾遜(Pearson，1905),巴舍里(Bachelier,1900)從微觀角度分別對(duì)蚊子導(dǎo)致瘧疾傳播過(guò)程,資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)過(guò)程建立了二階擴(kuò)散模型.這些二階擴(kuò)散模型的建立基于一個(gè)共同的假設(shè)：隨機(jī)運(yùn)移過(guò)程服從經(jīng)典的Gaussian分布,即分子運(yùn)移具有有限的平均自由程與平均等待時(shí)間.

然而,自然界中存在著諸多不滿足上述假定,從而也不宜用整數(shù)階擴(kuò)散方程描述的擴(kuò)散過(guò)程,稱之為反常擴(kuò)散過(guò)程.例如,河口泥沙輸運(yùn)過(guò)程中出現(xiàn)的具有長(zhǎng)尾的羽流現(xiàn)象,打印機(jī)中碳粉的輸運(yùn)過(guò)程[1]等,更多的反常擴(kuò)散現(xiàn)象也出現(xiàn)在源自于湍流的反常擴(kuò)散或非費(fèi)克擴(kuò)散過(guò)程[2,3]、混沌動(dòng)力學(xué)[4]、粘彈性問(wèn)題[5]等實(shí)際的擴(kuò)散過(guò)程中.大量的實(shí)驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)表明,對(duì)這些自然界存在的反常擴(kuò)散過(guò)程,分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程可提供較整數(shù)階擴(kuò)散模型更為準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)刻畫(huà).因此,關(guān)于分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)學(xué)理論與數(shù)值模擬技術(shù)研究,無(wú)論是對(duì)全面理解擴(kuò)散過(guò)程的運(yùn)動(dòng)機(jī)理,還是為實(shí)際工程技術(shù)實(shí)踐提供決策依據(jù)都具有重大意義,也已成為當(dāng)前工程技術(shù)界,應(yīng)用數(shù)學(xué)界的研究熱點(diǎn)領(lǐng)域.

本文中,將結(jié)合我們課題組對(duì)反常擴(kuò)散過(guò)程的數(shù)學(xué)理論與數(shù)值模擬的了解與認(rèn)知,簡(jiǎn)要闡述當(dāng)前的研究進(jìn)展與研究動(dòng)態(tài).在本文第二節(jié),我們將簡(jiǎn)要回顧分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)概念與擴(kuò)散過(guò)程的數(shù)學(xué)刻畫(huà),第三節(jié)主要介紹關(guān)于分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散問(wèn)題數(shù)值模擬研究進(jìn)展,最后一節(jié)為評(píng)注與結(jié)語(yǔ).

2 分?jǐn)?shù)階微積分與擴(kuò)散方程

本節(jié)中,我們簡(jiǎn)要介紹分?jǐn)?shù)階微積分概念的形成與發(fā)展歷史,借鑒由二階導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)出描述經(jīng)典擴(kuò)散過(guò)程的二階擴(kuò)散方程的思想,導(dǎo)出可用于刻畫(huà)反常擴(kuò)散現(xiàn)象的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程,并簡(jiǎn)述相關(guān)數(shù)學(xué)理論.

(1)

(2)

這些奇妙的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用前景引發(fā)了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界研究分?jǐn)?shù)階微積分的興趣.

著名的黎曼-劉維爾(Riemann-Liouville)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)概念的形成事實(shí)上就是多位數(shù)學(xué)家努力的結(jié)果.十九世紀(jì)三十年代,劉維爾(Liouville,1830)提出了現(xiàn)在稱之為L(zhǎng)iouville型的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),黎曼(Riemann,1847)也給出了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式,后又經(jīng)宋寧(Sonin,1869)[7]、萊尼克夫(Letnikov,1872)[8]、勞倫特(Laurent,1884)[9]等數(shù)學(xué)家的改進(jìn)與完善,才最終形成了如今的Riemann-Liouville(R-L)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).Riemann-Liouville左分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和右分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)分別定義為

(3)

(4)

其中,m表示小于s的最大整數(shù).

(5)

(6)

(7)

為避免Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)奇異性,以更好的應(yīng)用于工程和物理上的建模,意大利地球物理學(xué)家卡普托(Caputo,1967)提出弱奇異的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),其左、右分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)分別定義為

(8)

(9)

其中,m表示小于s的最大整數(shù).在實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用中,由于可用Caputo導(dǎo)數(shù)中v(x)在某些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值來(lái)定義實(shí)際問(wèn)題的初值條件

v(k)(0)=0,k=0,1,2,…,n-1,

(10)

從而可更容易應(yīng)用到更廣泛的實(shí)際問(wèn)題中.

可以證明,在對(duì)v(x)適當(dāng)光滑性假定下,這三種廣泛使用的導(dǎo)數(shù)概念是等價(jià)的.除此之外,借助于二階拉普拉斯算子-Δ與黎茲位勢(shì)概念,還可定義在工程技術(shù)中具有廣泛應(yīng)用的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子(-Δ)s,0

注1從以上分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義可以看出,函數(shù)在某點(diǎn)的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)值僅僅依賴函數(shù)在該點(diǎn)附近的變化性態(tài),而函數(shù)在該點(diǎn)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)值卻是受到了來(lái)自幾乎全局的變化性態(tài)的影響.從這種意義上來(lái)說(shuō),整數(shù)階導(dǎo)算子可認(rèn)為是一個(gè)局部算子,而分?jǐn)?shù)階算子是一個(gè)非局部算子,這也是二者的本質(zhì)差別.

2.2擴(kuò)散過(guò)程與數(shù)學(xué)模型

2.2.1 經(jīng)典擴(kuò)散過(guò)程的數(shù)學(xué)刻畫(huà) 經(jīng)典擴(kuò)散過(guò)程的宏觀刻畫(huà)可由第一菲克定律(Fick′s first law)：即一物質(zhì)在介質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)為a(x)的介質(zhì)中的擴(kuò)散通量J與該物質(zhì)濃度差c滿足

J=-a(x)c，

(11)

與質(zhì)量守恒關(guān)系：即第二菲克定律(Fick′s second law)

(12)

經(jīng)適當(dāng)數(shù)學(xué)推演后,即可得到能描述經(jīng)典擴(kuò)散過(guò)程的二階擴(kuò)散方程

(13)

(14)

來(lái)代替整數(shù)階的通量(11),其中0≤γ≤1.將其帶入到質(zhì)量守恒關(guān)系式(12),則得到下面的分?jǐn)?shù)階通量形式的擴(kuò)散方程[20]:

(15)

在一維空間中,只有兩個(gè)方向正方向θ=1和負(fù)方向θ=-1.如果測(cè)度M沿各個(gè)方向是一個(gè)點(diǎn)質(zhì)量,即當(dāng)θ=1時(shí),M(θ)=r;當(dāng)θ=-1時(shí),M(θ)=1-r,則分?jǐn)?shù)階梯度就可以簡(jiǎn)化為:

(16)

若令γ=1-β,從而得到一維空間中2-β階的分?jǐn)?shù)階通量形式的擴(kuò)散方程

(17)

此即為分?jǐn)?shù)階?？藸栆黄绽士朔匠?Fokker-Planck equation)[33-39].相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)方程為

(18)

稱之為分?jǐn)?shù)階通量形式的擴(kuò)散方程.

2.2.3 反常擴(kuò)散過(guò)程的數(shù)學(xué)刻畫(huà)：分?jǐn)?shù)階散度形式的擴(kuò)散模型 經(jīng)典的擴(kuò)散方程(13)是基于整數(shù)階的質(zhì)量守恒定律(12).多孔介質(zhì)中流體的質(zhì)量守恒源于連續(xù)介質(zhì)力學(xué),它的思想是基于向量場(chǎng)內(nèi)散度的經(jīng)典定義：當(dāng)控制體積V的直徑h趨于0時(shí),通過(guò)由封閉曲面S圍成的控制體積V的物質(zhì)量與體積V之比的極限[40-45]

這里的n為曲面S的單位外法向量.此定義中對(duì)散度的基本假定是控制體積V的直徑趨于零時(shí),該極限是存在的.這對(duì)于均勻多孔介質(zhì)是滿足的,而對(duì)于不均勻各向異性介質(zhì),這種極限未必一定存在.因此,就不宜用整數(shù)階的質(zhì)量守恒定律(12)推導(dǎo)出擴(kuò)散方程.

Meerschaert等在文獻(xiàn)[46]中指出,可以利用分?jǐn)?shù)階散度產(chǎn)生的廣義的連續(xù)方程(分?jǐn)?shù)階質(zhì)量守恒定律)[46-50]

(19)

代替經(jīng)典的連續(xù)方程(整數(shù)階的質(zhì)量守恒定律).這里,當(dāng)0≤γ≤1,分?jǐn)?shù)階散度定義為[46]

(20)

在一維空間中,粒子的運(yùn)動(dòng)局限于兩個(gè)方向θ=1或-1.令γ=1-β,分?jǐn)?shù)階的散度(20)退化為

從而在一維空間中利用整數(shù)階的Fick定律(11)以及分?jǐn)?shù)階的質(zhì)量守恒律(19),則得到2-β階的分?jǐn)?shù)階散度形式的空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程[51-53]

(21)

相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)方程為

(22)

稱之為分?jǐn)?shù)階散度形式的擴(kuò)散方程.

注2以上論述是從宏觀的角度導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程.類(lèi)似于整數(shù)階擴(kuò)散方程導(dǎo)出的情況,可從微觀的角度,即從不滿足有限平均自由程與平均等待時(shí)間的假定下,推導(dǎo)出服從獨(dú)立同分布(IID)的分子隨機(jī)運(yùn)移過(guò)程的概率密度函數(shù)(PDF)滿足分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程(17)或(22),詳見(jiàn)文獻(xiàn)[54-58].

2.2.4 反常擴(kuò)散過(guò)程的數(shù)學(xué)刻畫(huà)：分?jǐn)?shù)階散度形式的擴(kuò)散模型 在許多工程技術(shù)應(yīng)用中,經(jīng)常用分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子描述相場(chǎng)模型。逆散射問(wèn)題等擴(kuò)散過(guò)程,如Allen-Cahn方程

(23)

(24)

u(x,0)=?(x),x∈Rn.

(25)

文獻(xiàn)[59-62]對(duì)此類(lèi)由分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子定義的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的可解性、正則性以及相應(yīng)的差分技術(shù)給出了較為詳盡的討論.

3 數(shù)值模擬的研究進(jìn)展

如上節(jié)所述,由于分?jǐn)?shù)階算子為非局部算子且具有弱奇異核,而導(dǎo)致其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)復(fù)雜,難以求得其解析解.當(dāng)然,像求解整數(shù)階微分方程一樣,我們可以通過(guò)恰當(dāng)選擇適當(dāng)?shù)姆e分變換,如Laplace變換,Fourier變換,Mellin變換等方法獲得某些極為簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解.即便如此,這些極簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)階方程的解析解也是由特殊函數(shù),例如,Wright函數(shù),Fox函數(shù),Mittag-Leffler函數(shù)等,來(lái)表示的,而要數(shù)值地表示出這些特殊的函數(shù)絕非易事.因此,對(duì)分?jǐn)?shù)階分?jǐn)?shù)階方程,特別是具有重要應(yīng)用背景的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程,尋求高效的數(shù)值模擬手段就成為了工程技術(shù),應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域所必須直面的問(wèn)題.

3.1早期的數(shù)值方法早期的數(shù)值方法主要是級(jí)數(shù)逼近法,包括變分迭代法,Adomian分解法等.2000年,He在文獻(xiàn)[24]中采用變分迭代法求解自治常微分系統(tǒng).2005年,Momani[63-65]用Adomian分解法得到了空間分?jǐn)?shù)階以及時(shí)間分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程的解析解和近似解.同年,K.AI-Khaled和Momani[66-68]利用Adomian分解法對(duì)分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-波動(dòng)方程進(jìn)行了近似求解.2007年,文獻(xiàn)[34]中利用了Adomian分解法求解多階的分?jǐn)?shù)階微分方程.然而級(jí)數(shù)逼近方法計(jì)算過(guò)程一般比較復(fù)雜.尤其是在工程應(yīng)用中,為了獲得較高精度就必須增加級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù),而且級(jí)數(shù)逼近需要采用符號(hào)計(jì)算進(jìn)行推導(dǎo),其計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)性差,無(wú)法滿足復(fù)雜工程問(wèn)題模擬的需要.從而人們把目光投向了計(jì)算簡(jiǎn)單,求解效率較高且易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的有限差分與有限元等數(shù)值計(jì)算方法.

為解決差分格式收斂精度低以及由分?jǐn)?shù)階微分算子非局部性所導(dǎo)致的大計(jì)算量的困難,孫志忠、李長(zhǎng)平、崔明榮、王宏等人分別提出了高精度差分格式,緊致差分格式,快速有限差分格式.這些新的數(shù)值格式有效的提高了格式的收斂精度,降低了計(jì)算量.例如,將快速傅里葉變換與代數(shù)方程組系數(shù)矩陣的Topoeliz結(jié)構(gòu)結(jié)合所形成的快速差分格式[80-85],使求解的計(jì)算量由原來(lái)Gausss算法的O(N3)降低到O(Nlog2N),存儲(chǔ)量由O(N2)降到了O(N).

在此基礎(chǔ)上,一些其他數(shù)值方法也相繼構(gòu)造出來(lái).例如,譜方法[25,38,40,52,86-88]、配置法[58]、有限體積法[81]、多重網(wǎng)格方法[89]等.

3.3基于Galerkin框架下的數(shù)值方法與差分方法一樣,Galerkin-有限元方法也是數(shù)值求解整數(shù)階偏微分方程的基本手段,其優(yōu)點(diǎn)在于可以把解析解與有限元解一同納入一個(gè)完備的函數(shù)空間討論,數(shù)學(xué)工具豐富,易于進(jìn)行數(shù)值分析,但需要預(yù)先獲得關(guān)于微分方程強(qiáng)制性,解的適定性與正則性等先驗(yàn)條件,但由于分?jǐn)?shù)階微分算子是一種非局部算子,其共軛算子不是它的負(fù)算子,分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì),如強(qiáng)制性,解的存在性與正則性等基本數(shù)學(xué)性質(zhì),不像經(jīng)典的擴(kuò)散方程那樣清晰明了,這給將Galerkin-有限元技術(shù)應(yīng)用于數(shù)值模擬分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程帶來(lái)了本質(zhì)上的困難.因此,設(shè)計(jì)一種Galerkin變分框架,使其既能推斷出分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散問(wèn)題解的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),又可誘導(dǎo)出一種具有良好逼近效果,容易實(shí)現(xiàn)的數(shù)值模擬方法,成為計(jì)算數(shù)學(xué)界面臨的新挑戰(zhàn).

3.3.2 一維常系數(shù)擴(kuò)散問(wèn)題的Galerkin數(shù)值方法 對(duì)于變系數(shù)的擴(kuò)散方程,其解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)愈發(fā)不清晰,而且適用于常系數(shù)擴(kuò)散方程Galerkin-有限元方法不能平行推廣過(guò)來(lái).主要的困難在于：1) Galerkin變分形式的強(qiáng)制性,即

不再成立;2) 奇異核依賴于變系數(shù)a(x),從而使關(guān)于解得正則性討論變的更加復(fù)雜.

上述問(wèn)題使得有關(guān)變系數(shù)分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程基于有限元框架的數(shù)值模擬研究進(jìn)展緩慢,相關(guān)研究成果偏少.目前,解決上述困難的研究思路與方法主要分為兩類(lèi).

一是Petrov-Galerkin方法.王宏、羊丹平等人在文獻(xiàn)[74-76,80]中針對(duì)分?jǐn)?shù)階通量形式的擴(kuò)散方程(18),采用不同的試探函數(shù)空間與檢驗(yàn)函數(shù)空間,建立了Petrov-Galerkin變分框架,證明了變分形式滿足弱強(qiáng)制性,從而證明了變分形式解的存在唯一性.進(jìn)而,構(gòu)造了一種具有最優(yōu)收斂階的Petrov-Galerkin有限元方法,并對(duì)具充分光滑解的算例進(jìn)行了數(shù)值模擬.然而,這種Petrov-Galerkin方法需要通過(guò)一個(gè)非局部的變換T將試探函數(shù)空間變換到檢驗(yàn)函數(shù)空間來(lái)確保LBB條件,從而使得檢驗(yàn)函數(shù)空間依賴于擴(kuò)散系數(shù)a(x)且是非局部的,這無(wú)疑增加了計(jì)算的復(fù)雜度.

二是混合形式的Galerkin變分框架[27,39,65,83,90].在文獻(xiàn)[27,39]中,陳煥貞、王宏等通過(guò)引入中間變量與變量分離技巧,將變系數(shù)與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)結(jié)合,從而形成了由變系數(shù)一階方程與常系數(shù)分?jǐn)?shù)階方程構(gòu)成的線性系統(tǒng),再利用H1-混合元思路來(lái)處理變系數(shù)一階方程,用常規(guī)方法處理常系數(shù)分?jǐn)?shù)階方程,從而建立了對(duì)分?jǐn)?shù)階散度形式擴(kuò)散方程的混合變分框架,證明了解的存在唯一性以及變分格式與原擴(kuò)散方程的等價(jià)性.嚴(yán)格的數(shù)值分析與數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明了格式的有效性.不足的是,為排除奇異核而人為地提高了方程右端項(xiàng)的正則性要求.在文獻(xiàn)[83]中,作者對(duì)這種方法進(jìn)行了改進(jìn),通過(guò)引入通量u=-a(x)Dc將變系數(shù)分?jǐn)?shù)階散度形式的擴(kuò)散方程(23)分解為由變系數(shù)一階方程與常系數(shù)分?jǐn)?shù)階方程構(gòu)成的線性方程組,并基于最小二乘和空間分解技術(shù),構(gòu)造出一個(gè)獨(dú)立于核函數(shù)的混合型的變分形式.這樣的處理既確保了變分形式的強(qiáng)制性又避免了對(duì)奇異核出現(xiàn)在變分形式中,由此誘導(dǎo)出的最小二乘混合元離散格式具有不依賴于奇異核的最優(yōu)逼近精度和收斂性.基于這種思路,陳煥貞等人還在文獻(xiàn)[65,84]中分別討論了對(duì)分?jǐn)?shù)階通量形式的擴(kuò)散方程,非穩(wěn)態(tài)分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程等問(wèn)題的最小二乘混合元數(shù)值模擬方法,也獲得了理想的結(jié)果.對(duì)由分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子定義的非局部相場(chǎng)問(wèn)題,陳煥貞等在文獻(xiàn)[66,67]中對(duì)分?jǐn)?shù)階Cahn-Hilliard方程提出了混合變分形式以及相應(yīng)的混合有限元方法,深入討論了離散格式的穩(wěn)定性,收斂性等數(shù)值分析理論以及質(zhì)量守恒,能量衰減與粗化過(guò)程等物理本性.

此外,周兆杰等在文獻(xiàn)[37，90-92]中將分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程作為控制方程,提出了分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散問(wèn)題的最優(yōu)控制問(wèn)題,對(duì)其分別構(gòu)造了勒讓德-擬譜方法,間斷有限元方法與有限元方法,并進(jìn)行了嚴(yán)格的數(shù)值分析與有效的數(shù)值實(shí)驗(yàn).

4 結(jié) 語(yǔ)

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)及應(yīng)用,為我們提供了一個(gè)能精確描述應(yīng)用廣泛的擴(kuò)散過(guò)程的有效工具與手段.但由于由此導(dǎo)出的分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜,給相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析與科學(xué)計(jì)算帶來(lái)了巨大困難與前所未有的挑戰(zhàn),主要表現(xiàn)在：1) 對(duì)變系數(shù)乃至非線性分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散問(wèn)題建立一套類(lèi)似于整數(shù)階擴(kuò)散問(wèn)題那樣科學(xué)、系統(tǒng)、完善的數(shù)學(xué)基本理論;2) 構(gòu)造具有高精度、低計(jì)算量的科學(xué)數(shù)值方法與高效算法,為實(shí)際工程應(yīng)用的決策與實(shí)施提供理論依據(jù).現(xiàn)在的研究工作僅僅是個(gè)開(kāi)始,仍需要工程學(xué)界、應(yīng)用數(shù)學(xué)界高度關(guān)注與深入研究.