一道競(jìng)賽題的變式與推廣

合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

陳 超 王家正 (郵編：230601)

變式與推廣是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常采用的方法之一．對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)變式與推廣，可滲透數(shù)學(xué)的基本思想，可以有效地鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維．因此對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的變式與推廣，是對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練的有效工具，有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和效率．

本文結(jié)合一道競(jìng)賽題，探討數(shù)學(xué)問(wèn)題的變式與推廣策略，以供參考．

1 問(wèn)題的呈現(xiàn)

(1985年廣州、 武漢、 福州初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)△ABC的面積是其內(nèi)接矩形PQRS面積的3倍，并且邊BC和高AD的值是有理數(shù)，問(wèn)：PQRS的周長(zhǎng)的值在什么情況下是有理數(shù)？在什么情況下是無(wú)理數(shù)？

①

②

又由題意知a、b本身是有理數(shù)，故當(dāng)a=b時(shí)，矩形PQRS的周長(zhǎng)的值是有理數(shù)；當(dāng)a≠b時(shí)，矩形PQRS的周長(zhǎng)的值是無(wú)理數(shù)．

2 變式與推廣

這道題涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)是滬科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)中“韋達(dá)定理及其逆定理”的應(yīng)用．為了更深入地研究這道題，訓(xùn)練學(xué)生思維能力，下面對(duì)這道題進(jìn)行變式與推廣．

變式1 若將題目條件中的“3倍”改為“2倍”，其他條件不變，會(huì)得到什么結(jié)果？

③

④

于是矩形PQRS的周長(zhǎng)2(x+y)=a+b．

又由題意知a、b本身是有理數(shù)，故矩形PQRS周長(zhǎng)的值在任何情況下均為有理數(shù)．

變式2 △ABC的面積是其內(nèi)接矩形PQRS面積的4倍，并且邊BC和高AD的值是有理數(shù)，問(wèn)：PQRS的周長(zhǎng)的值在什么情況下是有理數(shù)？在什么情況下是無(wú)理數(shù)？

⑤

⑥

又由題意知a、b本身是有理數(shù)，故當(dāng)a=b時(shí)，矩形PQRS的周長(zhǎng)的值是有理數(shù)；當(dāng)a≠b時(shí)，矩形PQRS的周長(zhǎng)的值是無(wú)理數(shù)．

通過(guò)對(duì)原題和變式的分析思考，下面我們嘗試將它推廣，探究其一般性結(jié)論．

推廣若改成“△ABC的面積是其內(nèi)接矩形PQRS面積的k倍”，其他條件不變，能得到什么一般性結(jié)論呢？

⑦

⑧

所以由題意知a、b本身是有理數(shù)，故當(dāng)a=b時(shí)，矩形PQRS的周長(zhǎng)的值是有理數(shù)；當(dāng)a≠b時(shí)，矩形PQRS的周長(zhǎng)的值是無(wú)理數(shù)．

所以由題意知a、b本身是有理數(shù)，故當(dāng)a=b時(shí)，矩形PQRS的周長(zhǎng)的值是有理數(shù)；當(dāng)a≠b時(shí)，矩形PQRS的周長(zhǎng)的值是無(wú)理數(shù)．

所以由題意知a、b本身是有理數(shù)，則

①當(dāng)m、p、n-m三者為勾股數(shù)時(shí)，矩形PQRS周長(zhǎng)的值在任何情況下均為有理數(shù)；

②當(dāng)m、p、n-m三者不為勾股數(shù)時(shí)，有當(dāng)a=b時(shí)，矩形PQRS的周長(zhǎng)的值是有理數(shù)；當(dāng)a≠b時(shí)，矩形PQRS的周長(zhǎng)的值是無(wú)理數(shù)．

3 啟示與思考

很多數(shù)學(xué)題目，特別是競(jìng)賽題、高考題、中考題，都蘊(yùn)含著較大的潛在價(jià)值．如就題論題，就失去了培養(yǎng)學(xué)生思維能力的機(jī)會(huì)；如果講解題目后，再對(duì)題目進(jìn)行類(lèi)比、一般化，挖掘題目所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法，從不同角度對(duì)題目進(jìn)行變式與推廣，將會(huì)有助于優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)都大有裨益．通過(guò)本文的探討，得到以下兩點(diǎn)啟示．

第一，要注重對(duì)題目進(jìn)行深度的挖掘．在教學(xué)過(guò)程中，教師要關(guān)注到題目潛在的價(jià)值，注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行深度挖掘，以此培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度, 幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)題目及其解法的本質(zhì), 使學(xué)生見(jiàn)到類(lèi)似題目能夠舉一反三, 不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力．

第二，要注重對(duì)題目進(jìn)行反思與拓展．解題不能僅僅停留在題目的表面，反思與拓展是數(shù)學(xué)解題過(guò)程中一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)．通過(guò)對(duì)題目進(jìn)行反思，學(xué)生對(duì)解題過(guò)程中所運(yùn)用的知識(shí)、方法、解題技巧等進(jìn)行系統(tǒng)回顧，從中發(fā)現(xiàn)不足之處；對(duì)題目進(jìn)行拓展，幫助學(xué)生從多角度探究問(wèn)題，在鞏固所學(xué)知識(shí)的同時(shí)，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)．